精品解析：辽宁省营口市2025-2026学年 上学期八年级期末质量监测数学试卷

2025－2026学年度上学期八年级期末质量监测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 2. 现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为40，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 18 C. 17 D. 15 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 8. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 9. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用的时间与B型机器人搬运所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？设A型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列方程得（ ） A. B. C D. 10. 如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 血液中血小板具有止血和凝血功能，其平均直径约为（微米），1微米=0.000001米，那么（微米）用科学记数法表示为________米． 12. 命题“若，则”的逆命题是___________（填“真”或者“假”）命题． 13. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 14. 如图，在中，，是高，，，则长为________． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）因式分解： 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是，，，直线上所有点的横坐标都为1． （1）若与关于轴对称，请写出三个顶点的坐标：________，________，________； （2）请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的图形； （3）若点是上一点，则点关于直线对称的点的坐标是________． 19. 如图，和都是等边三角形，连接，． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 20. 如图，已知，点是边上一点，，连接． （1）用无刻度的直尺和圆规过点作出的角平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）若的面积为12，求的面积． 21. 唐代诗人贾岛在《郊居即事》写道：“檐溜煮胡茶，雨后逢行鹭”，描绘了郊居生活的恬淡，茶文化早已超越“饮茶”本身，影响着饮食结构、作息习惯与生活节奏．某茶行用3600元购进乌龙茶，用4050元购进红茶．红茶的总重量是乌龙茶总重量的1.5倍，每千克红茶的进价比每千克乌龙茶的进价少60元． （1）请运用所学知识，求出该茶行采购的红茶和乌龙茶各多少千克？ （2）在该茶行销售过程中，每千克红茶的售价为300元，比乌龙茶的售价少40元，当购进的茶叶全部售出后，该茶行的销售总金额为多少元？ 22. 数学课上老师给出这样一道题：若满足，求值．小睿同学经过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家： 解：设，，则， ， ． 请参考上述解法，解决下面问题： 【初步应用】 （1）若满足，求的值． 【类比探究】 （2）若满足，求的值． 【拓展提升】 （3）如图，点，分别在正方形的边，上，，，长方形的面积是24，分别以，为边作正方形和正方形，，可得四边形为正方形，求正方形的面积（请写出解题过程） 23. 在中，，． （1）如图，是的角平分线，若的中点为，连接交于，求证：； （2）如图，是的角平分线，过点作，垂足为，猜想与之间数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，当时，在射线上有一个动点（在点右侧），连接，并作等腰直角，其中，连接并延长交的延长线于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围，若不变，求出它的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期八年级期末质量监测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据三角形的三边关系定理，第三边必须大于已知两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵已知两边分别为和， ∴第三边x需满足：，即， ∴可以围成三角形的只有C， 故选：C． 3. 如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除，解题关键是熟练掌握整式的相关运算法则． 根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除对选项进行逐一判断即可． 详解】解：选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，符合题意，选项正确； 选项，，由于结果不恒等于，故该计算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 5. 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，只需检查各选项分母是否可能为零，若分母恒不为零，则分式一定有意义． 【详解】分式有意义的条件是分母不等于0， 对于：分母为，当时，分母，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为，当时，，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为，当时，，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为， ， 恒成立， 分母永不为0， 分式一定有意义，故本选项符合题意． 故选． 6. 如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为40，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 18 C. 17 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法． 根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点，的面积为40， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵点F为的中点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 8. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，则． 【详解】解：∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 9. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用的时间与B型机器人搬运所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？设A型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列分式方程的应用，找准关系是解题的关键． 设A型机器人每小时搬运，则B型机器人每小时搬运，根据时间相等列方程即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运，则B型机器人每小时搬运， 则A型机器人搬运所用时间为， B型机器人搬运所用时间为，且时间相等， 所以． 故选：B． 10. 如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质，垂直平分线的性质作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，得到，，，，的周长，当点、在线段上时，的周长取得最小值，证明，得到，同理可得，，再证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴的周长， ∴当点、在线段上时，的周长取得最小值， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 血液中血小板具有止血和凝血的功能，其平均直径约为（微米），1微米=0.000001米，那么（微米）用科学记数法表示为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据的换算关系，将转换为米即可得到科学记数法表示． 【详解】解：已知， 因此． 故答案为：． 12. 命题“若，则”的逆命题是___________（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了逆命题与判断命题的真假，写出逆命题，举出反例，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”， 不妨设，，满足，但， ∴“若，则”是假命题， 故答案为：假． 13. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握解分式方程． 先解分式方程，再根据分式方程解为负数即可得解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，是高，，，则的长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．先求出，据此可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到的面积是解题的关键． 连接，先证，得到，进而得到，再由，得到，再结合三角形面积公式求出的长． 【详解】连接， 在中，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ , ∴，即， 解得． 故答案：8． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，因式分解． （1）利用单项式乘多项式展开，再合并同类项即可． （2）利用分组分解法分解，再利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是，，，直线上所有点的横坐标都为1． （1）若与关于轴对称，请写出三个顶点的坐标：________，________，________； （2）请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的图形； （3）若点是上一点，则点关于直线对称的点的坐标是________． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，中点坐标公式，熟练掌握对称作图和中点坐标公式是解题的关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，确定坐标即可； （2）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标后画图即可； （3）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标． 【小问1详解】 解：∵与关于x轴对称，，，， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： ； 【小问3详解】 解：设对称点坐标为， 根据题意，得， 解得， 故， 故答案为：． 19. 如图，和都是等边三角形，连接，． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用即可证明； （2）由得到，，求得，根据，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ． 20. 如图，已知，点是边上一点，，连接． （1）用无刻度的直尺和圆规过点作出的角平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）若的面积为12，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形的中线等分三角形面积等知识点． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明， 则，，那么，而，，则． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 解：平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ． 21. 唐代诗人贾岛在《郊居即事》写道：“檐溜煮胡茶，雨后逢行鹭”，描绘了郊居生活的恬淡，茶文化早已超越“饮茶”本身，影响着饮食结构、作息习惯与生活节奏．某茶行用3600元购进乌龙茶，用4050元购进红茶．红茶的总重量是乌龙茶总重量的1.5倍，每千克红茶的进价比每千克乌龙茶的进价少60元． （1）请运用所学知识，求出该茶行采购的红茶和乌龙茶各多少千克？ （2）在该茶行销售过程中，每千克红茶的售价为300元，比乌龙茶的售价少40元，当购进的茶叶全部售出后，该茶行的销售总金额为多少元？ 【答案】（1）该茶行采购的红茶和乌龙茶各千克和千克． （2）元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的经济问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设该茶行采购的乌龙茶为千克，则采购的红茶为千克，根据题中的等量关系列出分式方程求解，从而可求得该茶行采购的红茶和乌龙茶的重量； （2）根据两种茶的各自售价乘以相应的重量即可求得茶行的销售总金额． 【小问1详解】 解：设该茶行采购的乌龙茶为千克，则采购的红茶为千克． 根据题意得， ， 解得，， 检验：当时，，所以原分式方程的解为， ， 答：该茶行采购的红茶和乌龙茶各千克和千克． 【小问2详解】 解：元， 答：该茶行的销售总金额为11850元． 22. 数学课上老师给出这样一道题：若满足，求的值．小睿同学经过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家： 解：设，，则， ， ． 请参考上述解法，解决下面的问题： 【初步应用】 （1）若满足，求的值． 【类比探究】 （2）若满足，求的值． 【拓展提升】 （3）如图，点，分别在正方形的边，上，，，长方形的面积是24，分别以，为边作正方形和正方形，，可得四边形为正方形，求正方形的面积（请写出解题过程） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，，可得出，再根据，可得出，从而可求得； （2）设，，可得出，，再求得，从而可得； （3）设，，正方形的边长为，可得出，，从而可得，再根据长方形的面积是24，求得，从而可利用完全平方公式求得． 【详解】（1）解：设，， 则， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴ ∴， 即； （3）解：设，，正方形的边长为， 则，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴ ． 23. 在中，，． （1）如图，是的角平分线，若的中点为，连接交于，求证：； （2）如图，是的角平分线，过点作，垂足为，猜想与之间数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，当时，在射线上有一个动点（在点右侧），连接，并作等腰直角，其中，连接并延长交的延长线于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围，若不变，求出它的长度． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．利用等腰直角三角形的特殊角度、角平分线的性质，构造全等三角形；对于动态问题，通过全等转化线段关系确定定值，是解题的关键． （1）先由是等腰直角三角形，得、；再结合角平分线得，通过角度计算得到，从而得． （2）延长交于，证、，从而得． （3）过作，垂足为，证明，得到、，进而得到，继而根据是等腰直角三角形，得到（定值）． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，延长交于， ∵平分， ∴， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的长不变，， 如图，过作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $