精品解析：吉林省吉林市第五中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学

初二期末质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把两根钢条中点连在一心，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若分式值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点，两点关于y轴对称，则______． 8. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，数据0.00003用科学记数法表示为______． 9. 分解因式：x2－9＝______． 10. 如图，将等边三角形的边向两边延长，使，则的度数为______． 11. 如图，三角形中，为，上的两点，若，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 解方程：． 14. 如图，点是线段上一点，，，．求证：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形． 17. 为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购买甲种奖品与用200元购买乙种奖品的数量相同．求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，作一个，使是轴对称图形； （2）在图②中，作一个，使与成轴对称； （3）在图③中，作中边上的高． 19. 如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． （1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） （2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 20. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求最小值． 解：原式 ． ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若一个完全平方式，则值为_____． （2）因式分解：． （3）求的最小值． （4）用配方法因式分解： 21. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 22. 如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）求边上的高； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （4）在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二期末质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念及判别．根据轴对称图形的概念，判断每个选项是否为轴对称图形即可． 【详解】解：A项：图标是一个灯泡形状，可以看到它左右两边是对称的，如果沿着中间的竖直直线折叠，两边可以完全重合，因此它是轴对称图形，故符合题意； B项：图标是一个插头形状，显然没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意； C项：图标是一个温度计形状，同样没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意； D项：图标是一个水龙头滴水形状，也没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；直接应用幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 3. 如图，把两根钢条的中点连在一心，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于O，证即可解决． 【详解】解：连接，交于O， 在与中 （米） 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用以及全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中求证三角形全等是解题的关键． 4. 若分式值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．本题考查的是分式的值为0的条件，若分式的值为0，需同时具备两个条件：分子为0且分母不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握这一性质是关键；由此性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线的定义，平行线的性质，由等边对等角可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点，两点关于y轴对称，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵若点，两点关于y轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，熟知关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 8. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，数据0.00003用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为，其中，为整数．对于小于1的数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数，由此问题可求解． 【详解】解：数据0.00003用科学记数法表示为， 故答案为． 9. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 10. 如图，将等边三角形的边向两边延长，使，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由等边三角形的性质可得，，结合题意可得，，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 如图，三角形中，为，上两点，若，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得，，再代入，可得答案．解题的关键是掌握：三角形的内角和为． 【详解】解：在中，， 中，， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可根据乘法公式及单项式乘以多项式进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 13. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据分式方程的解法进行求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 经检验：当时，则， ∴原方程的解为． 14. 如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质定理．熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键．首先由得到，然后即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， 又∵， ∴． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值．先计算括号里的减法，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可求，可求解． 【详解】证明：，点D是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17. 为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购买甲种奖品与用200元购买乙种奖品的数量相同．求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件． 【答案】甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设甲种奖品的单价为x元每件，则乙种奖品的单价为元每件，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设甲种奖品的单价为x元每件，则乙种奖品的单价为元每件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，作一个，使是轴对称图形； （2）在图②中，作一个，使与成轴对称； （3）在图③中，作中边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，画三角形的高，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质和网格特点作图即可； （2）根据轴对称的性质和网格特点作图即可； （3）根据网格特点，取格点，连接并延长，交于，点即为所作． 【小问1详解】 解：如图：即为所作， ； 【小问2详解】 解：如图：即为所作， ； 【小问3详解】 解：如图：根据网格特点，取格点，连接并延长，交于，点即为所作 ． 19. 如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． （1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） （2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】（1） （2）15500元 【解析】 【分析】本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 即种植蔬菜的面积为． 【小问2详解】 解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 20. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ． ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，则值为_____． （2）因式分解：． （3）求的最小值． （4）用配方法因式分解： 【答案】（1） （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及完全平方式的性质，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式，灵活运用配方法进行变形． （1）根据完全平方式的结构特征，确定中间项与首尾两项的关系，从而求出a的值． （2）通过配方法将式子凑成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解． （3）用配方法将二次函数式转化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性求出最小值． （4）通过配凑完全平方式，再结合平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 因为是完全平方式， 所以，即， 解得． 故答案为：； 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 ， 的最小值是2； 【小问4详解】 ； 21. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用： （1）大正方形的面积用两种方法表示出来，即可得出答案； （2）根据完全平方公式变形得出，再求出面积即可； （3）四边形的面积为，再求解即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为：， 大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：， 所以； 小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 【小问3详解】 解： ∵， ∴四边形的面积为． 22. 如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）求边上的高； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （4）在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点PB、C之间，即时，， ∴， 综上所述：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ①当时，得，解得：； ②当时，得，解得：； 即的值是或； 【小问4详解】 解：①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接： 则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接： 则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $