精品解析：四川省巴中市南江中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

南江中学高2027届高二（上）1月月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､座号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据：的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 4. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 6. 已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 三棱锥中，点为平面内的一点，且，则 C. 已知，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 11. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当平面时，点的轨迹长度为 D. 过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，且，则_____. 13. 抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是__________. 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随即抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人，求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 16. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 17. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 18. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. （1）证明：； （2）求PC与平面PAD所成角的正弦值； （3）求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江中学高2027届高二（上）1月月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､座号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的知识可直接选出答案. 【详解】抛物线的准线方程为 故选：C 3. 样本数据：的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求解方法求解即可. 【详解】将样本数据从小到大排列：10,11,13,14,16,17,18,22,32,36. 样本容量，. 因为是整数，所以第70百分位数为第项和第项数据的平均值， 所以第70百分位数为. 故选：C. 4. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可求得结果. 【详解】结合题意与表格中的数据可知，该城市一年空气质量达到优或良的概率为. 故选：D. 5. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可. 【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆， 所以，解得， 故选：C. 6. 已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的基本定理，表示，，然后结合数量积，直接求解即可. 【详解】由题知，，， 所以 . 故选：B 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 若直线被圆截得的弦长为2， 则，整理得，即， 又，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：C. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 三棱锥中，点为平面内的一点，且，则 C. 已知，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量共线的充要条件即可判断；对于B，根据空间向量共面的充要条件判断；对于C，利用投影向量的定义计算判断；对于D，根据空间的基底概念即可判断. 【详解】对于A，由可得，解得，故A正确； 对于B，点为平面内的一点，且， 由共面向量基本定理，可得，即，故B正确； 对于C，因， 则在上的投影向量为，故C正确； 对于D，是空间的一组基底，而， 即是共面向量， 故不是空间的一组基底，即D错误. 故选：ABC. 10. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D. 【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为； 设，的中点， 则到准线的距离为，， 所以以为直径的圆与准线相切，故A正确； 过点作垂直于准线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 由得， 所以，， 所以，故C错误； 假设点的坐标为，则， 由直线与抛物线交于两点得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 即，点在直线上， 由得，，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当平面时，点的轨迹长度为 D. 过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，求得所成角的最大值与最小值，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，求得的法向量和，结合向量的距离公式和体积公式，可判定B错误；求得平面的法向量为，根据，求得点的轨迹是直线，结合两点间距离公式，可判定C正确；根据球的截面的性质，结合距离公式，可判定D错误. 【详解】对于A，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 当M运动到点或A点时，异面直线与所成角最小， 当M运动到线段中点时，异面直线与所成角最大，所以A正确； 对于B，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，连接， 设，则， 由，可得， 因为，所以，解得，所以， 在正方体中，由， 可得是等边三角形，所以，可得， 又由，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设点到平面的距离为，可得， 所以三棱锥的体积为，所以B错误； 对于C，连接，因为正方体的棱长为， 可得，设 因为分别是棱的中点，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，故， 因为平面，所以，可得， 整理得，即， 则点的轨迹是直线，在面内， 又由，当时，，可得； 当时，，可得， 所以轨迹是点和点构成的线段， 由两点间距离公式得， 即此时点的轨迹长度为，所以C正确； 对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心，如图所示，把球心记为， 连接，由外接球性质得，外接球半径为， 由两点间距离公式得， 又由球的截面的性质，可得截面一定是圆，且设圆的半径为， 由勾股定理得，所以截面面积为， 即截面面积的最小值为，所以D错误. 故选：AC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件可求出的值. 【详解】因为直线，，且， 所以，解得. 故答案为：. 13. 抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义，由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】由题意设，， 抛物线准线方程为， 由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可得：， 即，代入抛物线方程可得， 所以， 故的坐标是， 故答案为： 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【答案】 【解析】 【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中， 化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, ∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，① 在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②， 在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③， ， 由柯西不等式得（1+）（）≥（）2 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随即抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人，求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 【答案】（1），人. （2）. 【解析】 【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由分层抽样的等比例性质求出5名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【小问1详解】 由直方图知：，可得， ∴500名志愿者中年龄在的人数为人. 【小问2详解】 由, 故5名志愿者有2名来自第2组，令两人分别为、, 3名来自第4组，令三人分别为、、， 则有、、、、、、、、、共十种基本可能， 其中有、、、四种符合要求， ∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 【答案】（1）顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程 （2） 【解析】 【分析】（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值. 【小问1详解】 由题意得， 可得，，， 故顶点坐标为，，焦点坐标，， 离心率为，渐近线为； 【小问2详解】 设，则， 点Q在第一象限，，且，， ， 解得， ． 17. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）圆心在直线和线段的中垂线上，求出即可得解； （2）根据圆心到切线的距离等于半径求切线方程. 【小问1详解】 因为点， 所以线段的中点为， 所以的中垂线方程为． 联立得，故圆的圆心为点， 又圆的半径， 所以所求圆的方程为． 【小问2详解】 由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点． ①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意； ②若的斜率存在，设的方程为，即， 因为与圆相切，所以，解得， 此时，的方程为． 综上，的方程为或． 18. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. （1）证明：； （2）求PC与平面PAD所成角的正弦值； （3）求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：，， 又沿AE翻折至，，即. 平面，平面， 平面. 又平面，. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由，得到平面即可求证； （2）连接ED，过D作于F，分别以EC，EA，EP为轴轴轴建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量法求解即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接ED，过D作于 ， 又四边形为等腰梯形，且， 又，. 又且 ，即. 又，，平面，平面 平面. 以E为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系 ，，， ，，. 设平面PAD的法向量为 则，即 令，则，，. 设与平面所成角为 则 与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为 则，即 令，则，，. 由（2）知平面的法向量为 . 平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）（i）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可； （ii）法一：根据三角形面积之间的关系，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可； 法二：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式、一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为的周长等于8， 所以， 由椭圆的定义可知：， 所以， 由题意可得椭圆焦点在轴上， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 法二： 点到直线的距离 所以 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $