专题5.6 三角恒等变换（12类必考点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，系统梳理两角和差公式、二倍角公式及角的代换、常值代换、辅助角公式等变换思想，构建“公式理解-变形应用-实际问题解决”的学习支架，覆盖12个细分考点。 资料亮点在于考点分类细致，例题结合三角形及筒车、广告牌视角等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实，通过公式逆用和推理提升数学思维，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题5.6三角恒等变换 【知识梳理】 1 【考点1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 3 【考点2：用和、差角的余弦公式化简、求值】 4 【考点3：已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 5 【考点4：用和、差角的正弦公式化简、求值】 5 【考点5：已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 7 【考点6：用和、差角的正切公式化简、求值】 7 【考点7：二倍角的正弦公式】 8 【考点8：二倍角的余弦公式】 8 【考点9：二倍角的正切公式】 9 【考点10：辅助角公式】 9 【考点11：三角恒等变换在三角形中的应用】 10 【考点12：三角恒等变换的实际应用】 10 【知识梳理】 1．两角和与差公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ) 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 3．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①=(+)-； ②=-(-)； ③=[(+)+(-)]； ④= [(+)-(-)]； ⑤=(-)-(-)； ⑥-=(-)+(-). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. (3)辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 4．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα 变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin2α＝(sinα－cosα)2 S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 变形：cos2α＝， sin2α＝ C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 5．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 6. 三角函数式化简的一般要求： (1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值． 7．常用的基本变换方法有： 异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等． [方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则 [方法技巧] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用 (1)图象变换问题 先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换． (2)函数性质问题 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式； ②利用公式T＝(ω>0)求周期； ③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　 【考点1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 2．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·月考）若，且．则 ． 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知点是角的终边上一点，则 . 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，是第三象限角，则 ． 【考点2：用和、差角的余弦公式化简、求值】 1．（2026·吉林长春·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）（1）若，，并且，均为锐角，且，求的值； （2）已知，且，求． 【考点3：已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若角终边上一点的坐标为,则 A． B． C． D． 3．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若，，，，则 ． 【考点4：用和、差角的正弦公式化简、求值】 1．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考） ． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 3．（25-26高二上·湖南·月考）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 5．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【考点5：已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 1．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 4．（2025·全国·二模）已知，则 ． 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【考点6：用和、差角的正切公式化简、求值】 1．（25-26高三上·安徽淮北·月考）求值： ． 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知，，，则 ． 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，且，则 ． 4．（25-26高三上·重庆荣昌·期中）若，则 . 5．（24-25高一下·吉林·期末）中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则 ． 【考点7：二倍角的正弦公式】 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·一模）若，则（   ） A．1 B．3 C．9 D．10 4．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则 （   ） A． B． C． D． 5．（湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【考点8：二倍角的余弦公式】 1．（2026·广东茂名·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知，且，则 . 3．（2025·陕西·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·月考）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【考点9：二倍角的正切公式】 1．（25-26高三上·甘肃·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·云南·月考）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·福建·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知第二象限角满足，则 . 5．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 【考点10：辅助角公式】 1．（24-25高一下·北京·月考）若，，则等于 ． 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）函数的最大值为2，则 ． 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）若是函数的两个零点，的最小值为 . 4．（25-26高二上·云南曲靖·月考）若函数在上有最小值，无最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西南昌·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点11：三角恒等变换在三角形中的应用】 1．（2025·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，则此三角形是 三角形． 【考点12：三角恒等变换的实际应用】 1．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 3．（25-26高三上·云南昆明·月考）露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 4．（24-25高一下·湖南·开学考试）某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6三角恒等变换 【知识梳理】 1 【考点1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 3 【考点2：用和、差角的余弦公式化简、求值】 6 【考点3：已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 8 【考点4：用和、差角的正弦公式化简、求值】 10 【考点5：已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 12 【考点6：用和、差角的正切公式化简、求值】 15 【考点7：二倍角的正弦公式】 17 【考点8：二倍角的余弦公式】 19 【考点9：二倍角的正切公式】 21 【考点10：辅助角公式】 23 【考点11：三角恒等变换在三角形中的应用】 26 【考点12：三角恒等变换的实际应用】 28 【知识梳理】 1．两角和与差公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ) 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 3．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①=(+)-； ②=-(-)； ③=[(+)+(-)]； ④= [(+)-(-)]； ⑤=(-)-(-)； ⑥-=(-)+(-). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. (3)辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 4．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα 变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin2α＝(sinα－cosα)2 S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 变形：cos2α＝， sin2α＝ C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 5．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 6. 三角函数式化简的一般要求： (1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值． 7．常用的基本变换方法有： 异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等． [方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则 [方法技巧] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用 (1)图象变换问题 先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换． (2)函数性质问题 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式； ②利用公式T＝(ω>0)求周期； ③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　 【考点1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 2．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得，分为第一象限角和第二象限角，利用平方关系和余弦的差角公式，即可求解. 【详解】因为角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，且， 则， 若为第一象限角，则为第四象限角， 由，得， 由，得， 此时， 若为第二象限角，则为第三象限角， 由，得， 由，得， 此时， 综上，. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·月考）若，且．则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由题意，且，故， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知点是角的终边上一点，则 . 【答案】 【分析】先利用三角函数的定义求出，然后利用两角差的余弦公式求值即可. 【详解】因为点是角的终边上一点，所以， 则. 故答案为：. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，是第三象限角，则 ． 【答案】 【分析】根据平方关系先求得，，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 由，是第三象限角，则， 所以. 故答案为；. 【考点2：用和、差角的余弦公式化简、求值】 1．（2026·吉林长春·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的和角公式展开已知条件，再通过平方关系结合二倍角公式求解. 【详解】依题意得：， 化简得：， 所以， 因为，， 代入得：， 解得：. 故选：C. 2．（25-26高三上·河南·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数基本关系式及和两角和与差的三角函数公式可得. 【详解】由，再由同角三角函数关系得，， 即，两边平方得， 令，则，解得或（舍去）， 所以， . 故选：A. 3．（25-26高三上·甘肃·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 4．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，两边同除得到，因为是锐角，所以，所以. 【详解】由题可得， 即 即， 两边同除得到，所以 因为是锐角，所以，所以； 故选B 5．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）（1）若，，并且，均为锐角，且，求的值； （2）已知，且，求． 【答案】（1）不存在； （2） 【分析】（1）根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. （2）先由的值，求出的值，根据，展开求解. 【详解】（1）由，得，又，所以， 因为，且均为锐角，则，，所以， 所以， 综上，而，则，显然有矛盾，所以不存在． （2）由，则，又，则， 而． 【考点3：已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 由两角差的正弦公式可得. 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若角终边上一点的坐标为,则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为角终边上一点的坐标为， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及两角和的正弦公式，属于基础题. 3．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 5．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】求出、的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 所以， ， 因此， . 故答案为：. 【考点4：用和、差角的正弦公式化简、求值】 1．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考） ． 【答案】/0.5 【分析】由诱导公式及和差角公式求得结果. 【详解】. 故答案为： 2．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】结合，运用两角和与差的正弦公式构造出与，再利用诱导公式，即可得解. 【详解】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖南·月考）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式直接展开得到，由的范围得到的范围即可得出的范围 . 【详解】因为， 所以，即，因为，所以，则的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系即可求解， （2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解. 【详解】（1）由于故 因此 （2）由于则，结合，故 ， 故 ， 由于则， 故. 5．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系，以及两角差的余弦公式，求出结果即可. （2）根据同角三角函数关系，以及两角差的正弦公式，求出结果即可. 【详解】（1）因为，，所以. 可得. （2）因为，，所以， 可得. 【考点5：已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 1．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】已知，解得. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 4．（2025·全国·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案. 【详解】，即， . 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1） ． （2） ， ， 则． 【考点6：用和、差角的正切公式化简、求值】 1．（25-26高三上·安徽淮北·月考）求值： ． 【答案】3 【分析】先利用两角和及二倍角的正切公式证明，再根据两角和与差的正切公式化简求解. 【详解】， . 故答案为：3. 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据两角和的正切公式求得，再结合的取值范围，由同角三角关系式，求得. 【详解】由，， 得. 因为，所以，所以. 所以 由，得. 故答案为：. 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】求解直线与单位圆的交点坐标，再利用正切的定义求出，最后利用两角和的正切公式求解． 【详解】已知角的终边与单位圆交于点，且， ， 解得：或， 或， ， 当时，， 当时，. 故答案为：． 4．（25-26高三上·重庆荣昌·期中）若，则 . 【答案】2 【分析】利用正切和角公式得到，从而代入求出答案. 【详解】因为，所以，即， 即， 因此. 故答案为：2. 5．（24-25高一下·吉林·期末）中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则 ． 【答案】或 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式得到，再由诱导公式及两角和的正切公式得到方程，求出. 【详解】因为， 又， 所以，即， 显然，所以， 所以， 即，解得或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得. 【考点7：二倍角的正弦公式】 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦公式、逆用两角和的正弦公式和诱导公式即可化简求值. 【详解】 . 故选：C 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先展开，然后平方，最后用二倍角公式化简计算可得出答案. 【详解】解： 即， 等式两边平方得， 继续展开， 化简得 所以 故选：C 3．（2025·四川自贡·一模）若，则（   ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先利用二倍角和同角的三角函数关系将齐次化，转化为正切的表示式再代值计算即可. 【详解】. 故选：C 4．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的余弦公式化简即得. 【详解】由，得，则， 两边平方得，所以. 故选：D 5．（湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式求解计算即可. 【详解】因为，所以， 代入得， 化简得， 解得，即或， 因为，所以， 所以. 故选：B. 【考点8：二倍角的余弦公式】 1．（2026·广东茂名·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 2．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式得到，再利用二倍角公式即可求出答案. 【详解】由得， 所以， . 故答案为：. 3．（2025·陕西·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正余弦二倍角公式，，结合即可求解． 【详解】因为， 则， 所以． 故选：A． 4．（25-26高三上·广东·月考）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。 【详解】由，得， 由，得， 联立解得，， 因为， 所以， 故选：A 【考点9：二倍角的正切公式】 1．（25-26高三上·甘肃·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】 ． 故选：B 2．（多选）（25-26高一上·云南·月考）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】逆用正弦、余弦、正切二倍角公式，结合两角差的正弦公式逐一判断即可. 【详解】对于，故A符合题意； 对于，故B符合题意； 对于C：，故C不合题意； 对于D：，故D不合题意. 故选：AB 3．（多选）（25-26高三上·福建·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用诱导公式判断A，利用两角差的正切公式判断B，利用二倍角公式判断C，利用两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为、， 所以，故D正确. 故选：BD 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知第二象限角满足，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数平方关系和的范围可求得，根据同角三角函数商数关系可求得，用二倍角公式即可求解. 【详解】由为第二象限角，得，， 由，得，则， 所以. 故答案为： 5．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 【考点10：辅助角公式】 1．（24-25高一下·北京·月考）若，，则等于 ． 【答案】 【解析】利用辅助角公式计算得到答案. 【详解】，故 故答案为：. 【点睛】本题考查了辅助角公式，属于简单题. 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）函数的最大值为2，则 ． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式将函数变形为的形式，然后根据为最大值列式计算. 【详解】，， 当时，取最大值， ， 得. 故答案为：. 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）若是函数的两个零点，的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式进行化简，利用周期进行求解. 【详解】因为， 所以周期，所以相邻两零点间距离为，即的最小值为 故答案为： 4．（25-26高二上·云南曲靖·月考）若函数在上有最小值，无最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用把相位看成一个整体，则根据有最小值无最大值，确定端点值的范围，即可求解. 【详解】由， 当时，， 由函数在上有最小值，无最大值， 即相位区间必须包含正弦函数的最小值点，且不能包含最大值点， 故可得不等式组：，解得， 又因为，所以， 故选：A. 5．（25-26高三上·江西南昌·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可确定的取值范围及所处的单调递增区间，由此可构造不等式求得结果. 【详解】； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 【考点11：三角恒等变换在三角形中的应用】 1．（2025·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论. 【详解】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 2．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用三角形内角和，诱导公式，二倍角公式化简计算，分析即得结论. 【详解】因, 故，， 则，即， 整理得，，因，故，故是直角三角形. 故选：C. 4．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变化，可得，从而可求出角，最后解等腰三角形即可求解. 【详解】由可得，， 由 ， 可得，由于，可得， 所以可得，联立可得：， 在等腰三角形中，作高为，则， 设，则， 则， 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，则此三角形是 三角形． 【答案】等边 【分析】利用两角和正切公式求出，再由二倍角正弦公式求得，从而得解. 【详解】由， 得，即， 由，得，所以或． 由得，与有定义矛盾，所以只能． 所以是等边三角形． 故答案为：等边 【考点12：三角恒等变换的实际应用】 1．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当人在点时，根据两角和的正切公式求出和，当人运动到中点时，作于点，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 3．（25-26高三上·云南昆明·月考）露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 【答案】 【分析】设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式结合基本不等式即可得解. 【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处， 则由条件可得，， 设，则，， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 又因为在上为增函数， 所以坐在距离幕布米处，视角最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式化简是解决本题的关键. 4．（24-25高一下·湖南·开学考试）某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】过点作，垂足为，设交于点，则、分别为、的中点，设四边形为横向矩形，可得出，，利用三角恒等变换化简的表达式，利用正弦型函数的最值可求得的最大值. 【详解】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【答案】 【分析】设，用的三角函数分别表示矩形的长和宽，利用降幂公式和辅助角公式将矩形面积解析式化成正弦型函数，最后结合三角函数的图象即可求得矩形面积最大值. 【详解】 如图，连接OC，设，则，因, 则则， 故 ．因，则， 故当，即当时， 即割出的长方形桌面的最大面积为． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $