精品解析：黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年高一上学期1月学业质量检测数学试题

黑龙江省哈尔滨市部分学校2025-2026学年高一上学期1月学业质量检测（期末联考）数学试题 命题人：杜铂 代奇 郭丹丹 张艾楠 审题人：谢宏霞 高霞 本试卷共19题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】， 故选：C 2. 已知命题，则命题p的否定为（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定要求，改变量词否定结论即可得到答案. 【详解】根据题意可知命题是特称命题， 由特称命题的否定要求可知改变量词否定结论，即需变成， 否定为， 综合可知命题p的否定为. 故选： 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A错误， 对于B，为周期函数，在上不单调，故B错误， 对于C，为奇函数，故C错误， 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，则， 所以为偶函数，且在上，单调递增，故D正确. 故选：D. 4. 已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 由题意可得，故， 故选：B 5. 若且，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由题意，，又，则由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6. 把函数的图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换逐步求解. 【详解】把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 将函数所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数， 故选：C. 7. 已知角终边在直线上，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，即可利用弦切互化求解. 【详解】由的终边在直线上可得， 故 故选：A 8. 方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元，将问题转化为两个不相等的正实数根，利用判别式以及韦达定理即可求解. 【详解】由可得， 令，故两个不相等的正实数根， 故，解得， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列等式正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式、诱导公式和角范围逐项判断即可. 【详解】已知，所以， 所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC. 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的对称轴为 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，从图象求出，最小正周期，得到，将代入解析式，得到，得到函数解析式及；CD选项，根据整体法求解出对称轴和单调递增区间. 【详解】AB选项，从图象可以得到函数最大值为2，故， 函数的最小正周期为，又，故， 故， 将代入解析式可得，即， 又，故，所以，解得， 所以，B错误； 故，A正确； C选项，令，解得， 故的对称轴为，C正确； D选项，令，解得， 故的单调递增区间为，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，用表示中的较小者，记为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象不可能是一条直线 B. 的图象可能是一条抛物线 C. 当时，的值域为 D. 若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A将问题转化为在上恒成立判断；B将问题转化为在上恒成立，结合判断；C解方程，举反例即可；D由选项B可知，当时，不符合题意；若，先说明当时，不符合题意，再利用反证法求证是的唯一整数解，进而解即可. 【详解】对于A：若的图象是一条直线，则在上恒成立， 即在上恒成立，显然不成立，故A正确； 对于B：若的图象是一条抛物线，则在上恒成立， 即在上恒成立， 只需，即即可，故B正确； 对于C：当时，， 解，得， 此时，故C错误； 对于D：①由选项B可知，当时，在上恒成立， 故在上恒成立，显然不符题意； ②若，当时，，即当时，无解； 若且，使得，则， 因为在单调递减，故， 则，此时也是满足题意的整数解，与题意不符， 因此该唯一整数解只能为1， 因为当时，所以只需，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数运算和对数运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：1 13. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，从而，利用幂函数的性质，即可求解. 【详解】设，由题知，得到，所以， 得到，由，得到， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数为定义在上的奇函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可得，即可求解. 【详解】由于为定义在上的奇函数， 故的对称中心为，则，. 故答案为：2025 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是第三象限角，且满足. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用弦切互化求解；方法二：由题干条件结合平方关系求解； （2）根据平方关系化简即可求解. 【小问1详解】 方法一：， 所以. 方法二：， 由为第三象限角，， 所以 【小问2详解】 为第三象限角， . 16. 已知函数 （1）求的定义域，并证明是奇函数； （2）求不等式的解集； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质确定定义域，再根据奇函数的定义进行证明； （2）利用函数的单调性求解不等式； （3）结合定义域和单调性确定参数的取值范围. 【小问1详解】 因为所以的定义域为：， 因为， 所以，所以为奇函数. 小问2详解】 ， 所以， 所以，即：， 所以，不等式的解集为：； 【小问3详解】 对于函数，令， 由反比例函数性质可知，在内单调递增，故在内单调递增， 由可得， 因为是奇函数，故， 解得. 17. 近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章x（万件），其它成本为（万元），且，经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完. （1）求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； （2）2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为8万件时，利润最大，最大为25万元 【解析】 【分析】（1）利润等于销量乘以售价减成本进行求解； （2）分别利用二次函数性质和基本不等式分段求最值． 【小问1详解】 总收入：， 当时， 当时， 所以，2026年总利润为：； 【小问2详解】 当时， 当时，利润最大，最大为万元. 当时， 当且仅当，即：时，利润最大，最大为25万元. 因为，所以年产量为8万件时，利润最大，最大为25万元． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且. （1）求与； （2）求与的解析式，并判断的单调性，不用说明理由； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），在上是增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）分别将和代入得到一个方程组，并利用奇偶性变形，解方程组即可求出和； （2）将代入并利用奇偶性变形，与原式组成方程组，求出和，再利用函数的性质判断的单调性即可； （3）由（2）可知在上是增函数，利用单调性将条件转化为⑤在恒成立，令，则⑤可化为⑥，再对⑥分情况讨论，当时，通过分离参数转化为最值问题，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在上是奇函数，在上是偶函数， 且，所以①， 所以②， 联立①②组成的方程组，可解得； 【小问2详解】 因为在上是奇函数，在上是偶函数，且③， 则，即④， 联立③④组成的方程组可得. 又因为， 而在上为增函数，在上为减函数， 所以在上是增函数； 【小问3详解】 由（2）可知，在上是增函数， 若对恒成立 则有在恒成立， 即⑤在恒成立. 令，则， 又因为，所以， 则⑤式可化为，即⑥. 当时，⑥式恒成立，所以； 当时，⑥式可化为， 当时，取到最小值， 所以. 综上，实数的取值范围. 19. 定义三阶行列式运算：，其中.已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有a的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据行列式运算即可； （2）根据对称轴分类讨论，结合一元二次函数性质求最小值即可； （3）根据韦达定理化简得出，再根据即可求出. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 因为对任意，都有恒成立，所以， ①当时，，则，解得， ②当时，，则， 解得，故； ③当时，，则，无解； 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为是一元二次方程的两个不相等的实数根， 故，解得：或， 由韦达定理得：，， 则 ，此式需为整数， 因为整数，为整数，故需为整数， 又，且，，所以， 又，27的因数有， 故，故，符合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市部分学校2025-2026学年高一上学期1月学业质量检测（期末联考）数学试题 命题人：杜铂 代奇 郭丹丹 张艾楠 审题人：谢宏霞 高霞 本试卷共19题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题p否定为（ ） A. ， B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 若且，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 12 6. 把函数图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在一个周期内图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的对称轴为 D. 的单调递增区间为 11. 已知函数，用表示中的较小者，记为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象不可能是一条直线 B. 的图象可能是一条抛物线 C. 当时，的值域为 D. 若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 13. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为__________. 14. 已知函数为定义在上的奇函数，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是第三象限角，且满足. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数 （1）求的定义域，并证明是奇函数； （2）求不等式的解集； （3）若，求实数的取值范围. 17. 近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章x（万件），其它成本为（万元），且，经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完. （1）求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； （2）2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且. （1）求与； （2）求与解析式，并判断的单调性，不用说明理由； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 19 定义三阶行列式运算：，其中.已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有a的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $