专题5.4 正、余弦函数的图象与性质（15类必考点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦正、余弦函数的图象与性质核心知识点，从五点法作图、图象变换切入，系统梳理定义域、值域等性质并延伸至正弦型函数，考点覆盖基础作图到实际应用，构建从基础到拓展的学习支架。 资料特色在于融合数学眼光、思维与语言，通过五点作图培养几何直观，参数求解提升逻辑推理，摩天轮等实际问题强化应用意识，助力课中分层教学，课后学生可针对性练习查漏补缺。

专题5.4正、余弦函数的图象与性质 【知识梳理】 1 【考点1：五点作图法画正、余弦函数的图象】 4 【考点2：含绝对值的正、余弦函数的图象】 4 【考点3：正、余弦函数图象的应用】 7 【考点4：正、余弦函数的定义域】 10 【考点5：正、余弦函数的值域】 13 【考点6：求正、余弦函数的单调性】 15 【考点7：利用正、余弦型函数的单调性求参数】 17 【考点8：利用单调性比较大小】 19 【考点9：利用单调性解不等式】 22 【考点10：求正、余弦函数的最值与范围】 25 【考点11：求正、余弦函数的奇偶性】 29 【考点12：利用正、余弦函数的奇偶性求参】 34 【考点13：正、余弦函数的周期性】 37 【考点14：正、余弦函数的对称轴与对称中心】 39 【考点15：正、余弦函数的实际应用】 41 【知识梳理】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 5．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 6．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 7．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. 8．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【考点1：五点作图法画正、余弦函数的图象】 1．（2026高三·全国·专题练习）用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数五点法作图的基准点的坐标直接可得解. 【详解】分别令，，，，， 解得，，，，， 即五点的横坐标分别为，，，，， 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】按列表、描点、连线可得答案. 【详解】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）列表,令，求出函数值，描点连线可得； （2）列表,令，求出函数值，描点连线可得； 【详解】（1）按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：    （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：    5．（24-25高一上·广东江门·月考）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 【考点2：含绝对值的正、余弦函数的图象】 1．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 2．（24-25高一·上海·随堂练习）有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】利用正余弦函数的图象与性质可判断结论. 【详解】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于y轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于x轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 3．（25-26高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【答案】图见解析 【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可. 【详解】函数， 其图如下所示：    4．（25-26高一·全国·课后作业）作出函数在区间上的图象． 【答案】见解析 【分析】由条件利用诱导公式化简函数解析式，再利用余弦函数的图象特征作出函数在区间上的图象． 【详解】由于，因此只需作出函数在区间上的图象即可．函数在区间上的图象是由函数在区间上的图象在轴下方的部分翻折到轴上方的方法得到的，所得图象如图所示． 【点睛】本题考查诱导公式、余弦函数的图象，属于基础题 5．（2025高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （2）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 【详解】（1）， 将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . （2）， 将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . 【考点3：正、余弦函数图象的应用】 1．（24-25高一下·上海·月考）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 2．（24-25高一下·广西·月考）当时，曲线与的交点个数为 ． 【答案】6 【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故答案为：6. 3．（25-26高一上·北京·月考）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 4．（多选）（25-26高二上·河北保定·月考）下列在上的区间能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，观察图象可得结果. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，    在上，当时，或， 结合图象可知，在上的区间能使成立的是和. 故选：AC 5．（多选）（2024·广西·模拟预测）已知，函数，则（    ）. A．关于直线对称 B．的最大值为 C．在上不单调 D．在，方程（为常数）最多有3个解 【答案】BC 【分析】先求不等式，的解集，利用函数新定义化简，从而作的大致图象，数形结合逐项判断即可得解. 【详解】若，则， 即，即， 若，则， 即，即， 故， 故的大致图象如图， 对于A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对于B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对于C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确： 对于D：由图象，当时，方程在有4个解，故D错误. 故选：BC. 【考点4：正、余弦函数的定义域】 1．（24-25高一下·上海·期中）函数在上的定义域为 ． 【答案】 【分析】令，再结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，又， 解得或， 所以函数在上的定义域为. 故答案为： 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 5．（24-25高一下·陕西渭南·月考）求下列函数的定义域． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即可， （2）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可. 【详解】（1）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 （2）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 【考点5：正、余弦函数的值域】 1．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合，利用指数函数的单调性求得的值域为，结合题意即可得解. 【详解】由和是增函数可知， 所以的值域为，所以，可得. 故选：D. 2．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 3．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）函数在区间上的最大值是 ． 【答案】 【分析】将函数化成，再利用换元法令，将函数的最大值，转化为求二次函数的最大值. 【详解】因为，令， 所以，对称轴为， 所以当时，. 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用换元法求解时，注意新元取值范围的确定，考能保证问题的等价性. 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）函数在区间[0，π]上的值域是 ． 【答案】 【详解】试题分析：令 ，因为，故，则 的值域为. 考点：三角函数的值域. 5．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）根据“五点法”作图，即可得函数的图象； （2）利用函数图象结合，即可求得答案. 【详解】（1）列表如下： x 对应的图象如图：      （2）由且，结合图象知，且. 【考点6：求正、余弦函数的单调性】 1．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用变量代换，令， 求解. 【详解】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整体代换法求单调区间即可求解. 【详解】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为． 故选：B 3．（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间， 由，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由真数大于零求出的定义域，再利用整体角范围求解单调增区间可得. 【详解】由题意可得， 首先有，解得. 故的定义域为， 要使单调递增，则单调递增， 故令，解得. 则的单调递增区间是. 故选：B. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）求函数的单调递增区间． 【答案】 【分析】先求定义域，再结合函数的单调性和正弦单调性计算即可. 【详解】由解得． 又单调递增区间为 函数为定义域上的增函数， 所以原函数的单调递增区间为 【考点7：利用正、余弦型函数的单调性求参数】 1．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定当时，，再结合余弦函数的单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 故答案为： 2．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 3．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 4．（25-26高三上·山西·月考）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 【考点8：利用单调性比较大小】 1．（24-25高一下·陕西宝鸡·期中）三角函数值，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据将弧度制转化为角度制，再利用诱导公式和正弦函数的单调性，即可得到答案； 【详解】，，，， 在单调递增， ， 故选：B. 【点睛】本题考查诱导公式和正弦函数的单调性，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将角度化到同一个单调区间内，再利用单调性比较大小. 2．（2025高三·北京·专题练习）下列各式的值为正数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和三角函数在各象限的符号规律及正余弦函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A错误， 对于B，因为在上递增，且，所以，即， 因为在上递减，且，所以，即， 所以，所以，所以B正确， 对于C，因为，， 所以，所以C错误， 对于D，因为，所以的终边位于第二象限，所以， ，所以，所以D错误. 故选：B. 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式转换为即可得解. 【详解】，， ， 而，故， 故选：B. 4．（多选）（2025高三·全国·专题练习）［多选］已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用诱导公式得到，再由的图象与性质，得到，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， ， ， 即， 所以， 即，所以ABC正确，D错误， 故选：ABC. 5．（多选）（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式将三角函数化成同名三角函数且在其某个单调区间上，利用三角函数单调性比较大小即可. 【详解】对于A，因，故A正确； 对于B，因，因，函数在上单调递减， 故，故B正确； 对于C，因， 因，函数在上单调递增，则， 故，即C错误； 对于D，因，故，即D正确. 故选：ABD. 【考点9：利用单调性解不等式】 1．（25-26高三上·天津·开学考试）在上，使不等式成立的的集合为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象和性质可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ． 【答案】 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式与单增区间； (2)求的解集． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据函数图象得出，进而得出函数解析式，再结合正弦函数单调性计算求解； （2）应用正弦函数图象及特殊角的函数值解不等式即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. 令,解得， 故单调递增区间为 （2），则 结合图象可得 解得， 故的解集为 4．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求出，即可得解； （2）令，则.利用函数在上的单调性，得到，即可得解； （3）令，则.由解得或，再求出，即可得解； 【详解】（1）由 解得. 所以函数的单调递增区间为. （2）令，则. 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以，即， 所以函数在上的值域为； （3）令，则. 由，即， 解得或， 即或， 解得或. 所以在上的解集为. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【详解】（1），令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； （2），∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； （3）由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 【考点10：求正、余弦函数的最值与范围】 1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据的取值范围求解出的取值范围，进而根据函数零点的个数求解的取值范围，从而求解的取值范围即可. 【详解】因为且，可得：， 由于函数在区间上恰又个零点，即在区间上恰又个解， 因此可得：，解得：. 又， 由，得：，由此可得：， 即得：. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，若存在，使得对于，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将的点通过单位圆体现，共分为12个区域，通过当第三个点对应的纵坐标等于第四个点对应的纵坐标时，得到最大值时的最小值，即可求解. 【详解】由周期性，可把图像上的点在单位圆上呈现，共分为12个区域， 以初相位对应的点为第一个点，每个区域内3个点， 当第三个点对应的纵坐标等于第四个点对应的纵坐标时， 此时最大值的最小值， 故取最大值时，或， 即， 即， 则的最小值为， 故答案为： 3．（25-26高三上·贵州黔西·期中）已知函数. (1)求的对称中心及的单调减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的的值. 【答案】(1)； (2)时，；或时， 【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）对于函数， 令，解得， 所以的对称中心为， 由，解得， 所以的单调减区间为； （2）当时，， 所以，所以 所以当，即时，取得最小值，即； 所以当或，即或时，取得最大值， 即. 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值． 【答案】(1)增区间，；减区间， (2)最大值为，；最小值为， 【分析】（1）将整体代入的单调区间，求出的范围即可； （2）通过x的范围，求出的范围，然后利用的最值的取值求解即可. 【详解】（1）， 令，，得，， 令，，得，， 故函数的单调递增区间为，； 单调递减区间为，； （2）当时，， 所以当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值． 5．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)求函数在上的单调增区间; (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1)增区间为;减区间为 (2) (3)最小值为,最大值为 【分析】(1)根据解析式及诱导公式,先将化为正,再将放在的单调区间内,即可求得的单调区间; (2) 由(1)得的单调递增区间,令,,求得递增区间,再由即可得出结果; (3)先由,求出的范围,再求出的范围,进而得到的范围,即可得最值. 【详解】（1）解:由题知, 令,, 得,, 令,, 得,, 故的单调递增区间为; 单调递减区间为; （2）由(1)可得的单调递增区间为 令,在单调递增, 令,在单调递增, 令,在单调递增, 因为, 所以在上的单调增区间是 ; （3）由题知, 当时,, 根据图象性质可知: , , 故,. 【考点11：求正、余弦函数的奇偶性】 1．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，且，即，故为奇函数，故选项A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C，函数的定义域为，，均不恒为0，故为非奇非偶函数，故选项C错误； 对于D，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故选项D错误. 故选：A． 3．（24-25高一下·辽宁·月考）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数定义域，以及的表达式，即可判断奇偶性；对于B、D两项，代入区间，求出整体的取值范围，结合正弦函数的单调性，即可判断正误. 【详解】对于A项，由可得，， 所以，函数的定义域为关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故A错误； 对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误； 对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故C错误； 对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，求，结合所得结果性质确定结论. 【详解】设，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称对称， ， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又， 选项BCD不能同时满足以上要求，而选项A满足以上要求， 所以选项A中的图象是函数的可能图象. 故选：A. 5．（24-25高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断； （2）根据奇偶函数的定义判断. 【详解】（1）定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数. 【考点12：利用正、余弦函数的奇偶性求参】 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的奇偶性判定，从充分性、必要性两个方面分析即得结论. 【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称， 因，则是偶函数，即充分性成立； 若函数为偶函数，， 则，，即必要性不成立. 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·上海·期中）设，且为奇函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 5．（2025高三·全国·专题练习）若函数，为奇函数，其中，则 ． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质有，结合正弦型函数的奇偶性有，求出相关参数值，即可得. 【详解】由奇函数的定义域关于原点对称，得，则， 又为奇函数，则，又，故， 所以. 故答案为：0 【考点13：正、余弦函数的周期性】 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 2．（多选）（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可判断选项. 【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确； B.函数的最小正周期为，故B错误； C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误. 故选：AC 3．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 4．（25-26高二上·广东中山·月考）函数的最小正周期为 ， ． 【答案】 / 0 【分析】利用最小正周期公式计算即可求得其最小正周期，直接代入计算可得函数值. 【详解】由函数可知其最小正周期为； 所以； 故答案为：；0 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，且． (1)求的最小正周期和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，求得，由，得到，结合，求得的值； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由（1）得，函数， 当，可得， 由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为； 当时，即时，取得最小值，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为. 【考点14：正、余弦函数的对称轴与对称中心】 1．（25-26高三上·福建漳州·月考）函数图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数型对称轴的求法可得答案. 【详解】令，得：， 所以函数图象的对称轴方程为：. 令得：，令得：，令得：，故只有B正确. 故选：B 2．（25-26高三上·河北石家庄·期中）“”是“函数的图象关于对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，即， 可得是函数的图象关于对称的充分不必要条件. 故选：A 3．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．函数的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的图象关于点对称 D．直线是图象一条对称轴 【答案】BC 【分析】根据三角函数性质：周期用公式；单调性代入正弦/余弦的单调区间不等式，解出范围，比对目标区间；对称性，对称中心（验证）；对称轴（验证）逐个分析即可. 【详解】选项A：正弦函数的最小正周期为， 本题中，故周期，并非， 故A错误. 选项B：求的单调递减区间， 令，解得， 当时，递减区间为，而，故在上单调递减，故B正确. 选项C：若函数图象关于点对称充要条件是， 计算，故是对称中心，故C正确. 选项D：若直线是对称轴，则（取最值）， 计算，并非最值，故不是对称轴，故D错误. 故选:. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知． (1)求图象的对称中心； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体思想，根据余弦函数的对称中心，建立方程，可得答案； （2）利用整体思想，由题给定区间，写出整体取值范围，根据余弦函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）令，解得，所以的对称中心为． （2）令，当时，， 因为的一个单调递减区间为， 所以，即，又，则的取值范围为． 5．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数的最值及取得最值时的的取值集合； (3)求函数的单调递减区间. 【答案】(1)； (2)最大值，；最小值，； (3) 【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期的求解公式与对称中心的求解方法，直接计算即可； （2）利用整体法以及正弦型三角函数的最值，列出等量关系求解即可； （3）利用整体法，结合正弦函数的单调区间，列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）因为，故， 即函数的最小正周期为； 令，解得：， 所以函数的对称中心坐标为：. （2）当，即时，取最大值， 故取最大值时的集合是； 当，即时，取最小值， 故取最小值时的集合是. （3）由，解得， 故的单调递减区间为 【考点15：正、余弦函数的实际应用】 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】12 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，则当筒车旋转90秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 . 【答案】 【分析】利用角速度得出90秒盛水筒旋转角度，结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因，则，， 每旋转一周用时180秒，则筒车旋转90秒时共旋转， 则此时点P在角的终边上，， 故点P的横坐标为. 故答案为： . 4．（多选）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【分析】从图象可以得到，，和最小正周期，确定函数解析式，再依次对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4正、余弦函数的图象与性质 【知识梳理】 1 【考点1：五点作图法画正、余弦函数的图象】 4 【考点2：含绝对值的正、余弦函数的图象】 4 【考点3：正、余弦函数图象的应用】 6 【考点4：正、余弦函数的定义域】 7 【考点5：正、余弦函数的值域】 7 【考点6：求正、余弦函数的单调性】 8 【考点7：利用正、余弦型函数的单调性求参数】 9 【考点8：利用单调性比较大小】 9 【考点9：利用单调性解不等式】 10 【考点10：求正、余弦函数的最值与范围】 11 【考点11：求正、余弦函数的奇偶性】 12 【考点12：利用正、余弦函数的奇偶性求参】 14 【考点13：正、余弦函数的周期性】 15 【考点14：正、余弦函数的对称轴与对称中心】 15 【考点15：正、余弦函数的实际应用】 16 【知识梳理】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 5．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 6．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 7．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. 8．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【考点1：五点作图法画正、余弦函数的图象】 1．（2026高三·全国·专题练习）用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 5．（24-25高一上·广东江门·月考）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【考点2：含绝对值的正、余弦函数的图象】 1．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高一·上海·随堂练习）有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 3．（25-26高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 4．（25-26高一·全国·课后作业）作出函数在区间上的图象． 5．（2025高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 【考点3：正、余弦函数图象的应用】 1．（24-25高一下·上海·月考）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 2．（24-25高一下·广西·月考）当时，曲线与的交点个数为 ． 3．（25-26高一上·北京·月考）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 4．（多选）（25-26高二上·河北保定·月考）下列在上的区间能使成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024·广西·模拟预测）已知，函数，则（    ）. A．关于直线对称 B．的最大值为 C．在上不单调 D．在，方程（为常数）最多有3个解 【考点4：正、余弦函数的定义域】 1．（24-25高一下·上海·期中）函数在上的定义域为 ． 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西渭南·月考）求下列函数的定义域． (1)； (2) 【考点5：正、余弦函数的值域】 1．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 3．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）函数在区间上的最大值是 ． 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）函数在区间[0，π]上的值域是 ． 5．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 【考点6：求正、余弦函数的单调性】 1．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的单调递减区间为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）求函数的单调递增区间． 【考点7：利用正、余弦型函数的单调性求参数】 1．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 2．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 3．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 4．（25-26高三上·山西·月考）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【考点8：利用单调性比较大小】 1．（24-25高一下·陕西宝鸡·期中）三角函数值，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·北京·专题练习）下列各式的值为正数的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025高三·全国·专题练习）［多选］已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点9：利用单调性解不等式】 1．（25-26高三上·天津·开学考试）在上，使不等式成立的的集合为 . 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ． 3．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式与单增区间； (2)求的解集． 4．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【考点10：求正、余弦函数的最值与范围】 1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，若存在，使得对于，都有，则的最小值为 ． 3．（25-26高三上·贵州黔西·期中）已知函数. (1)求的对称中心及的单调减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的的值. 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值． 5．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)求函数在上的单调增区间; (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 【考点11：求正、余弦函数的奇偶性】 1．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·月考）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 【考点12：利用正、余弦函数的奇偶性求参】 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）设，且为奇函数，则 . 4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）若函数，为奇函数，其中，则 ． 【考点13：正、余弦函数的周期性】 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 . 4．（25-26高二上·广东中山·月考）函数的最小正周期为 ， ． 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，且． (1)求的最小正周期和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； 【考点14：正、余弦函数的对称轴与对称中心】 1．（25-26高三上·福建漳州·月考）函数图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北石家庄·期中）“”是“函数的图象关于对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．函数的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的图象关于点对称 D．直线是图象一条对称轴 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知． (1)求图象的对称中心； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 5．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数的最值及取得最值时的的取值集合； (3)求函数的单调递减区间. 【考点15：正、余弦函数的实际应用】 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，则当筒车旋转90秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 . 4．（多选）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $