精品解析：山东省日照市实验高级中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段性考试（1月）数学试题

2024级高二上学期第三次阶段性考试 数学试题 2026．01 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为 ，根据题意得到，即可求解. 【详解】设直线l的倾斜角为， 因为直线的斜率是，可得， 又因为，所以，即直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 3. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的分类，以及充分条件与必要条件的概念，即可求出结果. 【详解】因为， 若复数为纯虚数，则，，所以；即“复数为纯虚数”是“”的充分条件； 若，则，但复数不是纯虚数；即“复数为纯虚数”不是“”的必要条件； 综上，“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及复数的分类，属于基础题型. 4. 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 5. 已知长方体中，，，，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 6. 若，则的值为（ ） A. －121 B. －122 C. 121 D. 122 【答案】A 【解析】 【分析】由求出的值，由求出的值，两式相加即可求出的值. 【详解】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以. 故选：A 7. 小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对立事件及条件概率公式即可求解． 【详解】由题可知，小明能闯关成功的概率为， 此游戏被闯关成功的概率为， 则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为， 故选：B． 8. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解. 【详解】解： 如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：， ∴抛物线方程为， ∵行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，解得：， ∴车辆通过隧道的限制高度为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B. 若随机变量X满足，，1，2，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两点分布，结合期望及方差的意义求解判断A；利用超几何分布求出期望判断B；利用二项分布求出方差判断C；利用不等式法求解判断D. 【详解】对于A，由随机变量服从两点分布，，得试验成功的概率， 因此，A错误； 对于B，由随机变量满足，， 得服从超几何分布，因此，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，，由， 得，解得， 则，即最大，此人最有可能7次击中目标，D正确． 故选：BCD 11. 在正方体中，点分别满足，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在使得平面 C. 当时，点与点到平面的距离相等 D. 当时，总有 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积法计算判断A；利用位置关系的向量证明判断BD；确定点E位置判断C. 【详解】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系，如图， ， 对于A，，A正确； 对于B，，，， 则与不垂直，因此与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，是线段的中点，点与点到平面的距离相等，C正确； 对于D，，，而，则，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有___________种．（用数字作答）． 【答案】20 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解. 【详解】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种. 故答案为：20 13. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以， 则. 故答案为： 14. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，从而得到，相减变形，结合和直线斜率得到，故，椭圆的焦点在轴上，利用求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 设，则， ， 两式相减得， 即， 所以， 由于，故， 所以，故，所以椭圆的焦点在轴上， 则的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. （1）设甲击中目标的次数为，求的分布列； （2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 （2）【解析】 【分析】（1）由题意得到的所有可能取值，根据变量对应的概率和独立重复试验的概率公式，写出对应的概率即可得到分布列； （2）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，即为甲击中目标2次且乙击中目标0次，甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可. 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知动点满足，动点的轨迹为曲线. （1）求点的轨迹方程； （2）过作圆的切线，切线与曲线交于两点，求 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆； （2）设直线联立椭圆方程，结合韦达定理运用弦长公式求解即可. 【详解】解：（1）由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆. 所以. 所以的方程为 （2）根据题意，设直线， 则 则 即 所以 故 【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 18. 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折､8.5折的奖券各2张，9折､9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）若该自助餐厅有两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.88，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率； （2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）. （2）. （3） 80 85 90 95 【解析】 【分析】（1）使用全概率公式求解顾客甲第二次去A餐厅用餐的概率，全概率公式是将一个复杂事件的概率分解为多个简单事件的条件概率与相应简单事件概率乘积之和. （2）通过计算从给定奖券中任选3张的总方法数以及3张奖券折扣均不相同的方法数，利用古典概型概率公式计算概率，古典概型概率公式为事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数. （3）先确定离散型随机变量X的所有可能取值，然后分别计算每个取值的概率，得到分布列，最后根据数学期望的定义计算，数学期望是随机变量取值与对应概率乘积的总和. 【小问1详解】 （1）设“第次去餐厅用餐”，“第次去餐厅用餐”. 根据题意得，，，则， 故顾客甲第二次去餐厅用餐的概率为. 【小问2详解】 从张奖券中任选张有种方法， 取到的折扣均不相同的取法有种， 所以一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率为. 【小问3详解】 的所有可能取值为，，，， ， ， . . 所以的分布列为 80 85 90 95 所以 19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】（1）； （2） 不存在，理由如下： 双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3） 由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值． 【解析】 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【小问1详解】 由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期第三次阶段性考试 数学试题 2026．01 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 5. 已知长方体中，，，，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 6. 若，则的值为（ ） A. －121 B. －122 C. 121 D. 122 7. 小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B. 若随机变量X满足，，1，2，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 11. 在正方体中，点分别满足，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在使得平面 C. 当时，点与点到平面的距离相等 D. 当时，总有 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有___________种．（用数字作答）． 13. 已知随机变量，且，则__________. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. （1）设甲击中目标的次数为，求的分布列； （2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知动点满足，动点的轨迹为曲线. （1）求点的轨迹方程； （2）过作圆的切线，切线与曲线交于两点，求 18. 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折､8.5折的奖券各2张，9折､9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）若该自助餐厅有两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.88，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率； （2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望. 19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $