期末专题05 函数与方程及函数模型（考点串讲+专项训练）（精选38题）-【百强名校好题】2026年高一数学（上）期末终极冲刺（人教A版必修第一册）

期末专题05 函数与方程及函数模型 百强名校-考点串讲 例1．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)（多选）函数的零点所在区间不可能是（   ） A． B． C． D． 例2．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 . 例4．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知二次函数，其中. (1)若的最小值为，求的值； (2)若有两个不同的零点，求证：. 例5．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)已知函数（）. (1)若对一切实数x都成立，求k的取值范围； (2)若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 例6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数（，，）的图象过点，. (1)证明：函数的图象是轴对称图形； (2)若在区间上恒成立，求m的取值范围； (3)设函数，若有唯一零点，求实数t的取值范围. 例7．(24-25高一上·湖南长郡十八校·)已知函数关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是 ． 例8．(23-24高一上·福建龙岩·期末)美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年． A．3 B．4 C．5 D．6 例9．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)证明：； (3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 例10．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（多选）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 例11．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．最大值为 例12．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)记双曲正弦函数双曲余弦函数其中为自然对数的底数. (1)证明：； (2)已知函数， ①方程在上有且仅有一个实数解，求的取值范围； ②解关于的不等式：. 百强名校-真题精练 一、函数的零点 1．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)方程的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期末)已知命题p：若二次函数满足，则在区间内无零点．能说明p为假命题的一个二次函数是 ． 4．(24-25高一上·福建福州第一中学·)函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 6．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知函数为定义在上的偶函数. (1)求实数k的值； (2)解关于m的不等式； (3)设，若函数恰有三个零点，求k的值及该函数的三个零点. 8．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若时函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 9．(23-24高一上·江苏盐城亭湖区盐城中学·期末)已知函数 是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围． (3)设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 二、图象交点与方程的根 10．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)若函数是定义在上的偶函数，对任意的，当时，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明； (3)设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 13．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知函数满足，函数 (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 三、函数模型及其应用 14．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 15．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 16．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 四、多选题综合 17．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数一定存在最小值 D．存在使得函数有个零点 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)关于函数的说法正确的是（   ） A．是奇函数. B．对于任意，均存在使得. C．存在，使得方程的根为有限个. D．对于任意，直线与的图象有无穷多个交点. 19．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 20．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知函数，则（    ） A．，使得是偶函数 B．当时，函数有5个零点 C．当时，函数在上最大值大于，则 D．当时，设在上的最大值为，则的最小值为 21．(23-24高一上·辽宁葫芦岛·)已知定义域为的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．若函数在内恒成立，则 C．对任意实数，方程至多有6个解 D．方程有4个解，分别为，，，，则 五、解答题综合 22．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数 (1)求所有零点之和； (2)证明：为定值； (3)对任意均有，求实数的取值范围. 23．(24-25高一上·四川成都锦江区嘉祥外国语高级中学·)已知函数，函数 (1)证明函数的奇偶性，并求的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； (3)，使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 24．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)对于函数，若存在两个不同零点满足，则称函数为“零点相近函数”． (1)判断函数是否为“零点相近函数”？ (2)设． （ⅰ）已知，求证：函数为“零点相近函数”； （ⅱ）若函数为“零点相近函数”，求的取值范围． 25．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 26．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $沍强校 期末专题05函数与方程及函数模型 百强名校考点串讲 1.(②4-25高一上·陕西西安西北工业大学附层中学·期末)（多选）函数y=2-1nx+)的零 x+1 点所在区间不可能是() A.(0,1 B.(1,2) C.(2,3 D.（3,4) 【答案】ACD 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数零点存在定理对各选项逐一判断， 【销解】由=子一+)可知函数的定义线为-1，函数在定义城上年调遣减。 对于A,因f(0)=2>0,f①)=1-ln2>0,则f(0)f)>0,故函数在区间(0,1)上无零点，故A符合题意； 对于B.因f0=1-h2>0,f②-号-n3=he-n3<0,则f0f2)<0,故函数在区间，2)上有零点， 故B不符合题意； 对于c因/2)=号n3<0,f6)=}2h2=he-h4<0,则f2/3)>0,函数在区间2，)上无零点， 故C符合题意； 对于D,因f3)=方2h2<0,f④=号n5=hF-h5<0,则/)f4>0,放函数在区间a利上无 零点，故D符合题意 即函数y=2 -ln(x+)的零点所在区间不可能是ACD. +1 故选：ACD. 2.(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知定义在R上的奇函数f(x),当0≤x≤1时， f(x)=4+2x-1,若f(x)=-f(x+2)恒成立，则函数g(x)=f(x)-x+1的零点个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 1/55 百强名校 【分析】gx)的零点个数等于曲线y=∫(x)和直线y=x-1的交点个数，根据函数的对称性与周期性画出 y=∫(x)的图象，再在同一坐标系内画出y=x-1的图象，数形结合可得答案 【详解】gx)=0等价于f(x=x-1,故g(x)的零点个数等于曲线y=∫(x)和直线y=x-1的交点个数， v=f(x) y=h(x) :f(x)=-fx+2),f(x+4)=-f(x+2)=∫(x,故fx)的一个周期为4， 又：f(x=-f(2+x)=f-2-x)=∫(2-x),故曲线y=f(x)关于直线x=1对称， 当0≤x≤1时，f(x)=4+2x-1递增，可画出y=f(x)在[0,1上的图象， 再根据曲线y=∫(x)关于直线x=1对称可画出y=f(x)在[1,2]上的图象， 最后利用周期性可画出y=∫(x)的图象，再在同一坐标系内画出h(x)=x-1的图象， 由图可知两图象共有5个交点，则函数g(x)=∫(x)-x+1的零点个数为5，故选D选项. 故选：D 【点晴】方法点晴：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围： (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决： (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解. 3.(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数f(x)=x2-2x-a+2a恰有两个零点， 则实数a的取值范围是_ 【答案】-.u 【分析】根据题意化简f(x的解析式，注意到y=x2+2x的零点为-2,0，讨论∫x)在(-o,内的零点个数， 结合二次函数零点分析运算求解. 2/55 百强Ξ校 想木句 [x2-2x+4a,x>a 【详解】由题意可知：f(x)= x2+2x,x≤a 注意到y=x2+2x的零点为-2,0，且y=x2-2x+4a的对称轴为x=1, x2-2x,x>0 a=0时，f(x)= x2+2x,x≤0 有3个零点，不符合题意； 1.若a>0,可知f(x)在(a,+o)内无零点， ①当0<a<1时，则4=4-16a<0,解得<a<1; 4 ②当a≥1时，可知f(x)在(a,+o)内单调递增，则fx)>f(a)=a2+2a>0,符合题意； 、1 综上所述：a>4 2.若-2≤a<0,可知f(x在(a,+0)内有且仅有1个零点， 因为f(x)在(a,1内单调递减，在(1，+o)内单调递增， △=4-16a>0 则△=4-16a=0或 ol=。+2as0解得a=4或-2sas0: 所以-2≤a<0: 3.若a<-2,可知f(x在a,+0内有2个零点， 因为f(x在(a,1)内单调递减，在1，+o)内单调递增， △=4-16a>0 f(a)-a2+2a>0'解得a<-2: 则 综上所述：实数的取值范国是-，0叭u(行+w】 故答案为：(.0u+ 【点晴】方法点晴：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 1.利用零点存在的判定定理构建不等式求解： 2.分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解； 3.转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 3/55 百强Ξ校 4.(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)己知二次函数f(x)=x2-2mx+1,其中m>0. (1)若f(x)的最小值为-1，求m的值； ②)若()有两个不同的零点x,,求证：++6、4. x1+x2 【答案】(1)√2 (2)证明见解析. 【分析】(1)根据二次函数性质求解； (2)利用韦达定理把不等式左边表示为m的函数，再结合基本不等式可证， 【详解】(1)f(x)=x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2, 所以f(x)ma=1-m2=-1,解得m=√2（负值舍去）； (2)由题意f(x=x2-2mx+1=0的两根为x,x2且x≠x2, 所以△=4m2-4>0,因为m>0,故解得m>1, x1+2=2m,xx2=1, 所以++6_伍+°-2西+6_4m+4-2m+2之2 2 2m. =4, x1+x2 x1+x2 2m m m 当且仅当2m=2,即m=1时等号成立， 所以+苦+64. x+2 5.(2425高一上·湖南长沙第一中学·期末)已知函数fx=22+:-3 (keR）· (1)若∫(x<0对一切实数x都成立，求k的取值范围； (2)若函数∫(x)在区间[-4,0]上有两个不相等的零点，求k的取值范围， 【答案】(1)-3<k≤0 (2)k<-3 4/55 百强Ξ校 本列》 【分析】（①）首先对二次项系数进行讨论，只有当：=0时与当k<0且△=-4×2k×()<0时才能恒成 立，进而求得结果 (2)分析得出只有当开口向下且4 >0,f(-4)≤0才能满足题意，求解即可. 【详解】(1)当k=0时， 8<0显然成立： 当长<0时，要使一元=次不等式2r+名<0对一切实载x都成立。 则二次函数fx)=22+-3的图象在x轴下方，即△=k-4×2× 3 <0, 8 得3<k<0； 当>0时，三次丽数)=2+红的图象开山向上， 元三次不等式2+<0不可能对一切实数x都成应 综上可知，-3<k≤0. 2)易知函数小的对称锥为直线：片，且0=意<0。 函数f(x在区间[-4,0]上有两个不相等的零点，须函数∫(x)开口向下，所以k<0, 且函数f(x)在区间 44 上单调递增，在区间（年0]上单调递减。 故f=f》 又结合二次函数的图象与性质以及零点存在性定理， 需要清足在区间-40的最大值大于0，即/()>0，且-4)≤0即可。 母4(+ ,解得k<-3, f八-4)=2k(-4+(4-3s0 综上所述，k<-3. 6.(24-25高一上·福建福州第一中学·)己知函数f(x)=1og。 a2+l(a>0,a+1,beR)的图 象过点(0,1)， 25 1.lo (1)证明：函数fx)的图象是轴对称图形； 5/55 百强名校 (2)若ff(x)≥f(m+x)在区间-1,1上恒成立，求m的取值范围； (3)设函数gx=log2t·2-21)-f(x)(teR),若g(x)有唯一零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)m≤l1og,5 (3)(1,+oU -1-5 2 f(0)=1 【分析】(1)利用 f(1)=log. 25求出a,b可得f(x),再证明f(x)是偶函数即可； 2利用单调性、奇偶性转化为®8：+宁≥m+或g:2+)S-m-在区-1川上恒成 立，再转化为m≤】 再利用单调性求最小值即可： (3)由t2-2t=t2-2>0得 >1'或/0 t>0 x<1 令m=2(m>2或0<m<2),转化为 (t-1m2-21m-1=0(t>0)在me2,+0)上有唯一零点，或(t-1m2-2tm-1=0(t<0)在m∈(0,2)上有唯 零点，令pm)=(t-1)m2-2tm-1,结合二次函数根的分布可得答案. 【详解】)因为重数=e.+的图象过点a,(,名》】 1+1=1 f(0)=log。 a=2 所以 f0=log。 。25·解得 d2+1=1og:4 =1 所以f(x=l0g, 可得xeR,f(x的定义域关于原点对称， ()og -og.2+) 所以∫(x)是偶函数，图象关于y轴对称， 即函数∫(x)的图象是轴对称图形； 6/55 百强校 想末列 =e,e+ 1 当x>0时，u=2+ 、y=1og,u是增函数， 所以f(x)是单调递增函数，又(x)是偶函数， 若∫f(x月≥f(m+x)在区间[-1，上恒成立， 可得1oe2+m+,或o2+ ≤-m-x在区间-1,1上恒成立， 若1og:2+宁>m+,在区间-川上恒成立时。 令=er+)=e+2=os)e1, 因为v=1+女在x-1上是减函数，y=1og,v在xe-1川上是增函数。 所以h(x在x∈[-l,上是减函数， 可得sA=le1+分=lioe,即m≤le 5 若1og2+宁5-m-,在区间-1川上恒成立时， ms-o. 令e到=-h+=-er+)s:2=2e-, 因为s=1+2云在x-1,川上是减函数，y=1og,s在x-1,川上是增函数， 所以(x)在x∈[-1，上是减函数， 1 1 可得1(y≤(1=log:1+2=log:写即m≤1og:写 综上所述，m≤1og5 1 7/55 百强名酸 想末司 [t>0 (3)由2-21=-2-2>0得22>0'或 t<0 2-2<0' t<0 x<1' 令函数gx)=log,t2-2)-f(x)=0, 可得og-2-2刘=log2+2即1-2-2-2=2+1， 1 令m=2'(m>2或0<m<2), 可得t-1m2-2tm-1=0(1>0)在m∈(2，+0)上有唯一零点， 或t-1)m2-2m-1=0(t<0)在m∈(0,2)上有唯一零点， 令pm)=(t-1m2-2tm-1, (1)若(t-1m2-2m-1=0(1>0)在me(2,+o)上有唯一零点， 则当1=1时，2-1=0得m=分由2“>0得无解： 则当1>1时， -2t 可得21>2 ,或p(2)<0, △=42+4(t-1=0 可得1>1： 则当0<1<1时， 可得 2>2 -2t ,或p2)>0, △=4t2+4t-1)=0 可得无解： (ii)若(t-1)m2-21m-1=0(t<0)在m∈(0,2)上有唯一零点， -2t 0< <2 可得 -2(t-1） ,或p0)p2)<0, △=412+4t-1）=0 8/55 百强名校 木) 解得t1-5 2 综上所述，实数t的取值范围(1，+∞)U -1-5 2 【点睛】关键点点睛：第三问关键点是由y=1og,2-2)得出>0， t<0 <1,令m=2(m>2或 x>1'或/ 0<m<2),然后转化为t-1)m2-2tm-1=0(t>0在m∈(2，+0上有唯一零点，或 (1-1m2-2m-1=0(t<0在m∈(0,2)上有唯一零点。 7.(24-25高一上·湖南长郡十八校·)已知函数f(x)= [-x2+2x,x20 关于x的方程 -ln(x+),x<0 f2(x)-2af(x)+a-1=0(aeR)有四个相异的实数根，则a的取值范围是 【答案】(-0,0)U1,+0) 【分析】分析函数f(x)的性质并作出图象，令f(x)=t,把问题转化为方程t2-2at+a-1=0有两个不等实根， 再确定根所取值情况，结合一元二次方程根的分布求解。 【详解】函数f(x)的定义域为(-l,+oo),当x<0时，函数f(x)=-l(c+1)在(-1,0)上单调递减， 当x≥0时，函数f(x)=-x2+2x在[0,1]上单调递增，在[L,+∞)上单调递减， 在坐标系内作出函数∫(x)的图象， 令f(x)=1,方程f(x)-2af(x)+a-1=0(aeR)有四个相异的实数根， 则方程g(t)=t2-2at+a-1=0有两个不等实根4,42(，<12)， 函数y=f(x)的图象与直线y=,y=12的图象一共有4个交点， 9/55 百强名校 想末列 由图象知， 68-51 5<0 由550 g(0)=a-1<0 0<5<1'得 0=-a>0，解得a<0: 由=0 g(0)=a-1=0 61·得 80=-a=0，无解； [0<1<1 g(0)=a-1>0 (>1，得 由 80)=-a<0,解得a>1, 所以a的取值范围是(-o0,0)U(L,+∞) 故答案为：(-∞，0)UL,+o) 8.(23-24高一上·福建龙岩·期末)美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描 述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 P )三士5P>0.a>1k<O的形式，已知f)+5(xeN)描述的是一种植物的高度随着时间3 (单位：年)变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物 的高度超过2.8米，至少需要()年. A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C f(0)=1 【分析】由题设有 f(1=1.5' 即可求参数b、k的值，进而判断∫(x)的单调性且(4)<2.8<f(5),即可判 断植物的高度超过2.8m至少需要多少年 3 f(0)=1 b=1 【详解】依题意可得 /0=15”则1+2=1 ，解得 3 1+2+6=1.5 k=-1 3 .f(x)= 1+2+, 因为y=1+2在定义域0，+∞)上单调递减，且1+21>0，又y=3在(0，+0)上单调递减， 所以在0+o)上单调递路，而八5球骨28：4之28， 即f4)<2.8<f(5), 10/55