精品解析：甘肃省陇南市武都区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

陇南市武都区2025~2026学年度第一学期期末学业水平测试 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列人工智能图标中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 分式，最简公分母是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 多项式因式分解的结果为（ ） A. B. C D. 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果等于_______． 12. 某种感冒病毒的直径是米，该数值用科学记数法表示为___________． 13. 已知点和点关于y轴对称，那么______． 14. 多项式和的公因式是______． 15. 如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买____元的防水材料． 16. 已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 试说明：代数式的值与的取值无关． 20. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 21. 某小区物业计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求．2025年小区物业花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，则2025年该小区物业购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 22. 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 24. 如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，当，，时，求的长． 25. 老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为 所以．所以当时，值最小，最小值是． 所以最小值是， 依据上述方法，解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）已知，求的最小值． 26. 数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，求的长度； （2）改编此题，如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 27. 综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇南市武都区2025~2026学年度第一学期期末学业水平测试 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列人工智能图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘除法运算法则，解题的关键是熟练掌握“系数相乘/除，同底数幂的指数相加/减”的运算规则． 对每个选项应用单项式乘除或同底数幂运算法则计算结果；对比计算结果与选项，判断正误． 【详解】选项A： 系数：， ， 结果为，但选项A写为，错误． 选项B： 同底数幂相除，指数相减：， 但选项B写为，错误． 选项C： 系数：， ， 结果为，但选项C写为，错误． 选项D： 系数：， 变量部分：， 结果为，与选项D一致，正确． 故选：D． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ ， ∴， 故选：D． 4. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 5. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．由此即可求解． 【详解】解：分式，的分母中，最简公分母为， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的最简公分母的计算方法，掌握最简公分母的概念及计算方法是解题的关键． 6. 将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，由平行线的性质可得，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 多项式因式分解的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，运用平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，需根据分式的运算法则逐一验证每个选项即可． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误． 故选：A． 9. 长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为， 由题意得，， 故选：D． 10. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 某种感冒病毒的直径是米，该数值用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n与小数点移动的位数相同，解题的关键是注意的形式以及指数的确定方法． 【详解】解：米米． 故答案为：． 13. 已知点和点关于y轴对称，那么______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，掌握关于轴对称的点的坐标特点是解答本题的关键．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此可得答案． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， ． 故答案为：10． 14. 多项式和的公因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 15. 如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买____元的防水材料． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 【详解】解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， 厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， 每平方米的防水材料a元， 至少需要购买材料费用：元． 故答案为：． 16. 已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解分式方程的解法是解答关键. 先去分母，再去括号，再移项并合并同类项，求出方程的根，最后检验方程的根即可. 【详解】解：去分母得 去括号得 移项并合并同类项得 解得 经检验，是原方程的根， 原分式方程的解是. 19. 试说明：代数式的值与的取值无关． 【答案】见解析 【解析】 【分析】将代数式利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式的法则计算，去括号合并得到结果为一个常数，可得出代数式的值与x的取值无关． 【详解】解：∵(2x+3)(6x+2)﹣6x(2x+13)+8(7x+2) ＝12x2+4x+18x+6﹣12x2﹣78x+56x+16 ＝22， ∴代数式的值与x的取值无关． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，单项式乘多项式法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 20. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）14；（2）108 【解析】 【分析】（1）原式先提取公因式xy，再整体代入计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）当x＋y＝2，xy＝7时， ＝xy（x＋y）＝7×2＝14； （2）∵，， ∴＝＝＝27×4＝108． 【点睛】此题（1）考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的分解是解本题的关键；（2）考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 21. 某小区物业计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求．2025年小区物业花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，则2025年该小区物业购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】购入单枪、双枪新能源充电桩分别6个、4个 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解应用题：设2025年购入双枪充电桩的数量为个，购入单枪充电桩的数量为个，根据题中等量关系列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设2025年购入双枪充电桩的数量为个， 则购入单枪充电桩的数量为个． 由题意知：， 解得：， 经检验是该分式方程的解，且符合题意， ， 年购入单枪充电桩的数量为6个，购入双枪充电桩的数量为4个． 22. 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【小问1详解】 解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； 【小问2详解】 证明： ， ， 即． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件，得到x的合适的值代入求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 24. 如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 根据得，，再根据点为的中点得，由此可依据“”判定和全等； （2）根据和全等得，，进而得，是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出的长． 【小问1详解】 证明：， ，， 点为的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由可知：， ，， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ． 25. 老师在讲完乘法公式多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是， 依据上述方法，解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）已知，求最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，解题的关键是能将代数式转化为含有完全平方公式形式的式子，再利用完全平方的非负性求出最值． （1）将化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成，再利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，的值最小，最小值是， 即的最小值是； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是． 26. 数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，求的长度； （2）改编此题，如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1） （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：； 证明：如图，在上截取，连接，   平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 27. 综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】（1） ①. ； ②. ； （2），证明见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【小问1详解】 解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $