微专题 三角函数中φ与ω的问题 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

微专题：三角函数中与的问题 【与周期有关的问题】 例1．若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为，利用函数平移法则可得，由奇偶性可得，从而可得结果. 【详解】化简函数 ， 向左平移个单位可得， 因为是偶函数， ，， 由可得 的最小正值是. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数. 例2．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的值为 . 【答案】2 【分析】根据增函数确定的范围，结合平移图像间的关系可得的值. 【详解】因为函数在区间上是增函数，所以，即； 函数的图像向左平移个单位后得到的函数为， 函数的图像向右平移个单位后所得到的函数为； 因为二者的图像重合，所以，，即. 所以. 故答案为：2. 【与单调性有关的问题】 例1．若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是 . 【答案】(0，] 【分析】根据的范围，求得的范围，再利用正弦函数的单调性，列出不等式即可求得结果. 【详解】因为x∈[－，](ω>0)， 所以ωx∈[－，]， 因为f(x)＝2sin ωx在[－，]上是增函数， 所以，解得 故0<ω≤. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数范围，属基础题. 例2．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得,， ， ，． 考点：三角函数单调性． 【与对称中心，对称轴有关的问题】 例1．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 例2．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解. 【详解】, 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 综上，． 【与性质有关的综合问题】 例．已知函数（其中，），为函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】根据函数的零点和对称轴得到，从而得到； 再根据函数在区间上单调得到，从而得到； 进而可得，然后再验证时函数在区间上不单调，从而得到. 【详解】因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图像的一条对称轴， 所以，所以，所以； 因为函数在区间上单调， 所以，即，所以，所以， 又因为，所以， 当时，，又， 所以函数在区间上不单调，所以舍去； 当时，， 又，， 所以函数在区间上单调，所以. 【综合演练】 1．若函数在上的最小值为，但最大值不是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数在上的最小值为，但最大值不是2，则的取值范围是． 2．已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】函数的图像关于直线对称，可以得出,且,可以求出,两式相减，利用已知，可以求出的最小值． 【详解】因为函数的图像关于直线对称， 所以（1），由，可知（2）， （1）—（2）得，， 又因为 所以的最小值是2． 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性、零点． 3．已知函数，，且在区间上递减，则 ． 【答案】2 【详解】试题分析：∵在上单调递减，且，∴， ∵， ∴，∴，∴. 考点：两角和的正弦公式、三角函数的单调性. 4．已知函数，则将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】先通过辅助角公式将函数化为，然后将其的图像向左平移个单位后得到函数，由于图像关于原点对称，可得，再根据的范围即可求解. 【详解】 ， 将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像， 即， 又图像关于原点对称，可得，即，， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $微专题：三角函数中”与ω的问题 【与周期有关的问题】 例1.若将函数y=2cosx(sinx十cosc)-1的图象向左平移g个单位，得到函数是偶函数， 则φ的最小正值是 例2.已知函数f()=sino(w>0)在区间(0，石]上是增函数，将函数y=f)的图像向 左平移否个单位后得到的图像与将其向右平移云个单位后所得到的图像重合.则 3 3 ω的值为 【与单调性有关的问题】 例1.若f()=2 sinz(o>0)在区间[-5，号x]上是增函数，则a的取值范围是 例2.已知o>0,函数f()=sim(ur+)在（受）上单调递减，则o的取值范国是 【与对称中心，对称轴有关的问题】 例1.将函数f(m)=2sin(am-看)（如>0）的图像向右平移至个单位长度后得到奇函数 g(x),则ω的最小值是一· 例2.已知函数fe)=m受+imue一o∈R)∈R.若fe)在区间(0，)内没 2 有零点，则ω的取值范围是 【与性质有关的综合问题】 例1.已知函数f()=sin(oa十)（其中w>0,lp<),一于为函数f()的一个零 点；口=于是函数f()图像的一条对称轴，且函数f()在区间（西，需）上单调， 则ω的最大值为 【综合演练】 1.若函数y=2sinu,(@>0)在[-3，蛋]上的最小值为-2，但最大值不是2，则u的取 值范围是 2.已知函数f()=2sin(uw+)(o>0)的图像关于直线x=号对称，且f(臣)=0，则 ω的最小值是 3.已知函数f(x)=sin+√(o>0),f(石)+f)=0,且f(x)在区间 (后受)上递减，则山=一 1.已知函数f)=im2x+有co2,则将函数f回)的图像向左平移0<<号)个 2 单位后得到函数g(x)的图像，g(x)图像关于原点对称，则9=一 微专题：三角函数中与的问题 【与周期有关的问题】 例1．若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是 ． 例2．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的值为 . 【与单调性有关的问题】 例1．若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是 . 例2．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【与对称中心，对称轴有关的问题】 例1．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是 ． 例2．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【与性质有关的综合问题】 例．已知函数（其中，），为函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为 ． 【综合演练】 1．若函数在上的最小值为，但最大值不是2，则的取值范围是 ． 2．已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值是 ． 3．已知函数，，且在区间上递减，则 ． 4．已知函数，则将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于原点对称，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $微专题：三角函数中o与ω的问题 【与周期有关的问题】 例1.若将函数y=2cosc(sinc十cosx)-1的图象向左平移g个单位，得到函数是偶函数， 则φ的最小正值是 【答案】胃 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为y=V2sn(2x+至》利用函数平移法则可得习 =√2sm(2x+2如+至)，由奇偶性可得29+于=受+标，k∈2，从而可得结果 【详解】化简函数y=2cosr(sinx+cosx)-1 -2sinacOs+2c0'-1=sin2.+co62=/2sin(+) 向左平移g个单位可得y=V2sin2m+2p+正)》 因为y=V2sin(2x+20+)是偶函数， 2如+圣-受+mkez,9=经+吾 由k=0可得 伞的最小正值是 8 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档 题.己知f(x)=Asin(ωc+中)的奇偶性求中时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和 诱导公式来解答：(1b=k，标k∈z时，f()=士Asinoz是奇函数：(2)小=k标+号k∈z 时，f(x)=干Acoswx是偶函数 例2.已知函数f(x)=sinωx(w>0)在区间(0，石]上是增函数，将函数y=f(x)的图像向 6 左平移正个单位后得到的图像与将其向右平移匹个单位后所得到的图像重合.则ω的值 为 【答案】2 【分析】根据增函数确定ω的范围，结合平移图像间的关系可得ω的值 【详解】因为函数f()=in(o>0)在区间(0，看]上是增函数，所以≤受，即0< 6 0≤3： 函数y=fu)的图像向左平移号个单位后得到的函数为g=im(+号）=sin(or+等) 函数y=f(x)的图像向右平移匹个单位后所得到的函数为g=sinω(c一 3 sin(oz) 因为二者的图像重合，所以受-(-2智)=2，ke乙，即0=2k 所以ω=2. 故答案为：2. 【与单调性有关的问题】 例1.若f)=2sin@e(w>0)在区间[-乏，子x小上是增函数，则o的取值范围是 【答案】(0.星] 【分析】根据x的范围，求得ωx的范围，再利用正弦函数的单调性，列出不等式即可求得 结果 【详解】因为a∈[-受号利o>0, 3 因为fo=2 Din在[号受]上是塔函数， -≥-受 w≤1 所以吾ω≤ ，解得≤是 ω>0 w>0 故0<a≤ 4 故答案为：(0星] 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数范围，属基础题. 例2.已知o>0,函数f如)=sim(or+)在（受x)上单调递减，则u的取值范国是 【案1号1 【详解】由题意可得，号+2x≤受如+至<0+至≤+2xkE乙， 4 2 “号+k≤a≤是+张k∈石 4 u>0,∴号≤a≤号 考点：三角函数单调性， 【与对称中心，对称轴有关的问题】 例1.将函数f(o)=2sin(x-看)。>0)的图像向右平移至个单位长度后得到奇函数 4 g(x),则ω的最小值是 【容案1号 【分析】根据图象变换可得go)=2sim[m一（行0+】结合函数奇偶性可得平“+石 k元，k∈Z,运算求解即可. 【详解】将函数fo=2sin(om-看a>0)的图像向右平移至个单位长度， 得到g)=f(e-）=2sin[a(e-)-]=2sina-(u+看】， 若g@)为奇函数，则子0+后-k标k∈么，解得0=k-号k∈乙。 且a=北-号>0，解得k>合k∈Z, 可得k的最小值是1，所以ω的最小值是10 例2.已知函数fe)=sin罗+号snam-(a∈R.如eR、若fa)在区间(0)内没有 2 零点，则ω的取值范围是 【塔案】[-] 【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解 【详解】fe)=sim受+号snae一古=号nae一名 2 2 -sin(w-） 4 若w≥0，因为xe(0.,所以m-至∈(-至m-至》 因为f(x)在区间(0，元)内没有零点， 所以ur-圣≤0，解得0≤ω≤} 若u<0.因为xe0x,所以ue-至∈(am-至至》 因为f(x)在区间(0，元)内没有零点， 所以wr一至≥-，解得-呈≤w<0: 综上，ue[-星} 【与性质有关的综合问题】 例.已知函数f(如)=sn(om+9)(其中o>0,回<受，一至为函数f四)的一个零点，2 =至是函数✉)图像的一条对称轴，且函数✉)在区间(5·需)上单调，则仙的最大值 4 为 【答案】9 【分析】根据函数的零点和对称轴得到受=(2k+1·(k∈)，从而得到@=2k+ 1(kEZ): 再根据函数)在区间（怎需）上单调得到需一。≤子，从而得到0<0≤12， 进面可得a=1.35.79,1山，然后再验证0=11时函数✉)在区间(6船)上不单调，从 而得到ω=9. 【详解】因为一至为函数f✉)的一个零点，且。=圣是函数fo图像的一条对称轴， 4 所以号=2k+1子k∈2列，所以T=2关年k∈2，所以a=2水+1ke2: 因为函数f@)在区间（否希）上单调， 所以需-后≤子：即T≥音，所以各≥音各，所以0<w≤2. -18 6 又因为w=2k+1(k∈Z),所以w=1,3,5,7,9,11, 当0=1时，k=59=4T=7又8<4资=<6 所以函数)在区间（货需）上不单调，所以0=Ⅱ舍去： 当a=9时，k4p=至T=告 又置石=6(66)至6-6(5需》 所以函数✉)在区间（怎）上单调，所以如=0 【综合演练】 1.若函数y=2sna,(o>0)在[-否，至]上的最小植为-2，但最大位不是2，则“ 的取值范围是 【答案】[号2 【详解】函数y=2 sin,.(a>0)在[一号子]上的最小值为-2，但最大值不是2，则 x∈[-答，T]-答≤-受，℉<受→a的取值范国是[号，2小 2.已知函数f()=2sin(am十9)a>0)的图像关于直线亚=号对称，且f(受) 0,则ω的最小值是 【答案】2 【分析】函数f)=2sin(o证十pj(o>0)的图像关于直线亚=号对称，可以得出写0 十9=k标+受(k∈2.且f登)=0可以求出是0+g=m元+(m∈2).两式相减， 利用已知ω>0，可以求出ω的最小值. 【详解】因为函数f)=2sin(or+p)(o>0)的图像关于直线x=5对称， 所以答u+0=k标+5(k∈Z)1,由f歪）=0，可知及w+9=mx(meZ2, (①)-2)得，至o-(k-m)r+(k,m∈Z)0-4〔k-m)+2(k,meZ), 又因为（ω>0）所以ω的最小值是2. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性、零点， 3.已知函数f(o=sinos+3cosw(o>0),f(）+f5)=0,且fx)在区间 (晋，)上递减，则如= 【答案】2 【详解】试题分析：：在（石，）上单调递减，且石)+受)=0， f）=sin+v5=2 sin+号》 3 考点：两角和的正弦公式、三角函数的单调性 +.已知函数f)=sin2x+ cos2c,则将函数f(x)的图像向左平移 2 (0<o<天)个单位后得到函数g(c)的图像，g(x)图像关于原点对称，则p= 【谷案】号 【分析】先通过辅助角公式将函数f如)化为sin(2x+号） 然后将其的图像向左平移 (0<p<号)个单位后得到函数9)=sin2x+2g+号)由于g如)图像关于原点 对称，可得20+又=k元，k∈Z,再根据o的范围即可求解 3 【详解】~fo)=sin2z+9cos2z 2 e)-2sin2z+9as2z=inl2x+号）》】 2 “将函数f(口)的图像向左平移(0<9<乏)个单位后得到函数9（如）的图像， 即g()=sin[2(x+9)+号]=sin(2x+2p+号〉 又9)图檬关于原点对称，可符20十行=机k∈么，即甲=受一吾∈2 :0<φ<号，9=骨