精品解析：山东省济宁市邹城市实验中学2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题

高一数学试题 2026年1月 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-3页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 设函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 函数的图象与直线有2个不同交点 8. 正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 10. 已知函数，且，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 11. 已知函数，则（ ） A. 图象关于轴对称 B. 是的一个周期 C. 在单调递减 D. 图象恒在轴的上方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则是________.（从“奇函数”或“偶函数”中选一个填到空中） 13. 函数的值域是__________． 14. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2）若，求的值. 16. 已知全集，集合，集合，集合. （1）求集合； （2）求集合. 17. 按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量为万吨. （1）求的解析式； （2）按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在万吨以内？（参考数据，） 18. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数. （1）若，求和的解析式； （2）若函数为周期函数，为其一个周期，，判断并证明函数的奇偶性. 19. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 2026年1月 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-3页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题. 【详解】命题“ ”的否定为“”， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合和，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】，， 则，即为. 故选：. 3. 如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案. 【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点 而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但 所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性及诱导公式、特殊三角函数值比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，所以， ， 函数在上单调递减， 所以，所以. 故选：D. 5. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质即可求解. 【详解】由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为： 故选：C. 6. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式即可判断. 【详解】依题意，因为点在角终边上，所以，；所以与终边相同的角是. 故选：C. 7. 设函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 函数的图象与直线有2个不同交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数的性质，均值不等式，以及含指数方程的解法，一一判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，， 故，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C选项，函数与函数在上都是单调增函数，所以在上单调递增，故C正确； 对于D选项，令，解得，，因此函数与直线有2个不同交点，故D正确. 故选：A. 8. 正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解. 【详解】由已知可得，可得， 因为，则， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式求解即可判断；对B，根据“乘1”法和基本不等式，即可判断；对C，通过消元得，再利用二次函数的单调性即可求解；对D，根据条件得，利用二次函数的单调性先求出的范围，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，当且仅当时取等号， 又，所以，故A正确； 对于B，因为，且，则， 当且仅当，即时取等号，此时不满足， 所以，故B错误； 对于C，因为，则， ，当且仅当时取等号，又，所以，故C错误； 对于D，因为，则， 又由，，得到， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，且，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A根据对数有意义的条件可得；选项B根据偶函数的定义可得；选项C根据复合函数的单调性判断可得；选项D因单调性不确定，故不确定最值情况. 【详解】函数，且， 解得， 故函数的定义域为， 又， 为偶函数. ， 不知道还是，故不能判断的单调性和最值情况， 综上，AB正确，CD错误. 故选：AB 11. 已知函数，则（ ） A. 图象关于轴对称 B. 是的一个周期 C. 在单调递减 D. 图象恒在轴的上方 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A，计算即可判断B，利用特殊值判断C，根据正弦函数的性质及诱导公式判断D. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为偶函数，则图象关于轴对称，故A正确； 因为， 所以是的一个周期，故B正确； 因为， ， 又，所以，所以且在定义域上连续， 所以在不可能单调递减，故C错误； 因为， 当时，且， 又因为， 所以，即， 由在上单调递增，所以， 所以； 当时，且， 又因为， 所以，即， 由在上单调递增，所以， 所以； 综上可得：对，恒成立，即图象恒在轴的上方，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则是________.（从“奇函数”或“偶函数”中选一个填到空中） 【答案】偶函数 【解析】 【分析】设（是常数），根据条件求得，再由奇偶函数的定义，即可求解. 【详解】设（是常数），由题得，解得，所以， 易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 故答案为：偶函数. 13. 函数的值域是__________． 【答案】[0，] 【解析】 【分析】根据根式的意义结合三角函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】解：∵﹣1≤cosx≤1，要使函数有意义则sin（cosx）≥0，则0≤cosx≤1， 此时0≤sin（cosx）≤sin1， 则0， 即函数的值域为[0，]， 故答案为[0，]． 【点睛】本题主要考查复合函数的值域的问题，利用三角函数的有界性是解决本题的关键． 14. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数运算性质和对数运算性质计算即可； （2）运用同角三角函数的基本关系及诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为， 所以 16. 已知全集，集合，集合，集合. （1）求集合； （2）求集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的性质可得集合，进而可得集合，再利用交集的定义运算即得； （2）利用指数函数的性质可得，再利用补集的概念及并集的定义即得. 【小问1详解】 ∵， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵, ∴， ∴，又， ∴或， ∴. 17. 按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量为万吨. （1）求的解析式； （2）按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在万吨以内？（参考数据，） 【答案】（1）； （2）年. 【解析】 【分析】（1）先求出年化学需氧量排放总量，然后利用指数的运算即可求解； （2）由题意，得不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，年化学需氧量排放总量为， 根据题意，可得，解得， 又每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，所以，即， 所以， 即的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，即，即， 又，所以， 所以年后第年，即年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在万吨以内. 18. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数. （1）若，求和的解析式； （2）若函数为周期函数，为其一个周期，，判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1） （2） 由函数的定义域为为偶函数，为奇函数， 可得， 联立方程组，解得， 则 ， 因为函数为周期函数，为其一个周期，可得， 所以， 又由 ， 所以函数的奇函数. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到和，联立方程组，即可求解； （2）由题意得到，进而得到为偶函数，为奇函数，再结合函数奇偶性的定义，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，函数的定义域为为偶函数，为奇函数， 因为，即， 可得，即， 联立方程组， 解得. 【小问2详解】 略 19. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. （3）或 【解析】 【分析】（1）先将问题转化为在上恒成立，分离参数后得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可； （2）根据复合函数的单调性，设，，分类讨论求解即可； （3）设函数在上的“不动点”为m，则，令，，则，将函数在上仅有一个“不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点；设函数在上的“次不动点”为n，则，令，，则，将函数在上仅有一个“次不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 令，则为上的增函数，且 设 当时，函数在上单调递增， 又为增函数，由复合函数单调性，在上单增; 当时，在上单减，在上单增， 又为增函数， 由复合函数单调性，在单减，在单调递增. 综上，当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 设函数在上的“不动点”为m，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单减，上单增， 因当时，，，， 所以若与的图象在上仅有一个交点，则或， 又由（1）知，，所以或 设函数在上的“次不动点”为n，则， 即，，所以， 即， 令，，则，则，， 任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，所以在上单增， 因为与的图象在上仅有一个交点，且 所以，又因为，故 综上，若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，a的取值范围为或 【点睛】思路点睛:本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $