精品解析：吉林省吉林市第九中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度上学期吉林市第九中学期末考试 初二数学试卷 一、单选题（共18分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1数，熟练掌握表示方法是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于各因式分别乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减；熟记运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项不正确； C．，故本选项不正确； D．，故本选项不正确． 故选：A． 4. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 5. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 6. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 直线l C. 点C，D关于直线l对称 D. 点A，B关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，等腰三角形的性质．根据作法得：，平分，再根据等腰三角形的性质可得直线l，且平分直线l，即可． 【详解】解：根据作法得：，平分，故A选项正确，不符合题意； ∴直线l，且平分直线l，故B选项正确，不符合题意； ∴点A，B关于直线对称，故D选项正确，不符合题意； 根据作法无法得到点C，D关于直线l对称，故C选项错误，符合题意； 故选：C 二、填空题（共15分） 7. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 8. 已知，则的值为__________． 【答案】﹣5 【解析】 【分析】等式左边根据多项式的乘法法则计算，合并后对比两边系数即得答案． 【详解】解：∵，， ∴，∴m=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题关键． 9. 当________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 10. 已知，，则代数式的值等于__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，首先把代数式整理可得：原式，再把，代入整理后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式， ． 故答案为： ． 11. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ， 周长， 故答案为：7． 三、解答题（共87分） 12. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 【详解】解： ． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，即可求解． 【详解】解： 14. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 16. 如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，准确分析作图是解题的关键． 根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为所作图形： 17. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为_____________； （2）若，，求的值； 【答案】（1） 12 （2） 4 【解析】 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 18. 已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 20. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． （1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】（1）每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； 【小问2详解】 降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 21. 第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）①②利用分组分解法进行因式分解即可． （3）将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）① ； 故答案为： ② ； 故答案为： （3）这个三角形为等边三角形．理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴且 ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 22. 如图，是边长为等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． （1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． （2）当与的一条边垂直时，求的值． （3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】（1）；； （2）或或； （3）6cm． 【解析】 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 小问1详解】 解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时， 图1 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期吉林市第九中学期末考试 初二数学试卷 一、单选题（共18分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 直线l C. 点C，D关于直线l对称 D. 点A，B关于直线对称 二、填空题（共15分） 7. 因式分解：_____________． 8. 已知，则的值为__________． 9. 当________时，分式的值为0． 10. 已知，，则代数式的值等于__________． 11. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 三、解答题（共87分） 12. 计算： 13 计算：． 14 解分式方程：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 17. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为_____________； （2）若，，求的值； 18. 已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 20. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． （1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 21. 第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 22. 如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． （1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． （2）当与的一条边垂直时，求的值． （3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $