2025-2026学年高一数学上学期期末复习满分冲刺讲义（提高篇）（沪教版）

该高一数学期末复习讲义以“十大考点”为核心构建知识体系，通过模块式框架图梳理集合与逻辑、函数、三角等内容，将幂指对函数性质、三角公式等重难点融入知识网络，直观呈现各考点内在联系与分布规律。 讲义亮点在于分层练习与素养导向设计，基础题夯实运算能力（如集合运算、不等式求解），综合题（应用题、新定义问题）培养推理能力与模型意识，如“香农公式应用”题引导用数学语言解释现实问题。配套思路提示助力分层提升，为教师精准教学提供系统资源支持。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（提高篇） 考点01：集合与逻辑 考点02：等式与不等式 考点03：幂、指数与对数 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 考点05：函数的概念与表示方法 考点06：函数的基本性质 考点07：任意角的三角 考点08：常用三角公式 考点09：应用题 考点10：新定义问题 考点01：集合与逻辑 1.设集合，若，则实数__________． 【答案】1 【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 2. 已知集合，，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求解出一元二次不等式的解集为集合，然后根据交集运算求解出结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 故答案为：. 3. 若集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】解指数方程得集合B，然后由集合并集运算可得. 【详解】由解得，即， 所以. 故答案为： 4. 设全集，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求集合的元素，再利用补集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 5. 设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“___________”. 【答案】或 【解析】 【分析】 假设结论的反面成立，即结论的否定．注意存在量词与全称量词的互换． 【详解】结论：且的否定是或． 故答案为：或． 6. 已知为实数，集合，. （1）求集合、； （2）若，求实数取值范围. 【答案】（1）当时，，当时，，当时，； （2） 【解析】 【分析】（1）对于集合，分类讨论即可；对于集合，解不等式即可求解； （2）对集合进行分类讨论，由可知，求解实数的取值范围即可. 【小问1详解】 对于集合， 当时，， 当时，， 当时，. 对于集合，解不等式得： ，即，所以 【小问2详解】 由，可知. 当时，，，此时，符合题意； 当时，，， 要使得，则，所以. 当时，., 要使得，则，所以. 综上所述：实数的取值范围为：. 7. 已知集合 （1）若，求和; （2）若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化集合包含关系进而列式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 考点02：等式与不等式 8. 已知方程的两根为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用根与系数的关系，解，即可求解. 【详解】由方程的两根为，可得，且， 则. 故答案为：. 9.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【详解】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 10. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据对勾函数的性质判断C. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，，此时，故B错误； 对于C：因为且，所以， 又在上单调递增，所以， 显然满足，故C正确； 对于D：当时，，故D错误. 故选：C 11.设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：B 12.已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将目标式配凑为，再根据基本不等式由，求得的最大值，再求目标式的最小值即可. 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故最小值为. 故答案为：. 13. 设，为正数，且，则最小值是__. 【答案】2 【解析】 【分析】将变形为，利用基本不等式，即可得出答案. 【详解】 当且仅当时取等号 则最小值是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题. 14. 若一元二次不等式的解集为，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根关系解出即可. 【详解】根据题意可知方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，， 故答案为：. 15. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解， 【详解】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 16.不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为,即可求得解集. 【详解】解：因为,, 所以,即, 所以,且, 解得且. 所以解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查含绝对值的分式不等式的解法,注意分母不等于零是易错点 17. 方程的解集为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】由于，等号成立的条件为，所以或 故解集或， 故答案为：或 18. 已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式有解转化为最值问题进而分类讨论求解答案. 【详解】因为关于的不等式有实数解， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 19. 解下列不等式： （1）: （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简后解不等式组即可得到答案； （2）根据绝对值分类讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 【小问2详解】 当，即时，，得， 此时，， 当，即时，，得， 此时，， 综上所述，，即不等式的解集为 考点03：幂、指数与对数 20. 将化简为有理数指数幂的形式_______________. 【答案】 【解析】 【分析】将根式化成指数幂，结合指数幂的公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 21. 当时，求的值___________． 【答案】0 【解析】 【分析】由直接取绝对值号，进行开方运算即可求得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：0 22. 若，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得， 可得，所以. 故答案为：. 23. 已知，则__________.（用表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据指对互化可得，再结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 24. 已知，，用a、b表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知直接利用对数的运算性质以及换底公式求解. 【详解】因为，，， ， 所以，，， . 故答案为：. 25. 若，，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 根据对数的运算法则，逐个选项验证即可 【详解】对于A，，所以，A错； 对于B，，所以，B错； 对于C，，所以，C对； 对于D，，所以，D错； 故选：C 26. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）． A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 【答案】B 【解析】 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形求解增加率即可. 【详解】由题意，将信噪比从1000提升至5000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以. 故选：B. 27.如果不考虑空气阻力，火箭最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到方程，得到. 【详解】由题意得，即， . 故选：B 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 28. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将代入函数求得即可得出. 【详解】将代入函数得，解得，所以此幂函数的表达式是. 故答案为：. 29. 若，，则函数的图象一定过点____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求得函数图像上的定点. 【详解】当时，，此时，故函数图像过定点. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查指数型函数图像过定点问题，属于基础题. 30. 若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式可得出定点的纵坐标. 【详解】由，得， ，的坐标是， 故答案为：. 31. 幂函数在上单调递增，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义可得，再由单调性可得，即可求解. 【详解】由题意，幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数，可得函数在上单调递减，不符合题意； 当时，函数，可得函数在上单调递增，符合题意. 故答案为： 32. 函数的对称中心为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把原函数解析式变形得到，可得，换元，令，，原函数化为，可得它的对称中心，即得原函数对称中心。 【详解】由题得，，可得，设，，则原函数化为，与成反比例函数关系且是奇函数，对称中心为，即，解得，因此函数y的对称中心为. 故答案为： 【点睛】本题考查求函数的对称中心，利用了换元法。 33. 如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为__________.（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 34. 已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数与函数的图像，分，，三种情况求解. 【详解】作出函数与函数的图像，如图， 当时，根据图像得，故A选项正确； 当时，根据图像得，故D选项正确； 当时，根据图像得，故B选项正确； 故不可能成立的是. 故选：C 【点睛】本题考查指数函数的图像性质，考查数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于做出函数与函数的图像，根据图像，数形结合求解. 35. 已知函数的表达式. （1）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由 （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由 【答案】（1）在单调递减，理由见解析 （2）存在实数满足题意， 【解析】 【分析】（1）利用定义法判断函数单调性即可； （2）根据奇函数定义直接求解即可. 【小问1详解】 在单调递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，，所以， 所以，所以在单调递减 【小问2详解】 存在实数，使得函数是奇函数，理由如下： 定义域关于原点对称， 由， 则， 则，即存在实数满足题意， 36（1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； （2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义可知，由此可构造方程求得结果； （2）根据单调性定义可知对任意，恒成立，由此可整理得到，根据可求得的取值范围. 小问1详解】 由题意得为奇函数，， 又，，解得：. 【小问2详解】 设，在上为严格增函数，恒成立， 即， ，，即， ，，，即的取值范围为. 37. 已知. （1）解不等式； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并严格证明. 【答案】（1） （2）严格增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式等价于，利用在上是严格增函数求解； （2）法一：利用复合函数的单调性证明；法二：利用函数的单调性定义证明. 小问1详解】 不等式等价于， 因为在上是严格增函数， 所以，解得， 因此不等式的解集为. 【小问2详解】 法一：在定义域上是严格增函数. 证明：设是定义域上任意给定的两个实数，且， 则， 因为在上是严格增函数， 所以， 即， 即证函数在其定义域上严格增函数. 法二：在定义域上是严格增函数. 证明：令， 设是定义域上任意给定的两个实数，且， ， 因为，所以，则， 所以， 即证函数在其定义域上是严格增函数. 考点05：函数的概念与表示方法 38. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的知识确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. B选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系相同，是相同函数. D选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. 故选：C 39. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，所以函数定义域为 40. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得. 综上所述，，即. 故答案为：. 41. 下列函数中与函数相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果. 【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确； 选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确； 选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确； 选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确； 故选：B. 42. 下列函数中，值域是的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A：的值域为； 对于B：，，， 的值域为； 对于C：的值域为； 对于D：，，， 的值域为； 故选D． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题． 43. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】借助分段函数的性质代入计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 44. 已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用分段函数、指数函数单调性列式求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 考点06：函数的基本性质 45. 下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义以及函数的单调性，判断四个选项即可· 【详解】对于A，，根据幂函数性质，可知函数在单调递增，故A错误； 对于B，，定义域为，，所以为偶函数， 又在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，，当，在上单调递增，故C错误； 对于D，，定义域为，，所以为奇函数，故D错误， 故选：B· 46. 已知函数，是偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求出即可. 【详解】因为函数偶函数， 所以，即，可得， 又因为，可得， 即在上是偶函数， 则. 故答案为：. 47. 已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的周期性、奇函数的性质以及对数、指数运算即可得解. 【详解】由题意，所以是周期为4的周期函数，又函数 是上的奇函数， 且当 时，， 所以. 故答案为：. 48. 已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数性质求解析式即可. 【详解】令，则，故， 又， 所以当时，. 故答案为： 49. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，由于是定义在上的奇函数， 所以， 故答案为：0 50. 已知是定义在上的奇函数，且它在区间上是严格增函数，若不等式成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性计算即可. 【详解】由题意可知：在R上单调递增， 等价于， 则. 故答案为： 51. 设函数，则使成立的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由解析式知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则不等式可转为|2x|＜|3x﹣2|，解出即得答案． 详解】函数， ∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增． ∵f（2x）＜f（3x﹣2）， ∴|2x|＜|3x﹣2|， ∴（2x）2＜（3x﹣2）2， 化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0， 解得：x＞2，或x＜． ∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力． 考点07：任意角的三角 52. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A. 小于的角一定是锐角 B. 第二象限的角一定是钝角 C. 始边相同且相等的角的终边一定重合 D. 始边相同且终边重合的角一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误； 对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确； 对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误. 故选：C 53. 设集合，集合，则（ ） A B.  C.  D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角， 四条射线分别是射线 ， 它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 54.已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：该扇形的面积为. 故答案为：8. 55. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知求得大、小两部分扇形面积相减即可得出贴纸部分的面积. 【详解】易知整个扇形纸扇完全打开后的面积为， 未贴纸部分的扇形半径的长为，该部分面积为； 所以贴纸部分的面积为. 故答案为： 56. 已知的终边经过点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 故答案为： 57. 若角满足，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，根据函数值得到答案. 【详解】， 因为，所以， 故，解得 故答案为： 58. 若是任意实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】结合题意：. 故选：C. 59. 设，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简，再上下同除，代入即可. 【详解】 故答案为：2 60. 已知，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】 . 故答案为： 61.. 已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求解即可； （2）先利用诱导公式求出，再将目标式分子分母同除得到关于的式子，再代入的值计算即可. 【小问1详解】 由三角函数的定义可得，若角的终边过点， 则； 【小问2详解】 ， ，即， . 62. 已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. （1）当时，求的值； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合齐次式问题分析求解； （2）根据诱导公式结合同角三角关系可得，结合三角函数的定义分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：，可得 若，则， 所以. 【小问2详解】 因为， 可得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 考点08：常用三角公式 63. 已知，又，，则______. 【答案】##0.96 【解析】 【分析】利用同角关系式可得，，然后利用差角公式即求. 【详解】∵，又， ∴，，又， ∴， 当时， ， 当时， ，此时不合题意. 故答案为：. 64. 已知为锐角，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到，进而结合同角三角函数关系得到的值，利用配角法求得答案即可. 【详解】因为为锐角，所以，所以， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故答案为： 65. 已知，且有，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 因此由， 而，把代入得： ，而， 因此. 故答案为： 66. 已知，化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】本题考查应用二倍角公式化简，熟练掌握三角函数公式及变形是解题关键，属于中档题. 67. 若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 68. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及和角的正弦公式计算即得. （2）利用（1）的信息，利用和角的余弦公式、二倍角的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，，得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 考点09：应用题 69.某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. （1）求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本） 【答案】（1） （2）产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）根据（1）中所求函数关系式，求函数的最大值即可. 【小问1详解】 因为当生产10千台空调需另投入的资金万元， 故，解得； 则， 即； 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值为； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值为； 综上所述，当时，取得最大值， 即产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 70. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 当时， ； 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 所以； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故， 所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 考点10：新定义问题 71.若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. （1）若，问是否为“函数”，请说明理由； （2）若，问是否为“函数”，请说明理由: （3）若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2）是“函数”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“函数”的定义验证即可； （2）若存在满足条件，根据“函数”的定义可得出，构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）令，可知关于的方程有正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 若函数为“函数”， 则，得，明显不成立， 所以不为“函数”. 【小问2详解】 若存在满足条件，即， 则，整理可得， 设，则函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 故函数为“函数”. 【小问3详解】 由条件得， 令，可得，整理可得， 所以关于方程有正根， 则，可得，解得或， 设方程的两根分别为、，则， 且，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 72.对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】（1）不是局部奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即可判断是否为“局部奇函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； 【小问3详解】 由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 73.已知是定义在上的函数，给定数集.若对任意的，当时，均有，则称函数在集合上封闭. （1）若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； （2）若在上封闭，当时，，解不等式； （3）证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”. 【答案】（1）在上封闭，在上不封闭，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，任取判断是否在上，取判断是否在上，即可得结论； （2）根据已知得，进而有只在、上有解，分类讨论求解不等式即可； （3）根据已知有，，且任取，都有成立，再结合封闭的定义及必要性定义证明结论. 【小问1详解】 在上封闭，在上不封闭，理由如下， 任取，则， 所以在上封闭， 取，则，此时， 所以在上不封闭. 【小问2详解】 在上封闭，则任意，都有， 所以， 当时，，此时， 所以时，， 所以只在、上有解， 当，，可得， 当，，则，可得或， 综上，的解集为. 【小问3详解】 在上封闭，易得，所以，， 上封闭，则任取，都有成立， 若，则，故， 即，故， 所以在上封闭， 综上，“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭” 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据封闭的定义分别得到、，为关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（提高篇） 考点01：集合与逻辑 考点02：等式与不等式 考点03：幂、指数与对数 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 考点05：函数的概念与表示方法 考点06：函数的基本性质 考点07：任意角的三角 考点08：常用三角公式 考点09：应用题 考点10：新定义问题 考点01：集合与逻辑 1.设集合，若，则实数__________． 2. 已知集合，，则_______________. 3. 若集合，则__________． 4. 设全集，，则________. 5. 设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“___________”. 6. 已知为实数，集合，. （1）求集合、； （2）若，求实数取值范围. 7. 已知集合 （1）若，求和; （2）若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 考点02：等式与不等式 8. 已知方程的两根为，则______ 9.已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11.设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 12.已知实数满足，则的最小值为__________． 13. 设，为正数，且，则最小值是__. 14. 若一元二次不等式的解集为，则实数__________． 15. 不等式的解集为____________. 16.不等式的解集为________. 17. 方程的解集为__________． 18. 已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是_________. 19. 解下列不等式： （1）: （2）. 考点03：幂、指数与对数 20. 将化简为有理数指数幂的形式_______________. 21. 当时，求的值___________． 22. 若，则_______________. 23. 已知，则__________.（用表示） 24. 已知，，用a、b表示为__________. 25. 若，，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 26. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）． A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 27.如果不考虑空气阻力，火箭最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（ ）． A. B. C. D. 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 28. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是___________. 29. 若，，则函数的图象一定过点____________． 30. 若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是________. 31. 幂函数在上单调递增，则实数___________． 32. 函数的对称中心为__________. 33. 如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为__________.（请用“”连接） 34. 已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 35. 已知函数的表达式. （1）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由 （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由 36（1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； （2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 37. 已知. （1）解不等式； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并严格证明. 考点05：函数的概念与表示方法 38. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 39. 函数的定义域是___________． 40. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 41. 下列函数中与函数相同的是（ ） A. B. C. D. 42. 下列函数中，值域是的是 A. B. C. D. 43. 已知，则________． 44. 已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是________. 考点06：函数的基本性质 45. 下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 46. 已知函数，是偶函数，则______. 47. 已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 _________. 48. 已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为__________． 49. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 50. 已知是定义在上的奇函数，且它在区间上是严格增函数，若不等式成立，则实数的取值范围为__________. 51. 设函数，则使成立的取值范围是_____ 考点07：任意角的三角 52. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A. 小于的角一定是锐角 B. 第二象限的角一定是钝角 C. 始边相同且相等的角的终边一定重合 D. 始边相同且终边重合的角一定相等 53. 设集合，集合，则（ ） A B.  C.  D. 54.已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为__________. 55. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为______. 56. 已知的终边经过点，则_________ 57. 若角满足，，则________． 58. 若是任意实数，则（ ） A. B. C. D. 59. 设，则________. 60. 已知，则______________. 61.. 已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若，求的值． 62. 已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. （1）当时，求的值； （2）若，求点的坐标. 考点08：常用三角公式 63. 已知，又，，则______. 64. 已知为锐角，，则________. 65. 已知，且有，则___________. 66. 已知，化简：__________. 67. 若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 68. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 考点09：应用题 69.某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. （1）求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本） 70. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 考点10：新定义问题 71.若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. （1）若，问是否为“函数”，请说明理由； （2）若，问是否为“函数”，请说明理由: （3）若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 72.对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 73.已知是定义在上的函数，给定数集.若对任意的，当时，均有，则称函数在集合上封闭. （1）若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； （2）若在上封闭，当时，，解不等式； （3）证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $