精品解析：黑龙江省七台河市勃利县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

黑龙江省七台河市勃利县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 考生注意：考试时间120分钟，总分120分． 一、选择题（每小题3分，本题满分30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的图标，下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项不合题意． D．，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 故选：B． 4. 等腰三角形的一个内角是，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分为顶角、底角两种情况，分别运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出另外两个角即可． 【详解】解：当为顶角时，设底角为x， 则，解得：， ∴另外两个角为． 当为底角时，另一个底角也为， 则顶角为， ∴ 另外两个角为． 综上，另外两个内角的度数分别为或． 故选：D． 5. 如图，△ABC≌△DEF，下列结论不正确的是( ) A. AB=DE B. BE=CF C. BC=EF D. AC=DE 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可判断，即两全等三角形对应边相等，对应角相等． 【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴BE=CF，故A，B，C正确． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型． 6. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求a的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 经检验是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 7. 若且，则代数式的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活运用整体思想是解题的关键． 先将代数式展开，然后化成含有和的形式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：又∵， ， ∴． 故选A． 8. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 9. 如图，中，的垂直平分线分别交边于E，F点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（ ） A. 27 B. 29 C. 30 D. 76 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：C． 10. 如图，为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点，连接以下三个结论：①；②；③恒成立的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 由等边三角形的性质可得，从而可根据得到，结合全等三角形的性质可判断①的正误； 由可得，结合可得到可得，易得，由三角形外角的知识可得，即，据此可判断②的正误；由可得，再结合对顶角相等、三角形内角和定理以及等量代换即可判断③。 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴. 在和中， ， ∴， ∴,，故①正确. 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即. ∵，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵ ∴， ∵, ∴，故③正确. 综上，正确的结论有①③，共2个. 故选C. 二、填空题（每小题3分，本题满分30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”这一规律． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，直接对已知点的横，纵坐标进行处理． 【详解】已知点，关于轴对称时： 横坐标不变，仍为6， 纵坐标变为原来的相反数，的相反数是3， 所以点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，，，则∠B=___________° 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解． 【详解】 ，， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键． 14. 若代数式是一个完全平方式，则___________． 【答案】或10 【解析】 【分析】把写成，解答即可； 本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， 故将写成， 根据多项式对应项的系数相等，得到， 故答案为：或10． 15. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 16. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的腰长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和15两部分，列方程解得即可． 【详解】解：设腰长为xcm，底为ycm， 根据题意可知：x-y=15-9=6（cm）或y-x=15-9=6（cm）， ∵周长为24，即x+x+y=24， 当腰长大于底边时，即x-y=6，可解得：x=10，y=4， 此时三角形的三边为10，10，4，满足三角形的三边关系； 当腰长小于底边时，即y-x=6，可解得：x=6，y=12， 此时三角形的三边为6，6，12，不满足三角形的三边关系； 综上可知，三角形的腰长为10cm， 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 17. 若，，m，n为正整数，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，幂的乘方，利用运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，，m，n为正整数， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，过点作，，连接，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键． 过点作交延长线于点，证明，则，所以，即可求． 【详解】解：过点作交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，过点作于．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为24，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 的值最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型． 20. 如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先说直线上的所有点都能使一定是等腰三角形；再分、、三种情况确定点P即可解答． 【详解】解：∵直线是边的垂直平分线， ∴直线上存在点到点A、B的距离相等，即直线上的所有点都能使一定是等腰三角形； ∵是等腰三角形， ∴如图：当时，点P为线段的垂直平分线与直线l的交点； 如图：当时，以A为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 如图：当时，以C为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 综上，满足条件的点的个数共有5个， 故答案为：5． 三、解答题（本题满分60分） 21. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式3，再运用平方差公式求解即可； （2）直接运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 22. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是先去分母，转化为整式方程，最后不要忘记检验． （1）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可； （2）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边都乘以得： ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是； 【小问2详解】 解：， 方程两边都乘以得： ， 解得， 检验：时，， ∴原分式方程的解是． 23. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，零的指数幂以及分式的运算，熟练掌握其运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先计算乘方，零的指数幂，再算乘除，最后算加减即可； （2）先计算乘方，再算乘除即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解： ． 24. 先化简，再求值：(x+y)(x﹣y)﹣(4x3y﹣8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝﹣3． 【答案】﹣x2+3y2，26． 【解析】 【分析】先对多项式化简，然后代入求值． 【详解】原式＝x2﹣y2﹣2x2+4y2 ＝﹣x2+3y2． 当x＝1，y＝﹣3时， 原式＝﹣12+3×(﹣3)2 ＝﹣1+27 ＝26． 【点睛】本题考查了整式的混合运算及化简求值．注意运算顺序和符号． 25. 如图，已知和直线m（直线m上各点的横坐标都为2）． （1）画出关于直线m的对称图形； （2）的坐标是_______，若点在内部，P，关于直线m对称，则的坐标是________； （3）请通过画图直接在直线m上找一点Q，使得最小． 【答案】（1） 解：如下图所示； （2）， （3） 解：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称关系作图，确定直角坐标系中点的坐标， （1）根据轴对称关系确定点、、的坐标，顺次连线即可； （2）根据轴对称的性质解答即可； （3）连接，与x轴交点即为点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据上述图形可知：， 直线m上各点的横坐标都为2， ， 由轴对称的性质可知，点关于直线m对称的点的横坐标为，纵坐标为b， 即点关于直线m对称的点的坐标为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：理由如下： 点B和点关于直线m对称， ， ， 即当点Q在上时，最小． 26. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵． ∴ ∵ ∴； （2）3 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质得到，由此根据证明三角形全等； （2）根据三角形的全等的性质得到，由此求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 27. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）600套 （2）200元 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解． （1）设商场第一次购进x套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解； （2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于200”即可列不等式求解． 【小问1详解】 解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； 【小问2详解】 解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 28. 综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）分如图，当在延长线上时，如图，当在线段上时，过点作于两种情况分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3），理由如下： 如图，当在延长线上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省七台河市勃利县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 考生注意：考试时间120分钟，总分120分． 一、选择题（每小题3分，本题满分30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的图标，下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一个内角是，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，△ABC≌△DEF，下列结论不正确的是( ) A. AB=DE B. BE=CF C. BC=EF D. AC=DE 6. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 7. 若且，则代数式的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，的垂直平分线分别交边于E，F点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（ ） A. 27 B. 29 C. 30 D. 76 10. 如图，为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点，连接以下三个结论：①；②；③恒成立的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，本题满分30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 12. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 13. 如图，，，则∠B=___________° 14. 若代数式是一个完全平方式，则___________． 15. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 16. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的腰长为__________． 17. 若，，m，n为正整数，则的值等于______． 18. 如图，在中，，过点作，，连接，，则的长为________． 19. 如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 20. 如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 三、解答题（本题满分60分） 21. 因式分解 （1） （2） 22. 解分式方程 （1） （2） 23. 计算 （1） （2）． 24. 先化简，再求值：(x+y)(x﹣y)﹣(4x3y﹣8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝﹣3． 25. 如图，已知和直线m（直线m上各点的横坐标都为2）． （1）画出关于直线m的对称图形； （2）的坐标是_______，若点在内部，P，关于直线m对称，则的坐标是________； （3）请通过画图直接在直线m上找一点Q，使得最小． 26. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 27. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 28. 综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $