精品解析：吉林省吉林市龙潭区吉化第九中学校2025-2026学年 上学期八年级数学期末质量检测试题

吉化九中2025-2026学年度第一学期 八年级期末质量检测 数学试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面汉字中，可以看作是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法判定A，根据同底数幂的除法判定B，根据幂的乘方判定C，利用积的乘方判定D． 【详解】解：A．，故原式错误，不符合条件； B．，故原式错误，不符合条件； C．，故原式错误，不符合条件； D．，故原式正确，符合条件． 故选：D． 3. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果． 【详解】解：A、，不能围成三角形，故A不符合条件； B、，不能围成三角形，故B不符合条件； C、，能围成三角形，故C符合条件； D、，不能围成三角形，故D不符合条件． 故选：C． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A 若，，则 B. 直角都相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解逆命题的定义，属于中考常考题型． 逆命题是以原命题的条件为结论，原命题的结论为条件的命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解： A的逆命题为：若，则且，但时，a和b不一定都大于0， ∴ A的逆命题是假命题； B的逆命题为：相等的角都是直角，但相等的角不一定是直角， ∴ B的逆命题是假命题； C的逆命题为：两直线平行，同位角相等， ∴ C的逆命题是真命题； D的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，但平方相等的两个实数不一定相等， ∴ D的逆命题是假命题． 故选：C． 5. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 6. 如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型． 根据翻折的性质得出，，进而得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：将沿，翻折， ，， ， ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 __________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，根据中垂线的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，点直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长为． ∴的最小值为． 故答案为：． 10. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 根据完全平方公式可求出的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：6． 11. 定义一种新的运算，如．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（共87分） 12. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练计算是解题的关键． （1）利用平方差公式和多项式除以单项式计算，再把所得结果相加； （2）根据零次幂，负整数指数幂，绝对值运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 13. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 详解】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 14. 先化简，再求值；，然后从，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】将式子进行化简，再代数求值． 【详解】解：原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 15. 如图，在中，，于点D，平分，、相交于点F． （1）若，求的度数； （2）证明是等腰三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可； （2）根据角平分线的概念得到，然后利用等角对等边求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：是等腰三角形． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴是等腰三角形． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16. 已知关于x的分式方程， （1）当时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，则m的取值范围为_______． 【答案】（1）无解 （2）且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键． （1）把代入，解方程即可； （2）对原分式方程变形，然后解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得， 经检验，时，， 所以原方程无解； 【小问2详解】 解： 去分母，得， 解得， 分式方程解是非负数， ， 解得， 分式方程有解， ， 的取值范围是：且． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）的面积是_______； （2）若点F与点C关于y轴对称，则点F的坐标为_______；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2），图见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点F的坐标；根据轴对称的性质作图即可； （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：的面积是． 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点F与点关于轴对称， 点F的坐标为， 如图，即为所求． 故答案为：； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 的面积为1， ， 解得或0， 点的坐标为或． 18. 下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 18.5分式方程 甲，乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示______________，庆庆同学所列方程中的y表示______________； （2）从冰冰和庆庆所设方法中任选一种，并写出完整过程． 【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路与乙队修路所用的时间 （2）甲队每天修路的长度为，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． （1）根据甲、乙两同学所列的分式方程，找出，表示的意义； （2）选择甲或乙同学的方程，解之经检验后即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度， 庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路与乙队修路所用的时间， 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路与乙队修路所用的时间； 【小问2详解】 解：选冰冰同学所列的方程：， 去分母，得， 解得． 经检验是所列分式方程的解，且符合题意． 甲队每天修路的长度为； 选庆庆同学所列的方程：， 去分母，得， 解得． 经检验是所列方程的解，且符合题意． ． 甲队每天修路的长度为． 19. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若于，，，求的长. 【答案】（1）见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形性质和全等三角形判定与性质是解题的关键． （1）要证明，根据等边三角形性质可知，，又已知，利用全等三角形判定定理（SAS）来证明． （2）利用（1）中全等三角形的性质，得到，再结合三角形外角性质，将转化为与等边三角形内角相关的角来求解． （3）先由（1）知，再根据（2）中以及，得出，利用含直角三角形的性质求出，进而求出（即）的长． 小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 又， ． 【小问2详解】 解：， ， 是的外角， ， ， 是等边三角形，， ． 【小问3详解】 解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由（1）知， ． 20. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 21. 等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； （1）如图1，若，，求C点坐标； （2）如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． （3）如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 【答案】（1） （2）不变 （3）不变，的面积为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明，得出，，进而即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，证明，得出，又，即可求解； （3）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，同理可得，则，，证明，得出，根据得出，设，则，继而求得，即可求解． 【小问1详解】 如果，过点作于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 同理可得， 则，， ∵点， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵． ∴ ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4）28 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】解：（1）根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）∵， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉化九中2025-2026学年度第一学期 八年级期末质量检测 数学试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面汉字中，可以看作是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确是（ ） A. B. C. D. 3. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A 若，，则 B. 直角都相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 5. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为______． 8 因式分解：________． 9. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 __________ ． 10. 若，则_______． 11. 定义一种新的运算，如．则_________． 三、解答题（共87分） 12. 计算： （1） （2） 13. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 14. 先化简，再求值；，然后从，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值． 15. 如图，在中，，于点D，平分，、相交于点F． （1）若，求的度数； （2）证明是等腰三角形． 16. 已知关于x的分式方程， （1）当时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，则m的取值范围为_______． 17. 如图所示，平面直角坐标系中，已知、、． （1）的面积是_______； （2）若点F与点C关于y轴对称，则点F的坐标为_______；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，请直接写出点P的坐标． 18. 下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 18.5分式方程 甲，乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示______________，庆庆同学所列方程中的y表示______________； （2）从冰冰和庆庆所设方法中任选一种，并写出完整过程． 19. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若于，，，求的长. 20. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 21. 等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； （1）如图1，若，，求C点坐标； （2）如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． （3）如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 22. 数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $