精品解析：贵州省贵阳市第一中学2026届高三上学期模拟检测数学试卷（一）

2026届贵阳市第一中学高三模拟检测数学试卷（一） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的中位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】直接由中位数的定义即可得解. 【详解】将从小到大排列为：，这9个数的中位数为5. 故选：A. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求出，再求模即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】， 所以， 故选：D 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由可得：，解得：， 由可得，即，即， 解得：或， 故，，所以. 故选：D. 5. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 6. 已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线上的点可求得，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果. 【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线准线方程为：， 由抛物线定义知：点到的焦点的距离为. 故选：D. 7. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过条件求出，再利用三角公式将目标变形，最后转化为用表示，再代入的值计算即可. 【详解】由得， 所以 . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前10项和是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和等比前和公式，等差数列的定义法证明方法，和等差数列前和公式，分别判断各选项正误. 【详解】由题可得， 则，所以数列是等比数列，故A正确；，故B不正确； 已知，，故是等差数列，故C正确； 则，故D错误. 故选：AC. 10. 已知为函数的极值点，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】由是导函数的零点，可得判断A选项；由解析式判断奇偶性判断选项B；利用函数对称性的特征判断选项C；由正弦型函数的单调性判断选项D. 【详解】为函数的极值点， ，由可得，A选项正确； 由于， 所以是偶函数，B选项正确； ， 所以的图象关于直线对称，C选项正确； 由于的正负未知，所以在区间的单调性不确定，D选项错误， 故选：ABC． 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得双曲线渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】对于选项A：双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：由，则离心率，故B正确； 对于选项C：设的内切圆与轴， 分别相切于点， 由圆的切线性质知 ， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 又渐近线方程是， 则，， ，则，故D错误. 故选:ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知， 且，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到，根据垂直得到方程，求出答案. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知函数在时有极值0，则= ______ . 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】∵，，函数在时有极值0， 可得即 ，解得或， 若时，函数， 所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍， 所以，所以 故答案为：． 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解. 【详解】当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值， 其中，，，， 故， 解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数最小正周期和单调递减区间； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量数量积得到式子，再用公式将其变形为特定形式. 借助周期公式计算，利用整体代换求单调递减区间.  （2）先根据范围算出. 结合类似图像找到使函数值最小的情况，算出最小值. 再解不等式，得出的范围. 【小问1详解】 ． 函数的最小正周期． 由，， 得，． 的单调递减区间为，． 【小问2详解】 当时，， 结合的图像，当时，． 当时，， ，解得．实数的取值范围为． 16. 已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，解方程求出，再结合，即可得出答案. （2）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 小问1详解】 依题意可知， 由于，则直线的方程为， 因为点到直线的距离为. 所以，解得， 所以，则， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 设，直线的方程为.此时. 联立直线与椭圆方程消去得， 则有 不妨设，因为三点共线，则， 所以则有， 因为三点共线，则则有， 所以 ， 所以，所以， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 17. 如图所示，四棱锥底面为矩形，且，分别为的中点，点为线段上靠近点的三等分点. （1）求证：平面； （2）当时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行再证明线面平行，即可证明求解. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解出二面角的余弦值，从而求解. 【小问1详解】 证明：如图所示： 取中点，连接，， 分别为的中点，且底面为矩形， 所以，且， 又因为平面平面， 又因为平面平面， 所以平面，且平面， 又因为平面平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以由面面平行的性质可知平面. 【小问2详解】 如图所示： 因为， 又因底面为矩形，所以， 因为平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，又， 所以，又易知是等边三角形，所以， 又，所以建立上图所示的空间直角坐标系； 因为， 所以， 又因为为的中点，， 所以， 所以， 设平面与平面的一个法向量分别为 所以有以及 即分别有，以及， 分别令，并解得， 不妨设平面与平面的夹角为， 所以， 所以. 综上所述：平面与平面的夹角的正弦值为. 18. 已知函数，其中． （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； （2）若是的极小值点，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数即可； （2）由（1）中信息构造函数，利用导数探讨有变号零点的条件，并确定极小值点的情况，结合单调性即可得大小关系. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 因此在点处的切线为， 令，则；令，则， 切线与两坐标轴所围成三角形的面积，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，则，函数在上单调递增，无极值； 当时，，而，， 令，求导得，函数在上单调递增， ，因此，存在，使得， 当或时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，即， 所以 19. 某系统配置有个元件（为正整数），每个元件正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性. （1）当时，求该系统正常工作的概率； （2）现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，分别求出5个元件中正常工作的元件为3,4,5的概率，相加可得系统正常工作的概率. （2）系统配置有个元件时，记系统正常工作的概率为，当前有个元件，记系统正常工作的概率为，探索与的关系，通过判断系统的可靠性是否有所提高. 【小问1详解】 记系统正常工作的概率为，由题意可得 . 【小问2详解】 解法一：系统配置有个元件时，记系统正常工作的概率为， 当前有个元件，记系统正常工作的概率为，考虑前个元件： 第一种情况：前个元件恰有个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：； 第二种情况：前个元件恰有个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：； 第三种情况：前个元件至少有个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为： 所以， 故当时，系统可靠性不变，当时系统可靠性降低，当时系统可靠性提高. 解法二：系统配置有个元件时，记系统正常工作的概率为， 当前有个元件，记系统正常工作的概率为，考虑增加的两个元件： 第一种情况：增加的2个元件恰有1个元件正常工作，则新系统能正常工作的概率为：； 第二种情况：增加的2个元件都正常工作，则新系统能正常工作的概率为：； 第三种情况：增加的2个元件都不正常工作，则新系统能正常工作的概率为： 所以， ， 即， 故当时，系统可靠性不变，当时系统可靠性降低，当时系统可靠性提高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届贵阳市第一中学高三模拟检测数学试卷（一） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的中位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A B. C. D. 3 6. 已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前10项和是 10. 已知为函数的极值点，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 11. 已知双曲线：左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知， 且，则 _________. 13. 已知函数在时有极值0，则= ______ . 14. 已知棱长为1正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数最小正周期和单调递减区间； （2）当时，，求实数的取值范围． 16. 已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 17. 如图所示，四棱锥底面为矩形，且，分别为的中点，点为线段上靠近点的三等分点. （1）求证：平面； （2）当时，求二面角的正弦值. 18. 已知函数，其中． （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； （2）若是的极小值点，试比较与的大小． 19. 某系统配置有个元件（为正整数），每个元件正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性. （1）当时，求该系统正常工作的概率； （2）现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $