专题03 线段的长短重难点题型专训（2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦线段的基本性质与运算这一核心知识点，系统梳理两点确定一条直线、两点之间线段最短的基本原理，以及线段的比较（度量法、叠合法）、和差、中点及n等分点等运算方法，构建从概念到应用的学习支架，支撑8大题型与拓展训练的学习。 资料特色在于分层设计，从基础题型到综合拓展，融入导航路线、剪纸等生活情境培养数学眼光，通过动点问题、最短路径问题发展数学思维，尺规作图与综合计算提升数学语言表达。课中例题与即时训练助力教师高效授课，课后拓展与自我检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题03 线段的长短重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 线段的和与差 题型二 作线段(尺规作图) 题型三 线段中点的有关计算 题型四 线段n等分点的有关计算 题型五 线段之间的数量关系 题型六 两点之间线段最短 题型七 两点间的距离 题型八 与线段有关的动点问题 拓展训练一 线段中点的计算综合 拓展训练二 线段动点的综合 拓展训练三 最短路径问题 知识点一：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小明同学认为是两点确定一条直线，小丽同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 知识点二：线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，三点共线，分别是、的中点，若，，则（  ） A．7 B．8 C．7.5 D．6 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请根据图形完成下列填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【经典例题一 线段的和与差】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知线段，B、C是线段上的两点，且，若a为整数，则以A、B、C、D中任意两点构成的所有线段长度之和不可能是（   ） A．27 B．30 C．32 D．36 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【经典例题二 作线段(尺规作图)】 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知线段a，b，作线段AB，使（注明作图步骤并保留作图痕迹，说明作图结果） 【经典例题三 线段中点的有关计算】 【例3】 （24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”，已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为（   ）    A．8 B．4 C．4或8 D．4或16 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）（1）【线段的计算】已知线段，直线上有一点 C，且，M 是线段的中点，则线段的长为 ； （2）【找规律】图形推理：答案为 ． 4．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【经典例题四 线段n等分点的有关计算】 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是（　　） A．AB＝4AC B．CE＝AB C．AE＝AB D．AD＝CB 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【经典例题五 线段之间的数量关系】 【例5】（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是 ． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【经典例题六 两点之间线段最短】 【例6】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）媛媛一家准备周末从地前往地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 1．（2025七年级上·安徽·学业考试）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）（文化情境·传统文化）过新年，剪窗花，是春节的传统习俗，寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．小铭同学在“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：如图，将一个正方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原正方形周长．能正确解释这一现象的数学依据是 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE． （1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 cm； （2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 cm． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）作图． (1)在图中根据题意画图． ①延长线段，与线段的延长线相交于点； ②反向延长线段，与线段的延长线相交于点； (2)找一点使得点到、、、的距离和最短，理由是___________． 【经典例题七 两点之间线段最短】 【例7】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知点A，B，C在一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，一条线段，点，分别是，的中点，且，则线段的长为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）有两根木条，一根木条长为，另一根木条长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成线段，抽象成两个点），将它们的一端和重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 cm． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）根据题意，补全证明过程． 已知：如图，点C为线段上任意一点，点M、N分别为线段的中点． 求证：． 解：∵M为线段的中点， ， ∵N为线段的中点， ， （ ）， ∵ ， ∴． 【经典例题八 与线段有关的动点问题】 【例8】（2025·安徽宣城·一模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝8，AC＝9，BC＝10，如果跳蚤开始时在BC边的点P0处， BP0＝4．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝BP2；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2015与A间的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，甲、乙两个动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动．若甲的速度是乙的速度的倍．则它们第次相遇在边 上． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【拓展训练一 线段中点的计算综合】 1．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 4．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 由（1）可得，， 【拓展训练二 线段动点的综合】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值； (2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长； (3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 5．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度； （2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值； （3）当厘米时，求t的值． 【拓展训练三 最短路径问题】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2) 若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·月考）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）嘉嘉按要求画图并解答题目：画线段为的中点，延长到点D，使，求线段的长度． 她的解题过程如下： 解：画图，如图所示． 因为， 所以． 则以下判断正确的是（   ） A．画图正确，计算错误 B．画图错误，计算正确 C．画图和计算都错误 D．画图和计算都正确 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，C，D是线段延长线上的两点，则 ． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，线段被分成三部分，如果第一部分与第三部分中点的距离为，那么线段的长度为 ． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 10．（24-25七年级上·安徽六安·月考）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 11．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点是同一平面内不在同一条直线上的三个点，过两点作直线并连接． (1)尺规作图：在射线上找到点D，使点A为的中点，作射线，在射线上截取（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长． 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． (1)情景一：从教室到图书馆，有些同学不走人行道而横穿草坪，数学原理是______； (2)情景二：A、B是河流/两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置． 14．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有，，，四点，线段，，为线段的中点，求线段的长． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，为线段的中点， 所以____________． 因为， 所以______． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 任务： (1)将小华的解答过程补充完整． (2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长． (3)有两根木条，一根长，一根长．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端占重合，那么这两根木条的中点间的距离是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段的长短重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 线段的和与差 题型二 作线段(尺规作图) 题型三 线段中点的有关计算 题型四 线段n等分点的有关计算 题型五 线段之间的数量关系 题型六 两点之间线段最短 题型七 两点间的距离 题型八 与线段有关的动点问题 拓展训练一 线段中点的计算综合 拓展训练二 线段动点的综合 拓展训练三 最短路径问题 知识点一：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 根据两点之间，线段最短逐一判断即可． 【详解】 解：A．反映的是“垂线段最短”； B．反映的是“两点确定一条直线”； C．反映的是“两点之间，线段最短”； D．反映的是“两点确定一条直线”； 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小明同学认为是两点确定一条直线，小丽同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 【答案】小明 【分析】本题考查了直线、线段、射线的概念，根据两点之间确定一条直线即可解答，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】先找点，再画射线这一步骤的画图依据是两点确定一条直线， 故选：小明． 知识点二：线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，三点共线，分别是、的中点，若，，则（  ） A．7 B．8 C．7.5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段的中点，线段的和差是解题关键． 根据题意可得，，由即可求解． 【详解】解：分别是、的中点， ，， ． 故答案为：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请根据图形完成下列填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，正确的计算线段的和差是解题的关键．根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，，． 【经典例题一 线段的和与差】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知线段，B、C是线段上的两点，且，若a为整数，则以A、B、C、D中任意两点构成的所有线段长度之和不可能是（   ） A．27 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和差，解题的关键是数形结合．根据题意所有线段的长度之和是，然后根据线段的长度是一个正整数，可以解答本题． 【详解】解：∵线段，B、C是线段上的两点， ∴以A、B、C、D中任意两点构成的所有线段有， ∵， ∴所有线段的和为， ∵a为整数， ∴结果是3的倍数， A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差，图形变换的规律，根据线段的规律得出方程是解题的关键． 设，则，再得出一个端点是的线段和一个端点是的线段，再求出两者之差，即可． 【详解】解：设，则，则， ∵，，     ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是数形结合，分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：6或4． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．设运动时间为t，，，，，再加上已知条件，就可以得到，再分两种情况讨论计算，当N在线段上时，N在线段延长线上时，分别求出比值即可． 【详解】解：设运动时间为t， ∵，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 综上所述，或1． 故答案为：或1． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)①16，8；②14； (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据线段的和差关系求解即可；②先求得，再由点是的中点，可得，可得，最后由可得结果； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，当点在点左侧时；当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， 故答案为：16，8； ②，， ， 点是的中点， ， ， ； （2）分两种情况： 如图所示，当点在点右侧时， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如图所示，当点在点左侧时， 由条件可知，， ， 综上所述，的长为或． 【经典例题二 作线段(尺规作图)】 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 【答案】B 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 【答案】 ③②①④ 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 【答案】 4 见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】解：（1）的面积等于， 故答案为：4； （2）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； 分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； 连接并延长，交于点； 点，即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知线段a，b，作线段AB，使（注明作图步骤并保留作图痕迹，说明作图结果） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，两点之间的距离，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取点B使得，线段即为所求． 【详解】解：如图所示． ①作射线． ②在射线上顺次截取． ③在线段上截取． 线段即为所作的线段． 【经典例题三 线段中点的有关计算】 【例3】 （24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”，已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为（   ）    A．8 B．4 C．4或8 D．4或16 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，线段中点的有关计算，线段的和差；①当在线段上时，由线段的和差得，，由新定义得，即可求解；②当在线段上时，同理可求；理解新定义，能熟练用线段和差表示所求线段是解题的关键． 【详解】解：①当在线段上时，如图，   点为线段的中点， ， ， ， 点是折线的“折中点”， ， ， ； ②当在线段上时，如图，   点为线段的中点， ， ， 点是折线的“折中点”， ， ， ； 线段的长为或； 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据题意可知，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题关键是根据求出各线段的长，再利用中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）（1）【线段的计算】已知线段，直线上有一点 C，且，M 是线段的中点，则线段的长为 ； （2）【找规律】图形推理：答案为 ． 【答案】 或 D 【分析】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，图形类规律探究； （1）分两种情况：①当点C在线段上时，如图：当点C在线段的延长线上时，如图：再进一步求解即可； （2）由前面个封闭图形都有个大于小于的角，而D选项中图形有个大于小于的角，从而可得答案． 【详解】解：（1）①当点C在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴； ②当点C在线段的延长线上时，如图： ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴； ∴线段的长为或． 故答案为或 （2）由前面个封闭图形都有个大于小于的角， 而D选项中图形有个大于小于的角，符合题意； A，B，C不符合题意； 故答案为：D 4．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，能根据图形求出各个线段之间的关系是解此题的关键． （1）根据线段中点求出、的长，根据即可求得的长，根据可求出、的长，最后根据即可得解； （2）根据为的中点，，可得到，，结合，，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：为的中点，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点，， ，， ，， ． 【经典例题四 线段n等分点的有关计算】 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是（　　） A．AB＝4AC B．CE＝AB C．AE＝AB D．AD＝CB 【答案】D 【分析】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝AB，即可知A、B、C均正确，则可求解 【详解】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝AB， 选项A，AC＝AB⇒AB＝4AC，选项正确 选项B，CE＝2CD⇒CE＝AB，选项正确 选项C，AE＝3AC⇒AE＝AB，选项正确 选项D，因为AD＝2AC，CB＝3AC，所以，选项错误 故选D． 【点睛】此题考查的是线段的等分，能理解题中：C，D，E是线段AB的四等分点即为AC＝CD＝DE＝EB＝AB，是解此题的关键 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 【经典例题五 线段之间的数量关系】 【例5】（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【详解】解：是的三等分点，， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段和差位分，比的应用，能根据题意分别表示出和及找出和之间的关系是解题的关键． 根据题意，设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为，再用和表示出和，最后根据小正方形的个数为166个找出与之间的关系即可解决问题． 【详解】解：设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为， 所以，． 因为小正方形的个数有166个， 所以，， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是 ． 【答案】20 【分析】设折痕对应的刻度为x，根据折叠的性质和A，B，C三段的长度的比为3：2：1，列出方程求解即可． 【详解】解：设折痕对应的刻度为x， 由A，B，C三段长度的比为3：2：1，可得三段长度分别是30、20、10， 依题意得：x＝＋10＝20， 故答案为：20． 【点睛】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【答案】(1)总长的长度为 (2)缩进部分的长为，的长为 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）分别求出，的长，根据即可解答； （2）先求出的长，再根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴， 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 答：缩进部分的长为，的长为． 【经典例题六 两点之间线段最短】 【例6】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）媛媛一家准备周末从地前往地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，两点之间线段最短，根据即可得出两点之间线段最短． 【详解】解：∵ ∴解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 1．（2025七年级上·安徽·学业考试）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，合情推理，考查学生的计算能力，找到最短路线是解决本题的关键．选择数据较小的路线，确定到达4个村庄的最短路线即可 【详解】解析：最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B，D，然后从D到C， ∴能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是 故选：B 2．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）（文化情境·传统文化）过新年，剪窗花，是春节的传统习俗，寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．小铭同学在“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：如图，将一个正方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原正方形周长．能正确解释这一现象的数学依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长．能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE． （1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 cm； （2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 cm． 【答案】 2或4/4或2 30 【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线上、在线段AB的延长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值； （2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值； 【详解】解：（1）∵BE＝3AE， ∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm， 当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm， 故答案为：2或4． （2）∵BE＝3AE， ∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE）， 当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm， 故3ED+BE的最小值为30cm， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3（DE+AE）是解题的关键． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）作图． (1)在图中根据题意画图． ①延长线段，与线段的延长线相交于点； ②反向延长线段，与线段的延长线相交于点； (2)找一点使得点到、、、的距离和最短，理由是___________． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图（延长线段）、两点之间线段最短的性质，熟练掌握线段的延长作图方法和两点之间线段最短的性质是解题的关键． （1）①延长线段和的延长线，找到交点．②反向延长线段和的延长线，找到交点． （2）根据“两点之间线段最短”，确定点的位置． 【详解】（1）解：①如图，按要求延长、的延长线，交于点； ②如图，按要求反向延长、的延长线，交于点． （2）解：如图，点是线段与的交点，理由：两点之间线段最短． 【经典例题七 两点之间线段最短】 【例7】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知点A，B，C在一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差计算，关键注意点的位置关系分类讨论，避免漏解． 由于点A、B、C在一条直线上，但顺序不确定，需分两种情况讨论． 【详解】解：①当点B在点A和点C之间时，； ②当点A在点B和点C之间时，； ∴两点间的距离为或． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，一条线段，点，分别是，的中点，且，则线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离．设，，，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设，，， 点，分别是，的中点， ，， ， 又， ， 解得， ， 即线段的长为． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）有两根木条，一根木条长为，另一根木条长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成线段，抽象成两个点），将它们的一端和重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．根据题意画图形，分情况讨论即可． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当、（或、重合，且剩余两端点在重合点同侧时， ； （2）当、（或、重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ． 故两条线段的小圆孔之间的距离是或． 故答案为：或 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 cm． 【答案】6，9或12 【分析】此题主要考查了两点间的距离，理解“巧点”的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意可知有以下三种情况：①当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据可得出；②当点是线段的中点时，则或，则点是线段的“巧点”，根据线段中点的定义得；③当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：点在线段上， 根据“巧点”的定义可知有以下三种情况： ①当点靠近点，且时，如图1所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ； ②当点是线段的中点时，则或，如图2所示： 点是线段的“巧点”， ； ③当点靠近点，且时，如图3所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ， ， 综上所述：当点是线段的巧点，则的长为6或9或． 故答案为：6或9或12． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）根据题意，补全证明过程． 已知：如图，点C为线段上任意一点，点M、N分别为线段的中点． 求证：． 解：∵M为线段的中点， ， ∵N为线段的中点， ， （ ）， ∵ ， ∴． 【答案】 【详解】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可． 【分析】解：∵M为线段的中点， ， ∵N为线段的中点， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【经典例题八 与线段有关的动点问题】 【例8】（2025·安徽宣城·一模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝8，AC＝9，BC＝10，如果跳蚤开始时在BC边的点P0处， BP0＝4．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝BP2；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2015与A间的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】试题分析：第一步从到，第二步从到，第三步从到，第四步从到，第五步从到，第六步从到，由此可知，与重合.即经过6次条，电子跳蚤回到起跳点，，所以点与点重合，与A点之间的距离与与A点之间的距离相等是4.故选B. 考点：找规律——图形的变化类. 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，甲、乙两个动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动．若甲的速度是乙的速度的倍．则它们第次相遇在边 上． 【答案】AB 【分析】因为甲的速度是乙的速度的3倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，4次一个循环，从而不难求得它们第2019次相遇位置. 【详解】每次相遇的位置依次是：DC、AD、BA、BC，依此循环. 故它们第2019次相遇位置与第三次相同，在AB边上. 【点睛】本题难度中等，主要考查学生对规律的总结能力，发现规律是解题的关键. 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)8或24 (3)，见解析 【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解； （2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解； （3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，， ∴ ， ∵线段，N为BP的中点， ∴． 故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键． 【拓展训练一 线段中点的计算综合】 1．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1)8 (2)14 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可； （2）由线段中点的定义得出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （2）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点在点左侧时，如图， ，， ； 当点在点右侧时，如图， ，， ； 综上，线段的长为或． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 【答案】(1) (2)线段的长度不会发生变化， 【分析】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． （1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴； （2）解：线段的长度不会发生变化，， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 【答案】(1)学校在小明家北偏东方向；停车场在小明家南偏东方向 (2)公园和学校距离小明家距离相同；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的定义，方位角，两点之间线段最短，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据所给的方位角和距离进行描述即可； （2）根据线段中点的定义得到，进而得到，由此即可得到答案； （3）根据两点之间线段最短找点即可． 【详解】（1）解：， 由图可知：学校在小明家北偏东方向； 停车场在小明家南偏东方向； （2）解：公园和学校距离小明家距离相同，理由如下： ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即：公园和学校距离小明家距离相同； （3）解：根据两点之间线段最短， 连接交于点， 点即为所求， 5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【答案】(1)，线段中点定义， (2)画图见解析，或 【分析】此题考查线段的中点定义，线段的和差计算， （1）根据线段中点定义及线段和差关系解答； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在线段上时，当点在点右边时，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ， ． 是线段的中点， ．（线段中点定义） ． （2）解：当点在线段上时，如图， 由（1）可得，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图， ∵， ∴，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ∴或． 【拓展训练二 线段动点的综合】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值； (2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长； (3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：设运动时间为，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    当点P在点B右边时， ∵，， ∴， ∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 5．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度； （2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值； （3）当厘米时，求t的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）、、8， 【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可； （2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论； （3）表示出BP、BQ的长度，再根据列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多种情况讨论； 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动， ∴， P到达C之前时 ∵点C恰好为PQ的中点 ∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴ 解得 P到达C之后时 ∵点C恰好为PQ的中点 ∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴ 解得 故当点C恰好为PQ的中点时或 （3）当P、Q到达C之前时， ， ∴ 解得 当P到达C之后、Q到达C之前时， ， ∴ 解得 当P到达D点时此时，，， 当P到达D点以后、Q到达D之前，， 解得 综上当厘米时，、、8， 【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等． 【拓展训练三 最短路径问题】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合建一个长度为s米的绿化带，故作线段，使，且点在点B的左侧．再根据C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．则取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，即可作答． 【详解】解：作图方法如下：如图，作线段，使，且点在点B的左侧．取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取， ∴ 则即为所求作的绿化带的位置． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【答案】(1) (2)车站应设在村庄的左边或右边处 (3)车站应设在村庄处 【分析】本题考查了两点间的距离、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）由题意得，，； （2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可； （3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合． 【详解】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·月考）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的和与差，正确的识别图形是解题的关键．根据线段的和差倍分及结合图形即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）嘉嘉按要求画图并解答题目：画线段为的中点，延长到点D，使，求线段的长度． 她的解题过程如下： 解：画图，如图所示． 因为， 所以． 则以下判断正确的是（   ） A．画图正确，计算错误 B．画图错误，计算正确 C．画图和计算都错误 D．画图和计算都正确 【答案】B 【分析】本题考查了线段的长度计算问题，结合图形对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键．根据题意画出图形，结合图形得到的思路来求解，代入已知量即可． 【详解】解：画图，如图所示． ∵为的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，C，D是线段延长线上的两点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是掌握线段的和差． 利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，线段被分成三部分，如果第一部分与第三部分中点的距离为，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据，设，则，，得到，结合点是的中点，点是的中点得到．结合，求解即可． 【详解】解：∵， 设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，． ∴， ∵， ∴． 解得， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为．   故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查作图﹣基本作图、作线段，证明的周长可得结论． 【详解】解：由题意， ∴的周长， ∵的周长为15， ∴． 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·安徽六安·月考）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 11．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据求出长，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点 C 在 的延长线上， ∴． 12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点是同一平面内不在同一条直线上的三个点，过两点作直线并连接． (1)尺规作图：在射线上找到点D，使点A为的中点，作射线，在射线上截取（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，理解线段的和差倍分关系是作图与解题的关键． （1）根据线段，射线，及线段的和差作图即可； （2）先求解线段，可得线段，再求解线段，最后利用线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：如图所示为所求作图形； （2），A为中点， ， ， ， ． 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． (1)情景一：从教室到图书馆，有些同学不走人行道而横穿草坪，数学原理是______； (2)情景二：A、B是河流/两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置． 【答案】(1)两点之间线段最短； (2)见解析 【分析】本题考查数学定理的实际应用． （1）根据“两点之间线段最短”这一定理解答即可． （2）根据“两点之间线段最短”这一定理解答即可． 【详解】（1）解：情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，根据两点之间线段最短可知可少走几步路． 故答案为：两点之间线段最短； （2）解：情景二：连接线段与的交点为P，如下图所示，理由是两点之间线段最短． 14．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有，，，四点，线段，，为线段的中点，求线段的长． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，为线段的中点， 所以____________． 因为， 所以______． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 任务： (1)将小华的解答过程补充完整． (2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长． (3)有两根木条，一根长，一根长．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端占重合，那么这两根木条的中点间的距离是______． 【答案】(1)；5；2 (2)画图见解析， (3)或 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点． （1）根据线段中点的定义及小华的解答过程进行补充即可； （2）当点在线段的延长线上时，由线段中点的定义得，再根据，可得出答案； （3）设木条厘米，木条厘米，，在同一条直线上，端点，重合，的中点为，的中点为，分两种情况讨论如下：①当点在线段上时，则点与点重合，由此可得的长；②当点在线段的延长线上时，线段中点的定义得，，再根据可得的长，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：因为线段，点为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 故答案为：；5；2； （2）解：当点在线段的延长线上时，如图3所示： 线段，点为线段的中点， ， 又， ； （3）解：设木条，木条，，在同一条直线上， 端点，重合，的中点为，的中点为， 分两种情况讨论如下： 当点在线段上时，如图4所示： 的中点为， ， 又，的中点为， ， 端点，重合， ； ②当点在线段的延长线上时，如图5所示： 的中点为， ， 又，端点，重合， ， ． 综上所述：这两根木条的中点间的距离是或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $