精品解析：江苏省盐城市滨海县滨淮初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年秋学期八年级课堂练习 数学试卷 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，属于无理数的是 （ ） A. B. 0.4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．根据无理数的定义判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是开方不尽的数，无法表示为分数，属于无理数． 选项B：0.4是有限小数，可写为，属于有理数． 选项C：0是整数，属于有理数． 选项D：是整数，属于有理数． 故选：A． 2. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　） A. 20° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个顶角为80° ∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°． 故选B． 考点：等腰三角形的性质． 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 4. 如图，，，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 5. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 4，5，6 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A、因为，，不是正整数，所以，，不是勾股数，故该选项不符合题意； B、因为0.3，0.4，0.5不是正整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故该选项不符合题意， C、因为，所以4，5，6不是勾股数，故该选项不符合题意； D、因为，所以9，12，15是勾股数，故该选项符合题意， 故选：D． 6. 已知正比例函数，则它经过的象限是（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 7. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，变化的量为变量，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，单价是固定不变的，金额随着油量的变化而变化； 故金额和油量为变量； 故选：D． 8. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限． 故答案为：四． 11. 如图，已知，若以“”为依据证明，需要添加条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，对顶角，若以“"为依据证明，还需添加一个边的信息且该边与夹角相邻，据此解题． 【详解】解：添加条件． 理由：在和中， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的判定，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 用四舍五入法取近似数：_____________．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求解近似数．把千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法取近似数：， 故答案为：． 13. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】一次函数的图像向上平移2个单位长度，所得的函数解析式为. 故答案为 【点睛】考查一次函数图象的平移规律，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键. 14. 如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 15. 某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是________． 【答案】（） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式．根据需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，则设，由表格可知，当时，；当时，，分别代入解析式，求出k，b的值，即可解答． 【详解】解：∵需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系， ∴设， ∵由表格可知，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴． 令，解得， ∴当时，需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是， 故答案为：（）． 16. 如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F（不与D、C重合），连接，若平分，则k的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质定理，勾股定理，待定系数法求解析式，解题的关键是正确作出辅助线构建直角三角形． 作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质可得，借助勾股定理可解得，，再在中借助勾股定理解得，即可求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值即可． 【详解】解：如图，作交于点，连接，    ∵点的坐标是， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是边的中点， ∴， ∴， ， ∵在中，，即， 解得， ∴点， 把点的坐标代入， 可得，解得． 故答案为：3． 三、解答题（本题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键， （1）按顺序先分别进行算术平方根的运算、平方运算，然后合并计算即可； （2）按顺序先分别进行化简绝对值、立方根运算及零整数指数次幂运算，然后合并计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中的x （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根和立方根，关键是掌握一个正数有两个平方根． （1）首先两边同时除以4，再两边直接开平方； （2）首先两边直接开立方得：，再解方程． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 19. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 20. 一个正数的两个不同的平方根分别是与． （1）求和的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，立方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再代入求b； （2） 将的值代入，再求其立方根． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴ 解得 ∴； 【小问2详解】 解：当时， 的立方根为3 的立方根为． 21. 已知等腰三角形的周长是，设底边长为，腰长为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【答案】 ，. 【解析】 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【详解】∵ ， ∴ ，即， ∵ 两边之和大于第三边， ∴ ， 综上可得． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系,根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 22. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，试求出点P的坐标； （2）若，且轴，试求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题运用了平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题，关键是用好数形结合的数学思想． （1）根据轴上的点纵坐标为0解答即可； （2）利用轴时横坐标相等进行解答即可． 【小问1详解】 点在轴上， ， ， ， 【小问2详解】 ，且轴， ，， ， 23. 已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； （2）若，求函数的最小值． 【答案】（1），函数的图像如下图： ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与正比例函数的性质应用，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据正比例函数表达式的定义，列出关于的方程，且，确定函数表达式为，然后画出图像； （2）依据正比例函数的增减性“系数为负时，随的增大而减小”，在的条件下，找到的最大值为，代入函数求出的最小值为． 【小问1详解】 解：，且是关于的正比例函数， ，， ， ； 【小问2详解】 中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 24. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） 证明：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）①；②绳索的长为 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 25. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； （1）点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． （2）在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； （3）在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． 【小问2详解】 当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． 【小问3详解】 ①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 26. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 三聚等腰三角形 【概念理解】 一个三角形能分成三个等腰三角形，这样的三角形叫做“三聚等腰三角形”． 【问题解决】 问题1：如图1，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，可分为三个等腰三角形，其中，，则的度数为________． 问题2：如图2，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，小组成员欣欣利用尺规将其分为三个等腰三角形，分割方式为尺规作，作，交于点．请你帮她完成证明为等腰三角形的过程． 证明：，，． …… 任务： （1）材料中，问题1中的的度数为________ （2）请补全问题2的证明过程． （3）如图3，“三聚等腰”中，，，请利用尺规作图，将其分成三个等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，尺规作图-作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质分别求出，，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据，得出，根据垂线定义得出，求出，根据三角形外角性质求出，得出，根据等腰三角形的判定，得出答案即可； （3）以点A为角的顶点，为角的一边，在下方作，交于点D，以点D为角的顶点，为角的一条边，在上方作，交于点E． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 27. 综合与探究 【问题背景】如图1，在中，AC是中线，，，．求BD的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2．延长中线至点，使得，连接． 是中线， ． 在和中， （________）． 在中， ，， ． ________． ． ． ________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，中，，，是的中线，，垂足为C，，且，请你参照小明的思路：求出的长度． 【答案】（1），，10； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）9 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，垂直平分线的判定及性质，理解题意中的方法，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）延长，，交于点F，由可得，因此，，又，因此，从而，，．因为是的垂直平分线，故． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：，，10． （2）略 （3）解：延长，，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴ ∴，， ∴． ∵，即， 又， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期八年级课堂练习 数学试卷 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，属于无理数的是 （ ） A. B. 0.4 C. 0 D. 2. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　） A. 20° B. 50° C. 60° D. 80° 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 5. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 4，5，6 D. 9，12，15 6. 已知正比例函数，则它经过的象限是（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 7. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 8. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 16的平方根是______． 10. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 11. 如图，已知，若以“”为依据证明，需要添加条件__________． 12. 用四舍五入法取近似数：_____________．（精确到） 13. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得的函数解析式为______． 14. 如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 15. 某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是________． 16. 如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F（不与D、C重合），连接，若平分，则k的值为________． 三、解答题（本题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的x （1） （2） 19. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 20. 一个正数的两个不同的平方根分别是与． （1）求和的值； （2）求的立方根． 21. 已知等腰三角形的周长是，设底边长为，腰长为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 22. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，试求出点P的坐标； （2）若，且轴，试求出点P的坐标． 23. 已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； （2）若，求函数的最小值． 24. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 25. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； （1）点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． （2）在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； （3）在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 26. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 三聚等腰三角形 【概念理解】 一个三角形能分成三个等腰三角形，这样的三角形叫做“三聚等腰三角形”． 【问题解决】 问题1：如图1，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，可分为三个等腰三角形，其中，，则的度数为________． 问题2：如图2，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，小组成员欣欣利用尺规将其分为三个等腰三角形，分割方式为尺规作，作，交于点．请你帮她完成证明为等腰三角形的过程． 证明：，，． …… 任务： （1）材料中，问题1中的的度数为________ （2）请补全问题2的证明过程． （3）如图3，“三聚等腰”中，，，请利用尺规作图，将其分成三个等腰三角形． 27. 综合与探究 【问题背景】如图1，在中，AC是中线，，，．求BD的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2．延长中线至点，使得，连接． 是中线， ． 在和中， （________）． 在中， ，， ． ________． ． ． ________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，中，，，是的中线，，垂足为C，，且，请你参照小明的思路：求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $