精品解析：黑龙江省牡丹江市初中课改联盟第三子联盟2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2025—2026学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1、考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 到三角形的三边距离相等的点是（ ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 4. 下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，，则的值（ ） A. 18 B. 9 C. D. 6. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图所示，，若和分别垂直平分和，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，，P是边BC上一动点，当值最小时，，则BE的长为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 9. 对于正数，规定，例如：，，则值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 10. 如图，和都是等边三角形，点E、F分别在BC、AC上，，AE与BF交于点G，下列中正确的个数是：①；②；③DG平分；④；⑤；⑥（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为______． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  13. 已知三角形两边长分别是3和5，第三条边为偶数，那么第三条边c的取值可能是_______． 14. 如果关于x的方程无解，则a的值为___． 15. 已知，则___________． 16. 如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则_____________． 17. 如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则_______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 19. 如图，在等腰中，，，垂足为，动点、分别在底边、腰上（点不与点、重合），且．当是以为腰的等腰三角形，则的长度为_____． 20. 下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 三、解答题（满分60分） 21. （1）计算：． （2）因式分解：． （3）解分式方程：． 22. 先化简，然后再从范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 23. 在中，，，，以为腰向外侧作一个等腰，连接，请按要求画出图形，并直接写出的面积． 24. 阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：的最小值_______； （2）已知，求的值_______； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 25. 在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），以为直角边在右侧作等腰直角三角形，使，连接． （1）探究：如图①，当点D在线段上时，求证：； （2）拓展：如图②，当点D在线段的延长线上时，如图③，当点D在线段的延长线上时，试猜想、、之间的数量关系是否变化；若变化，请直接写出猜想的结论，不需证明； （3）在（1）和（2）问的条件下，若，，则的面积为________． 26. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 27. 如图，平面直角坐标系中，，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，点C在x轴负半轴上，且，点C坐标为，且a、b满足，请解答下列问题： （1）直接写出点B和点C的坐标；B_______，C_______． （2）若连接交y轴于点D，且，，求点A的坐标； （3）在（2）的条件下，，在坐标轴上是否存在点E，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2025—2026学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1、考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、积的乘方法则和负指数幂的意义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误； B．，故原计算错误； C．，故原计算错误； D．，故原计算正确． 故选：D． 3. 到三角形的三边距离相等的点是（ ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质．根据角平分线的性质“在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上”判断即可． 【详解】解：根据角平分线的性质知，到三角形的三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 4. 下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键；因此此题可根据“分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式”进行求解即可 【详解】解：，，，都不是最简分式， ，，是最简分式， 故选：B． 5. 已知，，则的值（ ） A. 18 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 6. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 7. 如图所示，，若和分别垂直平分和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理推出，则． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，，P是边BC上一动点，当的值最小时，，则BE的长为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】作点D关于BC的对称点G，连接GE，则PD=PG，CD=CG，则可得到当点E、P、G三点共线时，PD+PE最小，最小值为EG，且当EG⊥AB时，EG的值最小，在根据直角三角形的性质可得AG=2AE=26，从而得到，根据，可得CD=CG=8，从而得到，进而得到，在根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点D关于BC的对称点G，连接GE，则PD=PG，CD=CG， ∴PD+PE=PG+PE， ∴当点E、P、G三点共线时，PD+PE最小，最小值为EG， ∴当EG⊥AB时，EG的值最小， 在中，， ∴∠A=60°， ∴∠G=90°-∠A=30°， ∵， ∴AG=2AE=26， ∴， ∵， ∴DG=16， ∴CD=CG=8， ∵∠G=30°， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵∠B=30°， ∴PB=2PE=， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，z轴对称图形的性质，熟练掌握勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 9. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 10. 如图，和都是等边三角形，点E、F分别在BC、AC上，，AE与BF交于点G，下列中正确的个数是：①；②；③DG平分；④；⑤；⑥（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先证明≌，即可得到，，则；延长EA到点H，使BG=AH，连接DH，然后得到，则≌，则DH=DG，∠BGD=∠H，则得到DG平分，则；然后得到；由，则；由是等边三角形，则；分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴≌， ∴，，故①正确； ∴；故②正确； 延长EA到点H，使BG=AH，连接DH，如图： ∵， ∴； ∵， ∵， ∴， ∵AD=BD，AH=BG， ∴≌， ∴DH=DG，∠BGD=∠H， ∴∠BGD=∠H=∠DGH， ∴DG平分；故③正确； ∵， ∴∠BGD=∠DGH=60°， ∴∠DBO=60°=∠DGH， ∵∠BOD=∠GOA， ∴；故④正确； ∵，， ∴， ∴；故⑤错误； ∵DH=DG，， ∴△DGH是等边三角形， ∴；故⑥错误； 综上所述，正确的选项有①②③④，共4个； 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意，公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 13. 已知三角形两边长分别是3和5，第三条边为偶数，那么第三条边c的取值可能是_______． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边c的取值范围为，再结合c为偶数的条件，得出c的可能值． 【详解】解：∵三角形两边长分别是3和5， ∴第三条边c满足，即． 又c为偶数， 所以c的取值可能是4或6． 故答案为：4或6． 14. 如果关于x的方程无解，则a的值为___． 【答案】1或2 【解析】 【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出． 【详解】解：将方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵该分式方程无解， ∴或， ∴或， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零． 15. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作m和n，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 【详解】解：令，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则_____________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，连接，设，根据同高三角形的面积比等于底边比，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， 连接，设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴ 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 19. 如图，在等腰中，，，垂足为，动点、分别在底边、腰上（点不与点、重合），且．当是以为腰的等腰三角形，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决问题的关键． 由等腰三角形性质，结合题意可分两种情况：①；②；先讨论①，结合等腰三角形性质、外角性质，判定此种情况不存在；再讨论②，由等腰三角形的性质、外角性质得到相关角度及线段相等，再由两个三角形全等的判定与性质求出，最后结合等腰三角形三线合一得到，最后数形结合表示出代值求解即可得到答案． 【详解】解：当是以为腰的等腰三角形，则分两种情况：①；②， 当①时，， ， ， 在等腰中，，则， ， 是的一个外角， ，与矛盾，即此种情况不存在； 当②时， 是的一个外角， ， ，， ， 在等腰中，，则， 在和中， ， ， 在等腰中，，，垂足为，则由等腰三角形三线合一性质可得是等腰底边上的中线， ， ； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形，则的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决问题的关键． 20. 下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识，对于每个结论，利用分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件以及整数解的分析进行判断． 【详解】解：结论①：∵， ∴，即，故正确． 结论②：∵有意义， ∴，， ， ∴，，，故错误． 结论③：∵分式值为零 ∴且， ∴，故正确． 结论④：∵的值为整数， ∴为整数， ∴或或， ∴或或或或或， 又为整数， ∴或，共2个整数解，故正确． 结论⑤：当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意， ∴和，故错误． 故答案为∶ ①③④． 三、解答题（满分60分） 21. （1）计算：． （2）因式分解：． （3）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）无解 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解分式方程，因式分解等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则计算即可； （2）原式变形为，前三项利用完全平方公式因式分解，然后整体利用平方差公式分解即可； （3）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验即可解答． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时， ∴是增根， ∴原方程无解． 22. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解：  ∵ ， ∴整数  值为 ， 又∵ 且（分母不为零）， ∴ ， ∴原式． 23. 在中，，，，以为腰向外侧作一个等腰，连接，请按要求画出图形，并直接写出的面积． 【答案】39或9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论：①以A为直角顶点时，先根据题意作出图形，过A作于E，过D作于F，先证明，得出，然后根据三线合一的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据三角形的面积公式求解即可；②以C为直角顶点时，先根据题意作出图形，过A作于E，过D作于F，同理可证，得出，然后根据三角形的面积公式求解即可．． 【详解】解：①以A为直角顶点时，如图，过A作于E，过D作于F， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； ②以C为直角顶点时，如图，过A作于E，过D作于F， 同理可证， ∴， ∴的面积为； 综上，的面积为39或9． 24. 阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：的最小值_______； （2）已知，求的值_______； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）18，见解析 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 25. 在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），以为直角边在右侧作等腰直角三角形，使，连接． （1）探究：如图①，当点D在线段上时，求证：； （2）拓展：如图②，当点D在线段的延长线上时，如图③，当点D在线段的延长线上时，试猜想、、之间的数量关系是否变化；若变化，请直接写出猜想的结论，不需证明； （3）在（1）和（2）问的条件下，若，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2）当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的延长线上时， （3）4或8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质． （1）判断出，再用即可得出结论； （2）当点D在线段的延长线上时，同探究的方法得出，得出，即可得出结论； 当点D在线段的延长线上时同探究的方法得出，得出，即可得出结论； （3）利用（1）、（2）中的结论分别求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：当点D在线段的延长线上时， 同理得，， ∴， ∴； ②同理得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，， 而，， 此时，不符合题意，故舍去； 当点D在线段的延长线上时，， ∵，， ∴， 同理可证， ∴， 综上，的面积为4或8． 26. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元 （2）该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元． 【小问2详解】 解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或25， 该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 27. 如图，平面直角坐标系中，，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，点C在x轴负半轴上，且，点C坐标为，且a、b满足，请解答下列问题： （1）直接写出点B和点C的坐标；B_______，C_______． （2）若连接交y轴于点D，且，，求点A的坐标； （3）在（2）的条件下，，在坐标轴上是否存在点E，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3）或或或或或（写出其中3个即可） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、两个非负数的和为零、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由两个非负数的和为零可求出的值，从而得出，的坐标； （2）根据等面积法分别表示出的面积，从而可求出答案； （3）根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，， ，， ，点坐标为 ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：在坐标轴上存在6个点，使是以为腰的等腰三角形 ①当时， 轴上使得，则，或， 轴上使得， ， ， ； ②当时， 轴上使得，则，或， 轴上使得， ， ， ； 综上，坐标轴上存在6个点，坐标为或或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $