精品解析：贵州省黔西南州顶兴高级中学2026届高三上学期模拟（二）（1月月考）数学试题

2026年普通高等学校招生统一考试 数学•模拟卷（二） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求解集合中不等式，根据集合交集计算，再根据真子集定义求解. 【详解】对于集合，，解得，故， 所以，故真子集个数为. 故选：B 2. 新能源汽车凭借环保､节能等优势，受到越来越多消费者的青睐.某品牌为评估旗下新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店在一周内的销售数量（单位：辆），数据如下：.则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是（ ） A. 12 B. 22 C. 28 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】把数据按照从小到大的顺序排列，再根据百分位数定义求解即可. 【详解】把数据按照从小到大的顺序排列可得， 所以由，可知第75百分位数为第五个数据，即28， 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和正弦公式展开，再利用辅助角公式和诱导公式化简即可求值. 【详解】由 ， 则， 故选：B 4. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数图象，即可得到判断. 【详解】作出函数图象： 因为 方程化为，方程恰有三个不同的实数解， 等价于的图象有三个不同的交点， 所以由图可得，当，即时符合题意， 故选：C 5. 已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式和面积公式，即可求解弧长和底面半径，再借助内切球的性质，可解得内切球半径，从而问题得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由题意可得：，由勾股定理可得：， 设圆锥的内切球半径为，如图可知：， 由勾股定理可得：， 解得：， 所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：， 故选：C 6. 图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算全部书籍的排列数，利用捆绑法计算2本相同的故事书相邻的排列数，再求解概率即可. 【详解】由题意知，4本不同的科普书籍和2本相同的故事书的排列数为， 2本相同的故事书看作一个整体同其他4本书进行排列，排列数为， 所以2本相同的故事书相邻摆放的概率为， 故选：C. 7. 已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，利用图象观察，将四边形MACB的面积最小值转化为求的最小值，而这可以通过设点、消元将其化成一个二次函数的最值问题来解决. 【详解】 如图，设点，连接，四边形MACB的面积为， 而，又点在曲线上，则有， 依题意，，故当且仅当时，，此时四边形MACB的面积取得最小值. 故选:B. 8. 设，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由恒成立，构造函数，求导，通过，，三类情况讨论，进而可求解. 【详解】由恒成立，可得：在恒成立， 令， 则， 当时，在恒成立， 故在单调递增， 又， 故当时，恒成立，故当时，恒成立， 当时，令，解得，负值舍去， 当时，，令，得， 令，得， 故在单调递增，在单调递减， 当时，， 故当时，不恒成立，即当时，不恒成立， 当时，， 由，得， 则在上恒成立， 所以在单调递减， 又， 故当时，恒成立，即当时，恒成立，不符合题意， 综上可知：实数的取值范围为， 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B和D，利用复数模的运算可判断C. 【详解】由，故A错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； ，故C错误； 复数在复平面内表示在单位圆上的点，表示单位圆上的动点到定点的两点间距离， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过赋值法依次求得即可判断A；令并结合选项A，即可判断B；令，得，代入计算即可判断C；先将转化为，再证明为偶函数，从而，解之即可判断D. 【详解】对于A，令，有，所以， 令，有，所以，故A错误； 对于B，令，则，即， 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，令，则，即， 则，故C正确； 对于D，不等式等价于， 即． ，且 ， 又，所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增． 因为为偶函数， 所以等价于， 解得，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图所示，底面为菱形的直棱柱中，点在侧棱上，，点为侧面内一动点（包含边界），则（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是四边形 B. C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接，如图， 则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A正确． 对B，连接，由题意可得，底面，底面，所以， 而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确．  对C，设与交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面的一个法向量为， 则，C错误． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上. 12. 已知，则在上的投影向量为__________. 【答案】或者写为 【解析】 【分析】利用向量数量积坐标运算，结合投影向量的定义来进行求解即可. 【详解】由可得， 又因为，所以， 则在上的投影向量为， 或者表示为： 故答案为：或者写为 13. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设该双曲线方程为，代入，求解，再根据双曲线定义求解实轴长即可. 【详解】由题意知该双曲线与双曲线有公共渐近线， 故设该双曲线方程为，代入，得，解得 所以，故该双曲线的实轴长， 故答案为：. 14. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】只需考虑蚂蚁行进三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平面图，第一条路径穿过棱，求出此时最短路线长；第二条路径是穿过棱和棱，求出此时最短路线长；第三条路径是穿过棱和棱，求出此时最短路线长并比较大小可得答案． 【详解】由已知得， 只需考虑蚂蚁行进的三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平面图， 第一条路径穿过棱，如下图，此时最短路线长为； 第二条路径是穿过棱和棱，如下图，此时最短路线长为； 第三条路径是穿过棱和棱，如下图，此时最短路线长为． ， 通过比较可知，最小． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题结合生活实际情景考查空间几何体，要求学生了解空间几何体的结构特征，会根据生活实际情境解决路线最短问题． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【小问1详解】 由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6. 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 （1）依小概率值的独立性检验，能否认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验进行判断； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望； 【小问1详解】 由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6， 故喜欢跑步的有（人），不喜欢跑步的有（人）． 补全列联表如下： 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 由列联表中数据， 零假设:喜欢跑步与性别无关， 由， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断喜欢跑步与性别有关，即认为喜欢跑步与性别无关． 【小问2详解】 设抽取的8人中女生有名，男生有名，则，解得，， 所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名． 再从这8人中抽取3人（从8名学生（6名男生、2名女生）中抽取3名，典型的超几何分布模型）， 故的可能取值为0，1，2， 且，，， 故的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：数学期望． 方法二：服从超几何分布，且，，，所以． 17. 如图，在多面体中，AG，DE，BF均与平面垂直，且C，E，F，G四点共面，，，，． （1）求线段AG的长； （2）求直线AE与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，设，则，求出平面的法向量，根据四点共面，得到，从而得到方程，求出，故； （2）在（1）基础上，利用线面角的向量夹角公式进行求解. 【小问1详解】 因为BF与平面垂直，平面， 所以⊥，⊥， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 连接，，由勾股定理得， 故，故， 因为，，， 所以≌，故， 过点作⊥于点，故， 所以，所以， 又， 所以， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 因为C，E，F，G四点共面，故， 即， 解得，故； 【小问2详解】 ，平面的法向量为， 设直线AE与平面所成角的大小为， 则， 直线AE与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②3 【解析】 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程． （2）①设直线，，，代入椭圆方程，求解即可；②先得到，再令，得到，再求出直线与椭圆的一个交点，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，求出四边形的面积表达式，结合基本不等式求出最值即可得的最值． 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意可知：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 因为动圆与圆内切，且与圆外切， 所以， 所以曲线是以为焦点的椭圆． 设其方程为，其中，， 所以，，，从而曲线的方程为． 【小问2详解】 ①如图1，由于直线平分直线与圆的交线段， 所以直线与垂直，设直线，则． 设，，则，于是， 由于，，则，又，则，得证． ②由题可知，如图2，连接，则， 易知． 令，得， 则直线与椭圆的交线段长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点， 则到直线的距离， 所以， 由题意可知，则， 所以四边形面积的最大值，在时取到． 19. 已知函数． （1）若曲线的切线过点，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值； （2）（ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）设函数，判断有几个极值点并说明理由． （参考数据：） 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）有1个极值点，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据切线条件求出切线与x轴截距，列出三角形面积表达式，求导研究单调性即可． （2）（ⅰ）求出切点处的斜率，再根据点斜式即可求出切线方程；（ⅱ）求的极值点个数，即求的变号零点个数，通过研究的导数确定单调性后即可进一步确定，研究过程中，要适当分区间考虑，合并结论后求解出最终结果． 【小问1详解】 设切线与曲线相切于点， 则的方程为， 将代入得，得：， ，令，解得：， 所求三角形面积， ， 时，，则单调递减，时，，则单调递增， ，即所求三角形面积最小值为． 【小问2详解】 （i）， 则曲线在处的切线方程为， 即． （ⅱ），欲求有几个极值点，即求有几个变号零点，令， ①时，，则在上单调递增， ，由零点存在定理：，使得， 时，有一个极值点， ②时，，此时无零点， ③时，下证：， 令，则， 时，，故单调递减；时，，故单调递增， ， 令，则， 时，单调递增；时，单调递减， ， ， 恒成立，此时无零点， ④时，，但两者不同时取得等号， 恒成立，此时无零点， 综上可得，有1个极值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生统一考试 数学•模拟卷（二） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 新能源汽车凭借环保､节能等优势，受到越来越多消费者的青睐.某品牌为评估旗下新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店在一周内的销售数量（单位：辆），数据如下：.则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是（ ） A. 12 B. 22 C. 28 D. 33 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 图书馆有4本不同科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（ ） A B. C. D. 7. 已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 设，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若复数满足，则的最大值为 10. 已知函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 11. 如图所示，底面为菱形的直棱柱中，点在侧棱上，，点为侧面内一动点（包含边界），则（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是四边形 B. C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上. 12. 已知，则在上的投影向量为__________. 13. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为__________. 14. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6. 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 （1）依小概率值的独立性检验，能否认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0001 2.706 3.841 6635 10.828 17. 如图，在多面体中，AG，DE，BF均与平面垂直，且C，E，F，G四点共面，，，，． （1）求线段AG的长； （2）求直线AE与平面所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 19. 已知函数． （1）若曲线的切线过点，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值； （2）（ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）设函数，判断有几个极值点并说明理由． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $