第四章 数列（能力提升卷）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高三上·山西朔州·月考）在等比数列中，，是方程的根，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式和性质，计算即可得到所求值． 【详解】 等比数列的公比设为，，是方程的根， 可得，即有，即有， 则 故选：D. 2．（24-25高一下·河北唐山·月考）数列中，，且数列是等差数列，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义求解. 【详解】解：数列中，，且数列是等差数列， 数列的公差， ，解得 故选：D. 3．（25-26高三·全国·课后作业）等比数列前项和为，，则项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意求出，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：由题设可知： 由 解得 又由 即 解得 解得 故选： 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果. 【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，. 故选：B 5．（2025高三下·全国·专题练习）已知为数列的前项和，，则（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】利用，得，当时，由即可推出即可得解. 【详解】当时，，因为，所以． 当时，由得， 两式相减可得，即． 因为，所以， 可得，所以2024． 故选：D. 6．（24-25高一下·重庆渝中·期中）等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解. 【详解】因为数列为等比数列，则，，成等比数列， 设，则，则， 故，所以，得到，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可. 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等比数列的前n项和为，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案. 【详解】当时，，故，， 当时，，分以下几种情况， 当时，，此时； 当时，，此时， 当时，，此时； 当时，，此时； 故当时，与可正可负，故排除A、C. 当时， ，故， ； 当时，，由于与同号，故， 所以符号随正负变化，故D不正确，B正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题. 8．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件中的规律，利用累加法求出数列的通项公式，进而求得，利用裂项相消法求出数列的前20项和即可. 【详解】根据已知条件有， 当时，，，，，， 以上各式累加得：， 又，所以，经验证符合上式， 所以；所以， 设数列的前项和为， 则， 所以. 故选：C 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·海南·期末）已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则的值可能为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】ABD 【分析】根据给定条件求出，再求出即可判断得解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，由，解得或或， 当时，由，得，因此； 当时，由，得，因此； 当时，由，得，因此，ABD可能，C不可能. 故选：ABD 10．（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知数列的前项和满足，，则（    ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】令可求出的值，当时，由可得出，两式作差，结合等差数列的定义可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和满足， 则，即，可得， 当时，由可得， 两式作差，有， 又由，可得当时，，则 有， 可得数列的奇数项、偶数项均成等差数列，可知选项AB正确； ， 故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：ABC. 11．（2025·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（    ） A．= B．当n = 6或7时，取得最小值 C．数列的前10项和为50 D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数． 【答案】ACD 【分析】由等差数列的首项和公差求出等差数列的通项公式，即可结合等差数列的性质判断ACD,由数列的单调性可判断B. 【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确； 对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误； 对于C, ,故C正确， 对于D，由，则， 则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为： ，，，，，， 可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则， 若，解可得，即两个数列共有671项互为相反数，D正确． 故选：ACD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·山东聊城·期中）等比数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【分析】由题意知公比，设首项为，根据等比数列公式，由求出，再代入求出，由此求得. 【详解】设首项为， 因为，显然， 所以， 所以，即， 所以，解得， 又因为，所以， 当时，，， 当时，，此时 故答案为：. 13．（24-25高三下·浙江·月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则 ； . 【答案】 【解析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，,代入即可求解 【详解】因为斐波那契数列满足， ，， ∴；；； …； 所以， 因为 ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于中档题． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列、满足，，，设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分析可知，数列是首项和公比都为的等比数列，求出数列的通项公式，求出的最小值，可得出不等式，由此可求得正整数的最小值. 【详解】因为数列、满足，，， 则，且， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列， 所以，，则， 因为，则数列单调递增， 所以，数列最小项的值为， 若存在使得对任意的都成立，则， 所以，，解得， 所以，正整数的最小值为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·山西运城·开学考试）已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)=. 【分析】(1)根据已知条件，证明－为常数即可； (2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式. 【详解】（1）由已知得，＝2，－＝＝＝2， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列. （2）由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝. 16．（湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出，问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意得 ，得，故 所以 当时，； 当时，， 当时，上式亦成立. 所以. （2）由（1），得， ， 由于，故，即得， 故，即得 故成立. 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）设数列满足且，.记，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求满足不等式的正整数的集合. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用证明出是常数，进而可证明出数列为等差数列； （2）求得，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出，设，可得出不等式，解出的取值范围，由此可得出符合条件的正整数的值. 【详解】（1）数列满足且，则，， 依次类推可知，对任意的，， ， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为， ，解得； （2），则， 所以，，则数列为等比数列，同理可知，数列也为等比数列， 则， ， 由可得， 所以，， 设，，则，可得，整理可得， 解得，即，，所以，正整数的集合为. 【点睛】方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法： （1）定义法：证明为常数； （2）等差中项法：对任意的，证明出. 18．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以． 所以 ； （3）由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 19．（2025·广东·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，后由可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，，后由数学归纳法可证明结论. 【详解】（1）由题，时，有，则 ， 则. 注意到，则. （2）由（1）可得，则 当时，. 故所证结论相当于，，. 当时，结论显然成立； 假设时，结论成立，则， 当时，因，，则. 综上，结论成立. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高三上·山西朔州·月考）在等比数列中，，是方程的根，则（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·河北唐山·月考）数列中，，且数列是等差数列，则等于（    ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高三·全国·课后作业）等比数列前项和为，，则项数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三下·全国·专题练习）已知为数列的前项和，，则（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 6．（24-25高一下·重庆渝中·期中）等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等比数列的前n项和为，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·海南·期末）已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则的值可能为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知数列的前项和满足，，则（    ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 11．（2025·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（    ） A．= B．当n = 6或7时，取得最小值 C．数列的前10项和为50 D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·山东聊城·期中）等比数列的前项和记为，若，则 . 13．（24-25高三下·浙江·月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则 ； . 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列、满足，，，设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·山西运城·开学考试）已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 16．（湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）设数列满足且，.记，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求满足不等式的正整数的集合. 18．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和. 19．（2025·广东·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $