第16讲 角（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

本初中数学讲义系统梳理角的核心知识，从静态（公共端点两条射线）与动态（射线旋转）定义入手，涵盖四种表示方法、度分秒换算及方向角应用，构建从概念到应用的完整知识支架。 资料通过表格对比定义、结合钟面角等生活情境，培养几何直观与应用意识。题型分层设计，强化训练含选择填空解答题，助力教师分层教学，学生可课后自测，提升运算能力与推理意识，有效查漏补缺。

第16讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的度量与单位换算 4.方向角 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、方向角的表示 六、角度的四则运算 七、与方向角有关的计算题 八、角的单位与角度制 九、角的度数大小比较 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有 公 共 端 点 的两 条 射 线 所 组成的图形叫作角 这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 “动”态的观点 角 可 以 看 作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形成的图形 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 知识点2.角的表示方法 1. 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 表示方法 示例 记法 方法解读 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，要写在中间， A， B 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一个点为顶点的角只有一个时，可用表示这个顶点的字母来表示该角 续表 表示方法 示例 记法 方法解读 用数字表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 . 该表示法形象直观 用希腊字母 表示 ∠ α 2. 角的分类  角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图例 角度 范围 0°<α <90° α =90° 90°<α <180° α =180° α =360° 知识点3.角的度量与单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ . 2. 角的换算  1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = () ° ， 1″ = () ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = () ′ = () ° . 知识点4.方向角 1. 方向角 平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测绘、 航海中经常用到 . 示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 . 2. 方向角的描述  一般地方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角： (1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线的方向， 又叫北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° . 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（2024七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 2．如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 3．图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 题型二、角的表示方法 4．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 5．将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    6．如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 题型三、角的分类 7．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 8．1周角= 平角，3平角= 直角． 9．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 题型四、钟面角 10．（2025七年级上·安徽·专题练习）小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）时钟在13时30分时，钟面上时针与分针形成的夹角的度数为 ． 12．（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时时针与分针所夹的角是 ___________度． (2)点分时针与分针所夹的角是 ___________度． (3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 题型五、方向角的表示 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，聪聪在明明的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 14．如图，以学校为观测点，购物中心在 偏 ， 的方向上， 在北偏西的方向上，游乐场在 偏 ， 的方向上． 15．下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空 （1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； （4）若以学校为观测点，小明家在学校的 ． 题型六、角度的四则运算 16．在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是(　　) A．80.6° B．40° C．80.8°或39.8° D．80.6°或40° 17．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算： ． 题型七、与方向角有关的计算题 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线，则（    ） A．99° B． C． D． 19．如图，甲从A点出发沿北偏东70°方向走50m到达点B，乙从A点出发沿南偏西15°方向走80m到达点C，则∠BAC＝ ． 20．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，轮船B位于南偏东17°的方向，求∠AOB的度数． 题型八、角的单位与角度制 21．下列换算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·安徽黄山·期末） ； 题型九、角的度数大小比较 23．若∠A=20°18′，∠B=20°15″，∠C=20.25°，则有（　　　 ） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 24．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）比较大小： ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 25．如图，小华在街心花园的步道上观看宣传画廓，他发现在点处观看效果最佳． (1)请测量，，，的度数，发现哪两个角近似相等？ (2)请在步道上点的两边分别任意取一点，，画出，，测量，，的度数，并指出它们中的最大角． 强化训练 一、单选题 1．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 2．用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是（   ） A． B． C． D． 3．若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．广场为观测点，学校在北偏西的方向上，下图中正确的是（ ）． A． B． C． 5．用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 6．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 8．有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（    ） A．10个 B．18个 C．45个 D．55个 二、填空题 10．4点25分时，钟表上时针与分针所成的角的度数为 度． 11．计算： ．（结果用度、分、秒表示） 12．如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 13．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 14．我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 ； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是，则这两个角的平分线的夹角度数为 ． 15．如图，与的顶点重合，且，，和分别是与的平分线． （1）当A、Ｏ、C三点在一条直线上时，则的度数为 ． （2）若与没有重叠部分，当时，则的度数为 ． 三、解答题 16．计算 (1)； (2)． 17．如图，，，平分，求的度数． 18．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 19．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是　 　； （2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 20．如图，点，，在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 21．如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的度量与单位换算 4.方向角 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、方向角的表示 六、角度的四则运算 七、与方向角有关的计算题 八、角的单位与角度制 九、角的度数大小比较 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有 公 共 端 点 的两 条 射 线 所 组成的图形叫作角 这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 “动”态的观点 角 可 以 看 作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形成的图形 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 知识点2.角的表示方法 1. 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 表示方法 示例 记法 方法解读 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，要写在中间， A， B 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一个点为顶点的角只有一个时，可用表示这个顶点的字母来表示该角 续表 表示方法 示例 记法 方法解读 用数字表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 . 该表示法形象直观 用希腊字母 表示 ∠ α 2. 角的分类  角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图例 角度 范围 0°<α <90° α =90° 90°<α <180° α =180° α =360° 知识点3.角的度量与单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ . 2. 角的换算  1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = () ° ， 1″ = () ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = () ′ = () ° . 知识点4.方向角 1. 方向角 平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测绘、 航海中经常用到 . 示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 . 2. 方向角的描述  一般地方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角： (1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线的方向， 又叫北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° . 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（2024七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查角的定义，根据具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断出选项A、B的正误；根据一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，即可判断出选项C和D的正误． 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的． 故选：D． 2．如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 【答案】 10 【知识点】角的概念理解 【分析】由题意根据图形数出即可得出画3条射线，图中角的个数，进而依据结果得出规律即可. 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3= ； 画2条射线，图中共有6个角，6= ； 画3条射线，图中共有10个角，10= ； …， ∴画n条射线，图中共有个角. 故答案为：10，． 【点睛】本题考查对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索得出规律． 3．图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 【答案】，， 【知识点】角的概念理解 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可． 【详解】解：图中以为边的角有3个，分别是：，，． 题型二、角的表示方法 4．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法分别进行分析即可． 【详解】、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、能用，，表示同一个角，故此选项正确； 故选：． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 5．将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【答案】． 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示即可得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示． 6．如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 【答案】(1)图中可以用一个大写字母表示的角是． (2)以A为顶点的角有3个，分别是． (3)与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【知识点】角的表示方法 【分析】此题考查了角和角的表示，熟练掌握角的表示方法是关键． （1）根据角的表示方法解答即可； （2）根据角的表示方法解答即可； （3）根据角的表示方法解答即可． 【详解】（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 题型三、角的分类 7．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【知识点】角的分类 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 8．1周角= 平角，3平角= 直角． 【答案】 2 6 【知识点】角的分类 【分析】本题主要考查周角和平角．根据周角、平角、直角的定义可知，1周角度，1平角度，1直角度．根据度数关系，找倍数关系． 【详解】解：1周角平角；3平角直角． 故答案为：2，6． 9．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 【答案】锐角． 【知识点】角的分类 【分析】根据钝角的概念进行解答即可． 【详解】解：∵大于90°而小于180°的角叫钝角， ∴它的一半是锐角． 【点睛】本题考查的是角的概念，熟知锐角和钝角的定义是解答此题的关键． 题型四、钟面角 10．（2025七年级上·安徽·专题练习）小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 【答案】C 【知识点】钟面角 【分析】本题考查的是钟面角，分别计算各选项中时针和分针的位置角度，判断是否满足直角条件即可． 【详解】解：选项A（9时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 选项B（12时）： 时针和分针均指向12，角度差为，不满足直角条件． 选项C（15时）： 此时角度为，，满足直角条件． 选项D（3时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 综上，只有选项C（15时）满足时针和分针成直角． 故选：C． 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）时钟在13时30分时，钟面上时针与分针形成的夹角的度数为 ． 【答案】/135度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 由于钟表上的时间为下午1点30分，即时针和分针中间相差4.5大格，每大格为即可得到它们的夹角． 【详解】解：13点30分时即下午1点30分时，时针和分针中间相差4.5大格． ∵钟表12个数，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴1点30分时分针与时针的夹角是． 故答案是：． 12．（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时时针与分针所夹的角是 ___________度． (2)点分时针与分针所夹的角是 ___________度． (3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】钟面角、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程，钟面角，熟练掌握钟面角的运算是解题的关键； （1）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示； （2）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示，分针每分走度，时针每分走度，计算求解即可； （3）时针与分针垂直时，夹角为，先得到经过多少分就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：从重合到第一次垂直所需要的时间为， 设一次垂直到下一次垂直经过分钟，则 ， （次 取整为次． 故总次数为（次 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为次． 题型五、方向角的表示 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，聪聪在明明的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角． 【详解】解：聪聪在明明的南偏西方向上． 故选C． 14．如图，以学校为观测点，购物中心在 偏 ， 的方向上， 在北偏西的方向上，游乐场在 偏 ， 的方向上． 【答案】 西 南 图书馆 南 东 【知识点】方向角的表示 【分析】根据方向角的知识解答即可． 本题考查了方向角，熟练掌握方向角知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，以学校为观测点，购物中心在西偏南，的方向上，图书馆在北偏西的方向上，游乐场在南偏东，的方向上． 故答案为：西，南，，图书馆，南，东，．（答案不唯一） 15．下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空 （1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； （4）若以学校为观测点，小明家在学校的 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）北偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】（1）（2）（3）根据方向角的定义画出射线即可； （4）根据学校在小明家南偏东，即可得以学校为观测点，小明家在学校的北偏西． 【详解】解：（1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； 如图： （4）∵学校在小明家南偏东， ∴以学校为观测点，画出十字线，小明家在学校的北偏西． 故答案为：北偏西． 【点睛】本题考查方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型六、角度的四则运算 16．在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是(　　) A．80.6° B．40° C．80.8°或39.8° D．80.6°或40° 【答案】C 【知识点】角度的四则运算 【分析】分两种情况考虑：如图1与图2所示，分别求出∠AOC的度数即可． 【详解】解：分两种情况考虑： （1）如图1所示，此时∠AOC=∠AOB-∠BOC=60.3°-20°30′=39.8°； （2）如图2所示，此时∠AOC=∠AOB+∠BOC=60.3°+20°30′=80.8°， 综上，∠AOC的度数为39.8°或80.8°． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的计算，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键，根据度、分、秒的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型七、与方向角有关的计算题 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线，则（    ） A．99° B． C． D． 【答案】D 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】此题考查了方位角及其计算，熟练掌握方位角的定义是解题的关键． 由方位角得到，而，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 19．如图，甲从A点出发沿北偏东70°方向走50m到达点B，乙从A点出发沿南偏西15°方向走80m到达点C，则∠BAC＝ ． 【答案】125°． 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】根据方位角的定义及角的和差即可求得答案. 【详解】北偏东70°方向即为东偏北20°，即∠1＝20°， ∴∠BAC＝90°+1+∠2＝90°+20°+15°＝125°． 故答案为：125°． 【点睛】本题考查了方向角，掌握方向角的表示方法是解答此题的关键． 20．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，轮船B位于南偏东17°的方向，求∠AOB的度数． 【答案】∠AOB=141°． 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】先求出56°的余角为34°，然后再加上90°与17°的和即可解答． 【详解】解：由题意得： AO与东西方向所夹锐角为：90°-56°=34°， ∴∠AOB=34°+90°+17°=141°． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 题型八、角的单位与角度制 21．下列换算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制 【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案． 【详解】A. 47.28°=47°16′48″，正确，不合题意； B. 83.5°=83°30′，故此选项错误，符合题意； C、16°5′24″=16°5.4′=16.09°，正确，不合题意； D、0.25°=15′=900″，正确，不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了度分秒的换算，正确掌握运算法则是解题关键． 22．（24-25七年级上·安徽黄山·期末） ； 【答案】/69度22分 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60则转化为度． 本题考查的知识点是角度的计算，注意度分秒之间的进率为60即可． 【详解】． 故答案为：． 题型九、角的度数大小比较 23．若∠A=20°18′，∠B=20°15″，∠C=20.25°，则有（　　　 ） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【答案】C 【知识点】角的度数大小比较 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵∠C=20.25°=20°15′， ∴∠A＞∠C>∠B， 故选：C． 【点睛】此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键． 24．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）比较大小： ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【答案】= 【知识点】角的度数大小比较 【分析】根据进行换算即可得解． 【详解】解： ， ， 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了角的度数的大小比较，掌握度数的换算是解题关键． 25．如图，小华在街心花园的步道上观看宣传画廓，他发现在点处观看效果最佳． (1)请测量，，，的度数，发现哪两个角近似相等？ (2)请在步道上点的两边分别任意取一点，，画出，，测量，，的度数，并指出它们中的最大角． 【答案】(1)测量见解析，与近似相等,与近似相等， (2)见解析，最大的角是 【知识点】角的度数大小比较 【分析】（1）使用量角器测量4个角即可求解; （2）根据题意画出，，然后测量角度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 测量发现：，，，的度数分别约为 ∴与近似相等,与近似相等， （2）解：如图所示， 测量，，的度数约为 ∴最大的角是． 【点睛】本题考查了角的测量与大小比较，正确的测量角的大小是解题的关键． 强化训练 一、单选题 1．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于90度小于180度的角．由钝角的概念，即可选择． 【详解】A、周角，故A不符合题意； B、平角，故B符合题意； C、周角，故C不符合题意； D、平角，故D不符合题意． 故选：B． 2．用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键在于理解放大镜只改变物体的大小不改变图形的形状．根据放大镜的原理回答即可． 【详解】解：放大镜放只改变物体的大小，不改变物体的形状， 放大4倍的角与原的角相等， 故选：A． 3．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 4．广场为观测点，学校在北偏西的方向上，下图中正确的是（ ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】此题考查的是位置与方向，掌握“上北下南，左西右东”的方向以及夹角的确定是关键． 根据“上北下南，左西右东”的方向确定北偏西的大致位置，再看角度是，即从正北向西偏的角度是，据此解答． 【详解】学校在广场的北偏西的方向上，指的是以正北方向为始边向西旋转的方向上． 图为 故答案为：C． 5．用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查角的估算与分类，先计算出每份是，再估算出序号①②③④表示的度数即可解决问题． 【详解】解：， 因此①表示的度数为，②表示的度数为；③表示的度数为；④表示的度数为， 而是钝角，其度数与④表示的度数相近， 故选：D． 6．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 7．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查求钟面角，根据钟面一周为，一大格为，分针一分钟走，时针一分钟走，结合2时25分时分针和时针的位置，进行求解即可． 【详解】解：我们把时针指向2，分针指向12作为起始位置，当分针指向25时，此时时针转动了，则时针和3之间还有， 故时针和分针之间夹角为． 故选A． 8．有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的运算是解题关键．根据题意画出图形，再根据方向角的运算求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 则这两条射线组成的角的度数为， 故选：A． 9．如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（    ） A．10个 B．18个 C．45个 D．55个 【答案】D 【分析】根据角的个数，推导出一般性规律，进而求解即可． 【详解】解：由题意知画1条射线，图中共有个角； 画2条射线，图中共有个角； 画3条射线，图中共有个角； 由此推导出一般性规律：画条射线，图中共有个角； ∴当 时， 故选D． 【点睛】本题考查了角的概念和规律探索，解题的关键在于推导得出一般性规律． 二、填空题 10．4点25分时，钟表上时针与分针所成的角的度数为 度． 【答案】 【分析】根据时针1小时走30°和时针1分钟走 ，分针1分钟走6°，即可求解． 【详解】解：根据时针1小时走30°和时针1分钟走 ，分针1分钟走6°，可得夹角度数为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了钟面表，理解时针1小时走30°和时针1分钟走 ，分针1分钟走6°是解题的关键． 11．计算： ．（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】本题考查角度的计算和度分秒的转化，掌握是解题的关键． 利用度加度，分加分进行计算，然后再根据进行换算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 【答案】40 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，本题关键是根据两个时刻的夹角找到等量关系并建立方程求解．分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，设此人外出到回家用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，则，求出x即可． 【详解】解：设此人外出购物用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，依题意得： ； 解得：； 故答案为：40． 14．我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 ； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是，则这两个角的平分线的夹角度数为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解答本题的关键． （1）分的角在的内部和外部两种情况求解即可； （2）分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图1，，， 则； 如图2，，， 则； 故答案为：或； （2），分别是，的平分线，， 如图3， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图4， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图5， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 15．如图，与的顶点重合，且，，和分别是与的平分线． （1）当A、Ｏ、C三点在一条直线上时，则的度数为 ． （2）若与没有重叠部分，当时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角的计算，解题的关键是理解题意． （1）根据角平分线可得，，根据A、Ｏ、C三点在一条直线上，得出即可求解． （2）先求出，再根据即可求解． 【详解】解：（1）∵，，和分别是与的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）当时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．如图，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据角度的计算先求出，再根据角平分线的性质得到，再根据故可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质． 18．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 19．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是　 　； （2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 【答案】(1) 北偏东70°；(2) ∠AOE＝90° 【分析】（1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据，，得出，进而求出的度数，根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， ∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°， ∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°；    （2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD＝180°． ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． ∵∠COD＝70°，OE平分∠COD， ∴∠COE＝35°． ∵∠AOC＝55°． ∴∠AOE＝90°． 【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 20．如图，点，，在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据与互余可得，从而得出，再根据角平分线的定义即可求解． （2）设，则，，，再根据与互余可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 21．如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③ (2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可； ③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ， ∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ， ∴图中得到6个角； ③由①②可得， 当从点分别引条射线， ， ∴得到个角； （2）根据题意可得， 当时，． ∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $