精品解析：辽宁省营口市2024--2025学年上学期八年级期末质量监测数学试卷

2024-2025学年度上学期八年级期末质量监测 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据0.0000086用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ） A. 以的速度，做竖直向上运动 B. 以的速度，做竖直向下运动 C. 以的速度，做竖直向上运动 D. 以速度，做竖直向下运动 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一条笔直河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（ ） A. 28° B. 36° C. 45° D. 72° 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 太阳能热水器安装有一个进水管（冷水管）和一个出水管（热水管）．单独打开进水管，可以将空的热水器注满水；单独打开出水管，以把注满水的热水器中的水放尽．如果把进水管与出水管同时打开，那么注满一台空热水器需要的时间是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点P和点Q关于x轴对称，已知点P坐标为，则点Q的坐标为______． 12. 分式方程解是________． 13. 若，，则的值为______． 14. 如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则__________． 15. 如图，在中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 19. 如图，在中，，，，点为上一点，且，，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 我国是能源消耗大国，为了推动绿色发展，实现“双碳”目标，我国现大力发展新能源．光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术．我国的光伏发电量世界第一． 现有一光伏发电厂平均每公顷土地发电量比原来增加100千瓦，原来发电1100千瓦的一块土地，现在总发电量增加了20千瓦，问原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是多少千瓦？ 21. 如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证： （1）； （2）． 22. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． （1）观察图形，可以发现多项式因式分解为_________； （2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； （3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： __________________（因式分解形式） 23. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）试猜想线段与，之间存在怎样数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期八年级期末质量监测 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据0.0000086用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：， 所以，， 故选：D． 2. 一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ） A. 以的速度，做竖直向上运动 B. 以的速度，做竖直向下运动 C. 以的速度，做竖直向上运动 D. 以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查镜面对称．解题的关键是掌握镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．据此解答即可． 【详解】解：小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 5. 已知分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程解的意义，将代入分式方程后即可得出答案．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：C． 6. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 7. 如图所示，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理得出，再证明得，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 8. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（ ） A. 28° B. 36° C. 45° D. 72° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB=∠ACD=，再由邻补角得出∠ACB=∠EAC=，结合图形代入求解即可． 【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠EAB=∠ACD=， ∴∠ACB=∠EAC=180°， ∴∠BAC=∠EAB-∠EAC =108°， 故选：B． 【点睛】题目主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，从实际问题中抽象出分式方程是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选A． 10. 太阳能热水器安装有一个进水管（冷水管）和一个出水管（热水管）．单独打开进水管，可以将空的热水器注满水；单独打开出水管，以把注满水的热水器中的水放尽．如果把进水管与出水管同时打开，那么注满一台空热水器需要的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式的混合运算，设同时把进水管与出水管同时打开，注满一台空热水器需要的时间是，把空的热水器注满水的水量看作为“整体”，根据单独打开进水管，可以将空的热水器注满水，得进水管的工作效率为，再根据单独打开出水管，可以把注满水的热水器中的水放尽，得出水管的工作效率为，进而得同时开放时的工作效率为，然后根据“工作效率工作时间工作总量”列出方程，解方程求出即可．理解题意并列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设同时把进水管与出水管同时打开，注满一台空热水器需要的时间是， 依题意，得：， 解得：， 即， ∴注满一台空热水器需要的时间是． 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点P和点Q关于x轴对称，已知点P坐标为，则点Q的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 【详解】解：∵点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为， ∴Q的坐标为， 故答案为：． 12. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，方程两边都乘以，得出，求出方程的解，再进行检验即可．能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． 【详解】解：方程两边都乘以，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 即原分式方程的解是． 故答案为：． 13. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，因式分解的应用，将转化为是解决问题的关键． 通过因式分解将转化为，再整体代入即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，同理可得，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4 15. 如图，在中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】解法一：根据题意可得是等腰直角三角形，可证，得到，在中，由直角三角形两锐角互余可得，根据对顶角相等可得，则有是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再根据即可求解； 解法二：根据证明得出证明得设由勾股定理求出，，过点F作于点M，则证明求出在中，由勾股定理得解方程即可． 【详解】解：解法一：∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，为的中点，， ∴， ∴； 解法二：∵ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 设 ∴ 在中， ∴ ∴， 中， 在中，， 过点F作于点M，则 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点，且 ∴ ∴ 在中， 即 整理得，， ∵ ∴， ∴ ∴（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，再进行合并即可； （2）直接利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可； 掌握相应的运算法则，公式和运算顺序是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算， （1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行乘法运算； （2）先进行括号内的减法运算，同时将除法化为乘法，然后约分后进行乘法运算； 掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 【答案】、两点间的距离为30米 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．由三角形内角和定理，得出，进而证明，推出，即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 在和中， ， ． ， ， 米， 即、两点间的距离为30米． 19. 如图，在中，，，，点为上一点，且，，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据即可得证； （2）由（1）知：，从而可得，由得到，最后由三角形内角和定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，垂直的定义．掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 我国是能源消耗大国，为了推动绿色发展，实现“双碳”目标，我国现大力发展新能源．光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术．我国的光伏发电量世界第一． 现有一光伏发电厂平均每公顷土地发电量比原来增加100千瓦，原来发电1100千瓦的一块土地，现在总发电量增加了20千瓦，问原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是多少千瓦？ 【答案】原来和现在发电场每公顷土地发电量各是5500千瓦、5600千瓦． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设光伏发电厂原来平均每公顷土地发电量为千瓦，根据发电板的面积不变列分式方程求解即可． 【详解】解：设光伏发电厂原来平均每公顷土地发电量为千瓦 由题意得： 方程两边乘得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 答：原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是5500千瓦、5600千瓦 21. 如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可； （2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【小问1详解】 ， ． 又，， ； 【小问2详解】 为中点， ． ，， ， ． 由（1）得， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 22. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． （1）观察图形，可以发现多项式因式分解为_________； （2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； （3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： __________________（因式分解形式） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键， （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得到从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为：，由于每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图1可得：矩形的面积为：， ∵； 故答案为：． 【小问2详解】 解：由图得，所有裁剪线长之和为：， 每块小长方形的面积为4， ， 四个正方形的面积之和为34， ， ∴， ∴， 或（舍去）， ， 小问3详解】 解：由图2中左图得，几何体体积为：， 由图2中右图得，几何体体积为：， ． 23. 如图，在中，，角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）试猜想线段与，之间存在怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）确定，可得，根据即可得证； （2）由（1）结论可得，，，继而得到，证明，可得，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 线段与，的数量关系：． 证明：∵， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点．证明和是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$