精品解析：重庆市巫山县巫峡初级中学2026-2027学年度上学期八年级数学9月学情自测 卷

2026-2027学年度巫峡初中八年级数学月考卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，点是延长线上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 5. 如图，，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 7. 已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（ ） A. 19.2° B. 8° C. 6° D. 3° 10. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  13. 如图，在中，，，，则的度数为___________ 14. 若是的三边长，则化简的结果是_______． 15. 如图，在中，是中线，设的长度为，则的取值范围是___________ 16. 一副三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为_________． 17. 如图，在中，，，是上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则___________；___________ 18. 如图，的和的外角角平分线交于点，若，，则的度数是___________ 三、解答题 19. 已知，在中，． （1）尺规作图：在上方作，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：． 证明：在和中， （②___________） （③___________） 20. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 21. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，． 求证： （1） （2） 22. 如图，在等腰中，，中线将周长分为9和15两部分，求它的底边的长． 23. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 24. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，已知，． （1）求证： （2）求证：． 25. 如图，是的中线，，，且，．求证： （1）EF； （2）EF 26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______； （2）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度巫峡初中八年级数学月考卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 3. 如图，在中，，，点是延长线上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据外角等于与它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解：是的外角， ， ，， ． 4. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据全等三角形性质得，再在中利用三角形内角和定理求出，最后由求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴． 5. 如图，，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、添加，不能判定，故符合题意； B、添加， ∴，选项不符合题意； C、添加， ∴，选项不符合题意； D、添加， ∴，选项不符合题意． 故选：A． 6. 已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，得 ，即． ∵ 是大于的偶数， ∴ ． ∴ 的周长为． 7. 已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵点是的中点，  ∴，， ∴阴影部分的面积． 9. 如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（ ） A. 19.2° B. 8° C. 6° D. 3° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理，可得， 10. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 13. 如图，在中，，，，则的度数为___________ 【答案】##38度 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 若是的三边长，则化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，整式的加减计算，先根据三角形三边的关系得到，据此化简绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】∵a，b，c为三角形三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是中线，设的长度为，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，通过证明将转化为，在中利用三角形三边关系求出的范围，进而得出x的范围． 【详解】解：延长至点，使，连接． 是的中线， ． 在和中， ， ． 在中， ， ， ， ， ． 16. 一副三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，，,，，， ∴ ， ∴的度数为． 17. 如图，在中，，，是上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则___________；___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作于点，根据“”说明，，从而，，，再根据三角形的面积公式，计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； ， ． 18. 如图，的和的外角角平分线交于点，若，，则的度数是___________ 【答案】##82度 【解析】 【分析】延长至，使，连接，，利用“”可得，从而，设，根据等腰三角形和角平分线的定义，易得，，，再根据角平分线的性质和判定，可得平分，进而可求，最后利用三角形内角和定理，列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，，交的延长线于点， ， ， ， 平分，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 设， 是的的外角角平分线， ， ， ， ， 的和的外角角平分线交于点， 点到直线、和的距离相等， 平分， ， ， ， 解得， 的度数是． 三、解答题 19. 已知，在中，． （1）尺规作图：在上方作，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：． 证明：在和中， （②___________） （③___________） 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，． 求证： （1） （2） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质． （1）根据得到，根据得到，根据证明即可； （2）根据得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在等腰中，，中线将周长分为9和15两部分，求它的底边的长． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义得到，再分两种情况：当时，当时，求出此时的长，再利用构成三角形的条件验证即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵中线将周长分为9和15两部分， ∴分两种情况： 当时， 则， ∴，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当时， 则， ∴，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，． 23. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 【答案】（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， 又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD=BE； （2）∠AEB=60°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，然后根据SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE； （2）由△ECD是等边三角形可得∠CDE=∠CED=60°，根据补角的性质可求∠ADC=120°，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠ADC=120°，进而根据∠AEB=∠BEC﹣∠CED可得出答案． 【详解】证明：略 （1） （2）在等边△ECD中， ∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠BEC=∠ADC=120°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，能推出△ACD≌△BCE是解此题的关键． 24. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，已知，． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明，则可证明； （2）利用证明，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，是的中线，，，且，．求证： （1）EF； （2）EF 【答案】（1）证明：如图所示，延长到点G，使得，连接，延长交于点H， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使得，连接，延长交于点H，证明，得到，，再证明，得到，根据，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，据此可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______； （2）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由． 【答案】（1），；或 （2） ①证明：如图2，延长、，相交于点， ， ， ，， ， 又， ， ， 是的角平分线， ， ，， ， ， ， ； ②的大小不变，为定值 【解析】 【分析】（1）先根据非负性求出点的坐标为，点的坐标为，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可； （2）①延长、，相交于点，证，得，再证，得，则，即可得出结论；②过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ，， 解得，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 分两种情况：①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， 轴， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 点； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得， ，， ， ， ， 点； 综上所述，点的坐标为或； 故答案为：，；或； 【小问2详解】 ①略 ②的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $