专题08一元二次方程 2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题)

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程”专题，覆盖定义与一般形式、四种解法、根的判别式、根与系数关系四大核心考点，构建“知识点梳理-易错警示-题型精讲”三阶复习体系，通过真题训练突破解法选择、参数取值等难点，体现系统性与针对性。 亮点在于“易错点精准突破”和“分层题型训练”，如针对韦达定理使用前验证Δ≥0等易错点设置警示，结合新定义运算、实际问题建模等题型培养运算能力与模型意识。配套基础到综合的梯度练习，助力学生高效掌握中考高频考点，教师可依此优化复习节奏，提升学生应考能力。

专题08一元二次方程中考一轮复习核心讲义 · 掌握一元二次方程的定义和一般形式，能准确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 · 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 · 会用根的判别式判断方程根的情况，能根据根的情况求参数取值范围。 · 掌握根与系数的关系，能求与两根相关的代数式的值。 核心知识 点梳理 1.一元二次方程定义与一般形式 2.一元二次方程的四种解法 3.根的判别式 4.根与系数的关系 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义与一般形式 2.一元二次方程的解(根)的性质 3.一元二次方程的解法 4.根的判别式应用 5.根与系数的关系 6.新定义与规律探究 7.拓展应用与实际问题 8.函数与几何综合 【知识点01.一元二次方程定义与一般形式】 1.定义：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式方程。 2.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0） a：二次项系数（不能为 0） b：一次项系数 c：常数项 【知识点02.一元二次方程的四种解法】 解法 适用方程类型 关键步骤 直接开平方法. (x+m)2=n（n≥0） 直接开方得x=−m± 配方法 所有一元二次方程 移项→化二次项系数为 1→配方→开方 公式法 所有一元二次方程 求Δ=b2−4ac→代入公式​​（Δ≥0） 因式分解法 能分解为两个一次因式乘积的方程 右边化为 0→左边因式分解→令每个因式为 0 求解 【知识点03.根的判别式（Δ=b2−4ac）】 Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：无实数根 注意：使用判别式前需保证a≠0 【知识点04.根与系数的关系(韦达定理)】 对于ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），两根为x1、x2​： x1+x2=−​ x1x2=​ 常用变形：+=(x1+x2)2−2x1x2​；+=​​ 易错点警示 1.忽略二次项系数a≠0 2.用韦达定理时未验证Δ≥0 3.配方时等式两边变形不一致 4.实际问题中未舍去不合题意的根 【题型01.一元二次方程的定义与一般形式】 1．（2025·贵州毕节·二模）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 2．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【题型02.一元二次方程的解(根)的性质】 3．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 4．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根， ∴ ∴ ∴一次函数的图象必过定点 故选：B． 6．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 7．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 8．（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 9．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 【题型03.一元二次方程的解法】 10．（2025·贵州铜仁·三模）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选B． 11．（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握用求根公式和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用求根公式直接计算即可； （2）用因式分解法整理方程，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：因式分解得， 整理得， ，． 12．（2015·河北张家口·一模）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 13．（2025·山东青岛·二模）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 14．（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 【详解】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， x、y是实数， ， ， 故答案为：． 15．（2025·广东中山·一模）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 16．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程判别式的意义及根与系数的关系； （1）方程整理后，利用公式法求解即可； （2）①由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可；②利用根与系数的关系得出，求出k并舍去不合题意的值即可． 【详解】解：（1）移项整理得：， ， ∴， 解得：，； （2）①∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：； ②∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴， 解得：或， 又∵， ∴． 【题型04.根与判别式的应用】 17．（2025·河南周口·三模）一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，再求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 18．（2025·辽宁沈阳·二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； C、∵，∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意． 故选：C． 19．（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 20．（2025·内蒙古通辽·二模）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 21．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 22．（2025·西藏·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， ∴m且． 故选：D． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式公式，得到一个关于的不等式，解之，根据一元二次方程的定义，得到，解之，取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， 由一元二次方程定义得， 解得：， 综上可知：且， 故答案为：且． 24．（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 25．（2025·北京朝阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． 且 D． 且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键． 由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】∵ 关于的一元二次方程有实数根， ∴ 且，即且， 解得且， 故选：C． 26．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据直线与相切得出，推出方程有两个相等的实数根，再根据即可求出的值． 【详解】解：的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切， ， 、是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：4． 27．（2025·浙江宁波·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 【答案】4 【分析】先求出方程的根，再根据方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 【详解】解：方程， 解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得，此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个． 故答案为：． 28．（2025·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 【题型05.根与系数的关系】 29．（2024·贵州·模拟预测）若，为方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意可得，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C ． 30．（2025·江苏南通·二模）若a，b是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用根与系数的关系得到两根之和，并将代入方程化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 由根与系数的关系，， ∴． 即． 故答案为：1． 31．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 32．（2025·江西吉安·三模）若α，β是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可得 和 的值，然后代入所求式子计算 【详解】解：∵ α， β 是方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：7． 33．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握并能灵活运用根与系数的关系建立关系式是解题的关键． 由，是一元二次方程的两个实数根，则、、代入，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴、、． ∴ ∴ ． 故答案为：28． 34．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 35．（2025·广东惠州·一模）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在，见解析 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于的方程． （1）由二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． （2）解：不存在，理由如下： 假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【题型06.新定义与规律探究】 36．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用．理解“性质数”定义是解题的关键． 根据“性质数”定义，将函数表达式转化为对应形式，比较参数和的大小． 【详解】∵ 函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∵函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∴ ∵ ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴当时，， 故选：B． 37．（2025·重庆·模拟预测）已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则求出，，，，即可判断①；根据题意得到每3个一组循环，然后求出，，然后根据列方程求解即可判断②；根据每3个一组循环，得到，，然后分别当为偶数和为奇数时，求出和，然后分别代入即可判断③． 【详解】①∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ②根据题意得，每3个一组循环， ∴， ∴ ∵若， ∴ 去分母后整理得， 解得，故②错误； ③∵每3个一组循环， ∴， 当为偶数时，， ∴； 当为奇数时，， ∴； ∴对于任意正整数k，都有成立，故③正确． 综上所述，其中说法正确的有2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了新定义实数运算，解一元二次方程，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 38．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 【题型07.拓展应用与实际问题】 39．（2025·浙江舟山·二模）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)应该定价45元 (3)商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，配方法的意义，一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式和列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，据此列出方程求解即可； （3）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，设出总利润关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把图象上两点，代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得（舍去）或， 答：应该定价45元； （3）解：设商店的利润为W元， 由题意得 ， ∵， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元． 40．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： (1)建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． (2)画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． (3)观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． (4)得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3)当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点 (4) 【分析】（1），分别为矩形相邻两边的长，取值应为正数； （2）直线为过原点和点的一条直线； （3）①将代入求解即可；②联立和整理得关于的一元二次方程，通过根的判别式讨论解的情况即可； （4）由（3）②可知当直线与函数的图象在第一象限有交点时的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：因为，分别为矩形相邻两边的长，所以， ，则满足要求的交点应在第一象限； 故答案为：一． （2）如图所示： （3）①将代入，解得， 故周长的值为12． ②联立和整理得， 当时，该方程无解，有0个交点，即，解得； 当时，该方程有2个解，有2个交点，即，解得； 综上，当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点． （4）由（3）知，当直线与函数的图象在第一象限有交点时，满足矩形的面积为，此时； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象平移、一次函数与反比例函数的交点和一元二次方程根的情况，熟练掌握联立一次函数与反比例函数的解析式求交点和根的判别式是解题的关键． 41．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 42．（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 【详解】解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 43．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，，且 (1)求m与n满足的数量关系； (2)若，是否存在这样的m使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． （1）把a和b的值代入整理解题即可； （2）把代入a和b中，根据求出m的取值范围，再根据得到m的值检验解题即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以， 即， 解得； （2）假设存在这样的m， 因为， 所以， ， ， 因为， 所以， 解得：， 因为， 所以， 即， 即， 因为，矛盾． 因此不存在这样的m． 答：不存在这样的m． 44．（2025·重庆·二模）关于x的多项式，其中n，，，…，为正整数，且，，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则多项式M可以为二次三项式；②若，满足条件的多项式M共有5个；③若方程，只有两个不同的实数解，则当k取最小值时，代数式的最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的项和系数、一元二次方程根的判别式、配方法的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．因为，根据题意多项式M可以为，是二次三项式，可判断①；因为，根据题意满足条件的多项式M共有5个，可判断②；由方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值，可知多项式M为二次三项式，且，，当当k取最小值时，根据题意可知，再根据和，逐步列举出符合题意的和的值，推出多项式M为，再利用配方法求出代数式的最小值，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：①若， ， 多项式M可以为，是二次三项式，故①正确； ②若， ， 满足条件的多项式M为，，，，， 满足条件的多项式M共有5个，故②正确； ③方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值， 多项式M为二次三项式，且，， 取最小值， ， 当时，，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，，解得， 又，且是正整数， ，此时多项式M为， ， 当时，有最小值，此时有最小值， 代数式的最小值为，故③正确； 综上所述，正确的个数是3． 故选：D． 【题型08.函数与几何综合】 45．（2025·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数）的图象经过点和点．点与点不重合，若，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的点的坐标特征，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意表示出，，根据，求出的值，结合点与点不重合，进行判断即可． 【详解】解：已知二次函数（为常数）的图象经过点和点． ， ， ， ， 解得， 当时，，不合题意， ． 故选：B． 46．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 47．（2025·湖南永州·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数交，两点，点在轴上，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)当，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用；勾股定理的应用，一元二次方程的解法； （1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）设，利用勾股定理求解，，，结合求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解： ∵一次函数与反比例函数交，两点， ∴， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）解：设，而，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴. 48．（2025·安徽滁州·三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接．若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，设与交于点，由题意可得四边形是矩形，则，从而求得，则， ，然后通过勾股定理在中， ，即，即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∴， 把代入求得， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴于点， 把代入 ，得， ∴， ∵，， 在中， ， ∴，解得 ， ∵， ∴， 故答案为：． 49．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程． 作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 整理得： 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 50．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一元二次方程中考一轮复习核心讲义 · 掌握一元二次方程的定义和一般形式，能准确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 · 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 · 会用根的判别式判断方程根的情况，能根据根的情况求参数取值范围。 · 掌握根与系数的关系，能求与两根相关的代数式的值。 核心知识 点梳理 1.一元二次方程定义与一般形式 2.一元二次方程的四种解法 3.根的判别式 4.根与系数的关系 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义与一般形式 2.一元二次方程的解(根)的性质 3.一元二次方程的解法 4.根的判别式应用 5.根与系数的关系 6.新定义与规律探究 7.拓展应用与实际问题 8.函数与几何综合 【知识点01.一元二次方程定义与一般形式】 1.定义：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式方程。 2.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0） a：二次项系数（不能为 0） b：一次项系数 c：常数项 【知识点02.一元二次方程的四种解法】 解法 适用方程类型 关键步骤 直接开平方法. (x+m)2=n（n≥0） 直接开方得x=−m± 配方法 所有一元二次方程 移项→化二次项系数为 1→配方→开方 公式法 所有一元二次方程 求Δ=b2−4ac→代入公式​​（Δ≥0） 因式分解法 能分解为两个一次因式乘积的方程 右边化为 0→左边因式分解→令每个因式为 0 求解 【知识点03.根的判别式（Δ=b2−4ac）】 Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：无实数根 【知识点04.根与系数的关系(韦达定理)】 对于ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），两根为x1、x2​： x1+x2=−​ x1x2=​ 常用变形：+=(x1+x2)2−2x1x2​；+=​​ 易错点警示 1.忽略二次项系数a≠0 2.用韦达定理时未验证Δ≥0 3.配方时等式两边变形不一致 4.实际问题中未舍去不合题意的根 【题型01.一元二次方程的定义与一般形式】 1．（2025·贵州毕节·二模）一元二次方程的常数项是 ． 2．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【题型02.一元二次方程的解(根)的性质】 3．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 4．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 7．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 8．（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 9．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【题型03.一元二次方程的解法】 10．（2025·贵州铜仁·三模）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 12．（2015·河北张家口·一模）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 13．（2025·山东青岛·二模）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 14．（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ． 15．（2025·广东中山·一模）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 16．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 【题型04.根与判别式的应用】 17．（2025·河南周口·三模）一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 18．（2025·辽宁沈阳·二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 20．（2025·内蒙古通辽·二模）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 21．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 22．（2025·西藏·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 23．（2025·安徽蚌埠·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 24．（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 25．（2025·北京朝阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． 且 D． 且 26．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 27．（2025·浙江宁波·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 28．（2025·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【题型05.根与系数的关系】 29．（2024·贵州·模拟预测）若，为方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 30．（2025·江苏南通·二模）若a，b是一元二次方程的两根，则 ． 31．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 32．（2025·江西吉安·三模）若α，β是方程的两个根，则的值为 ． 33．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 34．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 35．（2025·广东惠州·一模）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型06.新定义与规律探究】 36．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 37．（2025·重庆·模拟预测）已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 38．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【题型07.拓展应用与实际问题】 39．（2025·浙江舟山·二模）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 40．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： (1)建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． (2)画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． (3)观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． (4)得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 41．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 42．（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 43．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，，且 (1)求m与n满足的数量关系； (2)若，是否存在这样的m使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 44．（2025·重庆·二模）关于x的多项式，其中n，，，…，为正整数，且，，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则多项式M可以为二次三项式；②若，满足条件的多项式M共有5个；③若方程，只有两个不同的实数解，则当k取最小值时，代数式的最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 【题型08.函数与几何综合】 45．（2025·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数）的图象经过点和点．点与点不重合，若，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．4 46．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 47．（2025·湖南永州·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数交，两点，点在轴上，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)当，求的值． 48．（2025·安徽滁州·三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接．若，，，则的值为 ． 49．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为 ． 50．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $