精品解析：吉林省通化市辉南县第四中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

八年级数学 数学共8页，包括七道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区城内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 2. 下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，掌握知轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴； ∴； 故选A． 4. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 6. 是分式方程的解，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解和解分式方程，熟知使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．先化简得，再把代入分式方程，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， 是分式方程的解， ， 解得． 经检验，则，是原分式方程的解， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 7. 氢原子的半径约为m，用科学记数法把表示为_________. 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10-11． 故答案为5×10-11． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 9. 若是一个完全平方式，则常数的值为_______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是和．根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故答案为：． 10. 如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ， D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的减法，有理数的乘方，零指数幂，熟知以上知识是解题的关键．根据乘方的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简计算即可． 【详解】解：原式． 13. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足. 【详解】解：方程两边都乘， 得：， 解得：， 经检验是方程的解， 原方程的解为． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验. 14. 如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【答案】 证明：在中，． ， ． ． ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用证明，进而根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 先化简，然后再从0，1，中选取一个最适合的数作为的值代入求上式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算和分式有意义的条件，先利用分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件求出的取值范围，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ，且， ， 把代入得，原式． 16. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，根据“同样用了元，购进的数量比第一次少了件”列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元． 17. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，画的高线； （3）在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质、中线的定义、高线的定义，解题的关键是能综合运用这些知识点． （1）根据等腰三角形的定义，作图即可； （2）根据高线定义，作图即可； （3）根据长方形的性质结合三角形中线的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，或都是满足条件的等腰直角三角形． ； 【小问2详解】 解：如图所示,即为所求； ； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则，即； 【小问3详解】 解：如图所示, 取中点，连接，则即为所求． ． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）过点D作于点G，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出，然后再求出结果即可． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 又， ． ； 【小问2详解】 解：如图，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）仿照题例方法解答即可； （）把右式移到左边，再仿照题例方法求出的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：方法运用：∵ ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴的值为； 拓展提升：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， 当时， ∵， ∴构成不了三角形，该种情况不符合； 当时，的周长； ∴的周长为． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式． 公式： ；公式：； 公式：；公式：； 图对应公式 ；图对应公式 （填序号）； （2）解决问题：已知，，求的值； （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都是正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据图、图中面积之间的关系可得答案； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由于，正方形和正方形的面积和为，，，然后根据即可解答． 【小问1详解】 解：图整体上是长为，宽为，因此面积为，拼成图的三个长方形的面积为， ， 图对应公式是， 图整体上是长为的正方形，因此面积为，拼成图的四个长方形的面积为， ， 图对应公式是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ，即， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由于，正方形和正方形的面积和为， ，， ． 21. （1）如图①，在中，，，直线经过点A．且直线．直线，垂足分别为点D，，试猜想有怎样的数量关系，请写出并说明理由． （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角），（1）中的结论如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图③．在平面直角坐标系中．，是等腰直角三角形．，请直接写出点B的坐标_________． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）证，得，即可得出结论； （2）证，得，即可得出结论； （3）过C作轴于点D，过B作于点E，证明，得出，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：如图③，过C作轴于点D，过B作于点E， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ， 点的坐标． 故答案为：． 七、简答题 22. 如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． （1）请直接用含，的代数式表示线段的长度； （2）当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； （3）若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【答案】（1）线段的长度为 （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； 【小问2详解】 解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； 【小问3详解】 解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 数学共8页，包括七道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区城内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 2. 下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 5. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 6. 是分式方程的解，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 7. 氢原子的半径约为m，用科学记数法把表示为_________. 8. 因式分解：__________． 9. 若是一个完全平方式，则常数的值为_______． 10. 如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为__________． 11. 如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算：． 13. 解方程：． 14. 如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 先化简，然后再从0，1，中选取一个最适合的数作为的值代入求上式的值． 16. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 17. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，画的高线； （3）在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）过点D作于点G，若，求的长． 19. 【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式． 公式： ；公式：； 公式：；公式：； 图对应公式 ；图对应公式 （填序号）； （2）解决问题：已知，，求的值； （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都是正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，求阴影部分的面积． 21. （1）如图①，在中，，，直线经过点A．且直线．直线，垂足分别为点D，，试猜想有怎样的数量关系，请写出并说明理由． （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角），（1）中的结论如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图③．在平面直角坐标系中．，是等腰直角三角形．，请直接写出点B的坐标_________． 七、简答题 22. 如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． （1）请直接用含，的代数式表示线段的长度； （2）当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； （3）若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $