17.4三角形全等的判定（3）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦三角形全等的判定与性质综合应用，先以知识导航梳理全等三角形性质（对应边、角相等）及判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），再通过分类训练构建“已知条件→判定方法选择→全等证明→性质应用”解题支架，衔接前期基础判定知识，形成完整解题思路链。 资料特色在于分层分类设计与核心素养融合，题型1按已知条件（两角、两边、一边一角）分类，例题分析突出关键推理（如“已知两边找夹角”“证线段相等先证全等”），培养推理能力；题型2-4覆盖性质应用全场景（证线段、角、垂直、和差，两次全等，数全等个数），结合期末真题变式，强化几何直观与空间观念。课中助力教师系统授课，课后学生可借例题变式查漏，提升综合解题能力。

沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.4三角形全等的判定（3） ——性质和判定的综合 知识导航: 1. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等； 2. 三角形全等的判定有：SSS公理，SAS公理，ASA公理，AAS定理 分类训练 【题型1】选用适当方法证全等 ①已知两角再找一边 例1如图，点在一条直线上，，．求证：． 【分析】已有了两组角相等，关键是再找一组边相等（BC=EF），就可以由AAS证明，进而结论得证． 变式练习： 1.（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，、是上的两点，且，∠AEC=∠BFD，求证：OC=OD．    【分析】先证明可得到AC=BD，再证，即可获证． ②已知两边找夹角或第三边 例2（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证： 【分析】已知了两组边相等，关键是再找夹角相等（），就可以证即可． 变式练习： 2.如图，，E，F是AC上的两个动点，且，．． 判断AD和CB之间的位置关系和数量关系.请说明理由． 【分析】结合已知的，再找一组边相等即可用判定 由全等三角形的对应边相等、对应角相等从而证明AD∥CB、AD=CB。 ③已知一边一角再找一角或一边 例3如图，，，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【分析】要证明，已有两个条件：，AB=CD，再找一组角相等是关键. 由得，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用全等三角形判定即可证明； 变式练习： 3.（24-25七年级下·上海·期中）如图，B，E，G，D在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【分析】要证明，已有两个条件：，AB=FD，再找一组角相等是关键. 【题型2】全等三角形性质和判定的综合 ①利用全等证明线段相等 例4（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【分析】要证线段相等（BF=AC），关键是要证明三角形全等() 变式练习： 4.如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．（1）求证：．（2）求证；AD=AE 【分析】(1)由AAS即可证明； （2）要证AD=AE（线段相等），关键是要证明三角形全等（△ADC≌△AEB）； ②利用全等证明角相等 例5已知：如图，与交于点与交于点，BG=BF． 求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，BF=BG，可用SAS证明，即可得到； 结合三角形外角性质以及，即可得． 变式练习： 5.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝32°，求证∠3=60． 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． ③利用全等证明垂直（直角） 例6四边形中，，，，，求证：； 【分析】要证两条直线垂直，关键是证明夹角为直角.本题考查了全等三角形的综合应用．连接，证明，得到，，即可证明； 变式练习： 6.（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．   O 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，垂线的意义，根据垂线的意义可知本题的关键是要证明。可以先利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再证明△ABO≌△ACO即可证明． ④利用全等证明线段的和差关系 例7如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点． 探究发现： 如图1，与是否全等？若全等加以证明，若不全等，请说明理由． 拓展应用： （1）如图1，有怎样的数量关系？并加以证明． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，又怎样的数量关系？（直接写出结论即可）． 【分析】（1）由得到，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，得，得到，所以． 变式练习： 7.如图，于，于，平分，若，，求的长． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，利用“”证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【题型3】证明两次（多次）三角形全等 例8（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，、相交于点O，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． 先证明得到，进而证出，即可证明． 变式练习： 8.（23-24八年级上·安徽阜阳·月考）如图所示，已知，，．    (1)求证：； (2)说明与的位置关系． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定； （1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可得证； （2）根据（1）得出，进而根据，证明得出，进而可得，即可得出． 【题型4】数全等图形的个数 例9 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． (1)图中有几对全等的三角形？请一一列出． (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明． 变式练习： 9．如图，在四边形中，点是延长线上一点，过点的直线分别交，，交于点，，，交的延长线于点，且，． O (1)若，求证：平分； (2)若，在不添加任何辅助线的条件下，你能找出图中有几对三角形全等，分别是哪些？请写出其中一对三角形全等的理由． 【分析】（1）由，，所以∠ABC+∠2=180，再由∠1=∠2可得∠ABC+∠1=180，从而得到，进而得到，再由，即可； （2）图中有4对三角形全等，分别为，，，， 拓展提升 1.如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 2.如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 3.如图，，，与相交于点．    (1)图中有几对全等的三角形，请你选择一对全等三角形，并说明理由； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 4.如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF. (1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由； (2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由． 5．如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 6.如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求与的周长之和． 7.如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 9.在学习了全等三角形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论． 请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规作的角平分线，交于点H．（只保留作图痕迹） 如图，，平分交于D，平分交于H． 求证：． 证明：∵， ∴，， ①________________________， ∵平分，平分， ∴，， ∴②________________________， 在和中， ， ∴（③________________________，）， ∴． 小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④________________________． 10.如图，在中，，过点作射线，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以速度运动，连接交于点，设点运动时间为． (1)求证∶． (2)求的长（用含的代数式表示）． 11．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 请说明； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.4三角形全等的判定（3） ——性质和判定的综合 知识导航: 1. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等； 2. 三角形全等的判定有：SSS公理，SAS公理，ASA公理，AAS定理 分类训练 【题型1】选用适当方法证全等 ①已知两角再找一边 例1如图，点在一条直线上，，．求证：． 【分析】已有了两组角相等，关键是再找一组边相等（BC=EF），就可以由AAS证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 变式练习： 1.（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，、是上的两点，且，∠AEC=∠BFD，求证：OC=OD．    【分析】先证明可得到AC=BD，再证，即而获证． 【详解】证明：， ,∠OAC=∠OBD（两直线平行，内错角相等）． ∵CF=DE ∴CF-EF=DE-EF ∴CE=DF 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． 在△AOC和△BOD中 ∴ ∴CO=OD ②已知两边找夹角或第三边 例2（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证： 【分析】已知了两组边相等，关键是再找夹角相等（），就可以证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 变式练习： 2.如图，，E，F是AC上的两个动点，且，．． 判断AD和CB之间的位置关系和数量关系.请说明理由． 【分析】结合已知的，再找一组边相等即可用判定 由全等三角形的对应边相等、对应角相等从而证明AD∥CB、AD=CB。 【详解】答：平行且相等 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴，AD=CB ∴，AD=CB ③已知一边一角再找一角或一边 例3如图，，，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【分析】要证明，已有两个条件：，AB=CD，再找一组角相等是关键. 由得，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用全等三角形判定即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变式练习： 3.（24-25七年级下·上海·期中）如图，B，E，G，D在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【分析】要证明，已有两个条件：，AB=FD，再找一组角相等是关键. 【详解】（1）证明：∵， ∴； 在和中， ∵， ∴， (2) ∴ ∴BG-GE=DE=GE ∴． 【题型2】全等三角形性质和判定的综合 ①利用全等证明线段相等 例4（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【分析】要证BF=AC（线段相等），关键是要证明三角形全等() 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 变式练习： 4.如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．（1）求证：．（2）求证；AD=AE 【分析】(1)由AAS即可证明； （2）要证AD=AE（线段相等），关键是要证明三角形全等（△ADC≌△AEB）； 证明：(1)，， ， 在和中， ． （2） ∵ ∴DO=EO ∴DO+OC=EO+BO ∴DC=BE 在△ADC和△ABE中， ∴△ADC≌△AEB（AAS） ∴AD=AE ②利用全等证明角相等 例5已知：如图，与交于点与交于点，BG=BF． 求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，BF=BG，可用SAS证明，即可得到； 结合三角形外角性质以及，即可得． 【详解】证明：∵，BF=BG， ∴， ∴∠AFB=∠CGB ∵∠D+∠EBD=∠AFB，∠E+∠EDB=∠CGB ∴ 变式练习： 5.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝32°，求证∠3=60． 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． ③利用全等证明垂直（直角） 例6四边形中，，，，，求证：； 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用．连接，证明，得到，，即可证明； 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 变式练习： 6.（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．   O 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，垂线的意义，根据垂线的意义可知本题的关键是要证明。可以先利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再证明△ABO≌△ACO即可证明． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（）． 得（全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， AO=AO（公共边） ∴△ABO≌△ACO( SAS ) ∴∠AOB=∠AOC(全等三角形对应角相等 ) ∵∠AOB+∠AOC=180（平角定义） ∴∠AOB=90 所以（垂直的定义）． ④利用全等证明线段的和差关系 例7如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点． 探究发现： 如图1，与是否全等？若全等加以证明，若不全等，请说明理由． 拓展应用： （1）如图1，有怎样的数量关系？并加以证明． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，又怎样的数量关系？（直接写出结论即可）． 【分析】探究发现：由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，得； （1）由得到，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，得，得到，所以． 【详解】探究发现：是，证明如下： ①∵， ∴， 又于D，于E， ∴，， ∴， 在和△中， ， ∴， （1），证明如下： 由①知， ∴， ∴； （2）． 理由：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 变式练习： 7.如图，于，于，平分，若，，求的长． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，利用“”证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【题型3】证明两次（多次）三角形全等 例8（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，、相交于点O，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． 先证明得到，进而证出，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 变式练习： 8.（23-24八年级上·安徽阜阳·月考）如图所示，已知，，．    (1)求证：； (2)说明与的位置关系． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定； （1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可得证； （2）根据（1）得出，进而根据，证明得出，进而可得，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4】数全等图形的个数 例9 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． (1)图中有几对全等的三角形？请一一列出． (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明． 【分析】（1）根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面． （2）根据SAS可判断△BDE≌△CDF． 【详解】（1）3对．分别是： △ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF． （2）△BDE≌△CDF． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 又D是BC的中点， ∴BD＝CD． 又∵BE=CF ∴△BDE≌△CDF（SAS）． 变式练习： 9．如图，在四边形中，点是延长线上一点，过点的直线分别交，，交于点，，，交的延长线于点，且，． O (1)若，求证：平分； (2)若，在不添加任何辅助线的条件下，你能找出图中有几对三角形全等，分别是哪些？请写出其中一对三角形全等的理由． 【分析】（1）由，，所以∠ABC+∠2=180，再由∠1=∠2可得∠ABC+∠1=180，从而得到，进而得到，再由，即可； （2）图中有4对三角形全等，分别为，，，， 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即平分； （3） 解：图中有4对三角形全等，分别为，，，，∵， ∴， ∴∠ABC+∠2=180， ∵∠1=∠2 ∴∠ABC+∠1=180， ∴， ∴∠G=∠H，∠DGO=∠HBO ∵， ∴（ASA）， 拓展提升 1.如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的全等三角形的判定方法有：，，，，，做题时需根据题意灵活运用． 根据题干所给条件分析推理即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，全等的三角形有4对， 故选：C． 2.如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可证，进而可证明，可得，，则题目可解． 【详解】解：∵，， 且， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 3.如图，，，与相交于点．    (1)图中有几对全等的三角形，请你选择一对全等三角形，并说明理由； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2对，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用证明，得到，再利用证明； （2）如图，根据得到，，推出，即可得证． 【详解】（1）解：有2对全等的三角形 ①选择， 理由如下： 在和中，， ． ②选择， 理由如下： 在和中，， ． ， 为等腰三角形， ， 在和中，， ． （2）；理由如下：如图：    由（1）可知，， 所以，， 即，， 又因为，所以， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 4.如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF. (1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由； (2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由． 【答案】见解析 【详解】试题分析：（1）由△ABF≌△DEC，可得AB=DE，AF=DC，BF=EC，∠B=∠E，∠AFB=∠DCE，从而可得△ABC≌△DEF，△ACF≌△DFC； （2）由于△ACF≌△DFC，从而∠AFC=∠DCF，从而∠ACE=∠BFD． 试题解析：解：（1）∵△ABF≌△DEC，∴AB=DE，AF=DC，BF=EC，∠B=∠E，∠AFB=∠DCE．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）； 在△ACF和△DFC中，，∴△ACF≌△DFC（SSS）． （2）相等．理由如下： ∵△ACF≌△DFC，∴∠AFC=∠DCF，∴∠ACE=∠BFD． 5．如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 【答案】，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，根据全等三角形的判定与性质，垂直定义进行求证即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∵，， ∴（垂直定义）， 在和中， ∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 故答案为：，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 6.如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求与的周长之和． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 7.如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法及性质是关键． （1）运用角边角证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 8．已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 方法一： 【分析】要证线段相等（AF=CG）可先证，要证三角形全等，关键是再找一组角相等（∠BGC=∠AFB）． 【详解】证明：如图，设与交于点H， ∵，且，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 方法二： 【分析】要证线段相等（AF=CG）可先证，要证三角形全等，关键是再找一组角相等（∠CBG=∠ABF）． 【详解】证明：如图，设与交于点H， ∵，∠A=∠C，AB=AC ∴△ABD≌△CBE ∴∠ABD=∠CBE ∴∠ABD-∠DBE=∠CBE-∠DBE ∴∠CBG=∠ABF 在和中， ∴， ∴． 9.在学习了全等三角形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论． 请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规作的角平分线，交于点H．（只保留作图痕迹） 如图，，平分交于D，平分交于H． 求证：． 证明：∵， ∴，， ① ， ∵平分，平分， ∴，， ∴② ， 在和中， ， ∴（③ ）， ∴． 小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④ ． 【答案】；；；全等三角形对应边上的高（或中线）相等． 【分析】本题考查命题与定理，全等三角形的性质：全等三角形对应的角平分线，高，中线相等．作的平分线，交于点H，再根据全等三角形性质和判定，角平分线定义等填空即可． 【详解】解：用直尺和圆规作的角平分线，交于点H，如图： 证明：∵， ∴，，①， ∵平分，平分， ∴，， ∴②， 在和中， ， ∴（③）， ∴． 对应高线或中线此特征应表述为命题：④全等三角形对应边上的高（或中线）相等． 故答案为：；；；全等三角形对应边上的高（或中线）相等． 10.如图，在中，，过点作射线，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以速度运动，连接交于点，设点运动时间为． (1)求证∶． (2)求的长（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出，是一道基础题目． （1）先判断出，再有运动得出，即可得出结论； （2）先得出，再分点在线段和的延长线上，用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 由运动知，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ，当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，． 11．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，则可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 12．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 请说明； 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， 根据角角边判定三角形全等即可； 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $