精品解析：吉林省长春市2026届高三质量监测（一）数学试题

2026年长春市高三毕业班质量监测（一） 数学 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义及利用数轴求两集合的交集可得. 【详解】因为集合，，如图： 所以. 故选：B. 2. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积坐标运算等于0可得方程，解出即可. 【详解】因为 ， 所以， 解得：. 故选：D 3. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得. 【详解】， 所以复数的虚部是1. 故选：B 4. 记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的前项和公式,可以解出,进而求出. 【详解】由等比数列的前项和公式, 所以解得或. 因为,所以，所以. 故选:B. 5. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦的和角公式展开已知条件，再通过平方关系结合二倍角公式求解. 【详解】依题意得：， 化简得：， 所以， 因为，， 代入得：， 解得：. 故选：C. 6 已知，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 如图，在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可. 【详解】解：，又因，， ∴， ∴，，， 故选：A. 8. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 用替换，则， 即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】A利用公式计算；B求出的范围，结合正弦型函数性质判断；C根据 判断；D利用变换得出函数解析式，代入判断. 【详解】对于A，最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 令，则， 因为在区间上单调递增，正弦函数在区间上单调递增， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，由可知， 函数的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位得到， 因为，所以不是奇函数，故D错误. 故选：AC 10. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B. 平面平面 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若点在上，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，易得，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断C的真假；设，则可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，由此即可求出的最小值，可判断D的真假. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 对于A选项：,,，， 所以， 所以与不垂直，A错误； 对于B选项：,， 所以 所以， 又，平面,平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，B正确； 对于C选项：易知，所以， 所以点的轨迹为点为圆心，1为半径的圆， 所以点的轨迹长度为，C正确； 对于D选项：设，则 可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，如图所示， 所以， 所以的最小值为，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【解析】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 13. 若函数，且恒成立，则实数____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出代入，分与分别求出参数的取值范围，则可写出答案. 【详解】因为， 所以， 所以恒成立等价于恒成立， 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 综上所述：. 故答案为：. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，， 即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，右焦点.. （1）求椭圆的标准方程； （2）过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得和，进而得，再利用弦长公式求弦长. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案 【小问1详解】 因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 17. 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式求数列的通项公式，进而得到，再利用求数列的通项公式. （2）利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消求和法求. 【小问1详解】 由题意：，， 又数列为等差数列，设数列的公差为， 由. 所以. 所以. 当时，， 当时，. 时，上式也成立. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，，，…，. 以上各式相乘，可得当时，， 又，所以，， 所以. 18. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件证明，利用线面平行判定定理证明结论. （2）（ⅰ）分别取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角、线线角的向量法求解；（ⅱ）利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 在直棱柱中，令，则是中点， 由，得是中点，而点为的中点，则， 即，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 （ⅰ）分别取的中点，则，又平面， 所以平面，由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令，则， ，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，令，得， ，令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而，因此， 所以异面直线与所成的角为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，则， ，而平面的法向量， 因此，而， 所以. 19. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若，使恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，由导数几何意义和直线点斜式即可得解； （2）设，即在上恒成立，利用导数分、、三种情况分析即可； （3）利用放缩公式，代入，累加即可计算求解. 【小问1详解】 ，所以且， 则在处的切线方程为； 【小问2详解】 即 . 设，则， 令，则且，. （i）当，时，显然中的，，则恒成立. （ii），时，，则单调递增. ，则在上单调递增，，所以恒成立. （iii）当，时，，则单调递增， ，又，则存在唯一的， 使得，且当时，，单调递减，此时不满足恒成立条件， 综上所述，； 【小问3详解】 证明：由（2）得，即， 取，，所以，即， 当时，； 当时，； 当时，； …… 当时，. 累加可得，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长春市高三毕业班质量监测（一） 数学 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数的虚部是（ ） A B. 1 C. D. 4. 记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 8 B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，若，则（ ） A B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 10. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 11. 已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B 平面平面 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若点在上，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过，，三点圆的方程为____________. 13. 若函数，且恒成立，则实数____________. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，右焦点.. （1）求椭圆的标准方程； （2）过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 17. 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 18. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若，使恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $