河北省枣强中学2025-2026学年高三上学期期末考试一（1月）数学试题

2025一2026学年高三第一学期期未一考试数学试卷 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后.请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知i是虚数单位，复数：满足：·i=(1+i)一1，则： A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 2.若集合A=Ir-3x+2<0),B=(-12).则AUB= A（-2.2) B.(-2,1) C.(12) D.(-1,2) 3.已知a∈R,设函数(x)=ax-lnx的图象在点(1，∫(1)处的切线为l,则l在y轴上 的截距为 A-1 B.a-1 C.a D.1 4.已知∫(r)是定义在R上的偶函数，且在[0，十∞)上单调递减，若∫（一4）=0，则不等式 (x-2)∫（工）<0的解集是 A(-4.4) B.(-4.2)U(4.-) C.(-4.0)U(.+) D.(-∞，-4)U4.+) 5.已知FF:分别是桶圆C:亏+苦=1的左右焦点，位于第一象限的点P在C上延长 FP到Q,作∠F:PQ的平分线交x轴于R,过F:作F,S⊥PR于S,O为坐标原点，则 OS= A.2 B.5 C.3 D.5 6.(y(2:+y)的展开武中了y的系数为 A.-60 B.-80 C.100 D.120 7.已知平面向量AB、AC、AD,AB=AC=2,1AB+AC1=2,△BCD的面积为45， 则|AD|的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 败学试题第1页（共4页）】 8.对于函数∫(x),记了(x)为∫(x)的导函数，当x>0时，(x)>了(x).锐角△ABC中， 角A.B.C的对边分别为a,bc,且6cosC+cosB>sC+cosA.设=号： 出合=合则 sin A A.> B.)<x c e' C)-=x) D.)=x:< e el: c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知双曲线C的两个焦点分别为F,(一22.0)，F:(22,0),且满足条件p,可以解得 双曲线C的方程为x2一y=4,则条件p可以是 八.实轴长为4 B.双曲线C为等轴双曲线 C商心率为号 D.渐近线方程为y=± 10.若函数(x)=sin2x的图象为曲线C,则 AC关于点D(-0)对称 B.将C沿着x轴向右平移工得到的曲线C:关于y轴对称 C.将C上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线C,:g(x)=sinx D.C与直线x=一开、直线y=1围成的封闭图形面积为号 11.将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为a.(i=1,2.…,7),以下 正确的是 A.若a,=7,a1十a,十a1<a:十a.十a;.则这样的数列共有360个 B.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C.若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个 D.若a1<a2<aa>a>as,a,<au<a;,则这样的数列共有71个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若A(5,0),函数∫(x)=log(x+1)+1(a>0.a≠1)的图象始终经过点B,O为坐标 原点，则∠BAO= 13.已知经过点A(0,4)的直线1与曲线C:x=一√4一)y(y≠士2)有两个不同的公共点， 则！的斜率的取值范围是 14.已知一个有盖的正三棱柱容器底面边长为3,5，要将两个半径为1的实心球放入该容 器中，则该正三俊柱容器的高至少为 数学试题第2页（共↓页）】 C扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在等差数列{a.中，已知a1=2、公差为1，在数列(b.}中，设前n项和为T., T.=31-3 2 (1)求数列4.和，b.1的通项公式： -十b.n为奇数， (2)设c.=u0 求数列lc.}的前2n项和R. b.n为偶数， 16.(本小题满分15分) 在直角形ABCD中，AD⊥AB、DC=4,AD=2,AB=6,DF=AE=2.将四边形 AEFD沿EF园折至A'EFD',使得△D'FD为等边三角形 (1)证明：平面A'D'B⊥平面D'FC: (2)求平面BCD'与平面A'EFD'所成角的余弦值. 17.(本小题两分15分) 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、 高血脂等严重体征状况.控制晤眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER,PER分为PERI (导致早起倾向)和PERo(导致晚睡倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验 鼠进行了光阻诱导与GRPE蛋白千预实验.以下是】6只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白 干预实中，出现PERI突变的Sd指标： 实游队的号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd指杨 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0川 实珀鼠恤号 0 10 11 12 13 14 15 16 Sd指标 10.20 9.91 10.J3 10.02 9.22 10.04 10.05 0.95 长期试跑发现，若实強鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严亚 (1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期 里E(X): 勉学试画绍3西（共1页）】 (2)若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白 干预对照组，试依据小概率值。=0.】的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠 体征状况有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 n(ad-bc)i 附：X=(a+b)(c+d)(a+)b+D(其中n=arT(+dD. 18.(本小题满分17分) 若函数f(x)的图象上存在三点A(a,∫(a).B(b,∫(b).M(m,f(m),且a<m<b, 使得直线AB与∫(x)的图象在点M处的切线平行，则称m为∫(x)在区同[a,b]上的“中 值点” (1)若函数f(x)=x2+3x+2在区间[a,b]上的中值点为m,证明：a十b=2m: (2)已知函数g(x)=2xlnx-x+lx,存在b>a>0,使得g(a)=g(b). (丨)求实数t的取值范围； (1)当1=k(k∈N·)时，记g(x)在区间[a,b]上所有可能的中值点之和为S:,证明： 5+s+…+s.>r+号 19.(本小题满分17分) 设抛物线E:y=2px(p>0)的焦点为F.A为E上位于第一象限的一点，当AF⊥x 轴时，AF|=2. (1)求E的方程： (2)设B,C为E上不与A重合的两动点，且直設AB.AC的斜宰之和为0. (1)设A的纵坐标为：，求直线BC的斜率： (‖)设△ABC外接圆的圆心为M,圆M在点A处的切线为l,证明：l与E有且仅有 一个公共点. 数学试题射1页（共↓页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App2025一2026学年高三第一学期期末一考试数学试卷 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢVM①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 复数四则运算 易 0.95 2 选择题 5 集合并集运算 易 0.92 3 选择题 5 函数与导数 易 0.87 选择题 5 函数性质 易 0.85 选择题 椭圆综合 易 0.80 6 选择题 5 项式展开式 中 0.70 7 选择题 5 平面向量与解三角形 中 0.65 8 选择题 5 导数与解三角形 0.50 9 选择题 6 双曲线综合 易 0.85 10 选择题 6 三角函数图象 分 0.65 11 选择题 6 排列组合 中 0.50 12 填空题 对数函数定点问题 L 易 0.85 13 填空题 5 直线与圆 中 0.76 14 填空题 5 立体几何 √ 中 0.50 15 解答题 13 等差数列与等比数列 易 0.85 16 解答题 15 空间向量与立体几何 易 0.80 17 解答题 15 独立性检验 0.75 18 解答题 17 函数与导数 中 0.60 19 解答题 17 抛物线综合 难 0.45 ·1 参考答案及解析 ·高三数学· 参考答案及解析 高三数学 一、选择题 5.C【解析】设C的长半轴长为a,延长FzS交PQ于 1.C【解析】由题意，得x·i=2i-1,所以x=2 T,由已知得，FzP=TP,S为F2T的中点，所以OS= 2+i.故选C. 之RT=宁(RP+Pm)=a=8故选C 2.D【解析】A={x|x2-3x十2<0}=(1,2)，所以 4 0 AUB=(-1,2).故选D. 3 3.D【解析】因为f(x)=ax-lnx,所以f(x)=a 子所以了1)=a-1,汉f1)=a-1n1=a,所以 -2-1012 345R6 函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1，f(1))处的 以 切线l为y一a=(a-1)(x-1),整理得：y=(a-1)x 6.A 【解析】若受一y中选取受，则在(2x十y)的展 十1，故l在y轴上的截距为1，故选D. 开式中选取含x2y3的项，即C号(2x)2y3=40x2y,二 4.B【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在 者相乘得20xy;若号-y中选取-y,则在 [0,十∞)上单调递减，所以f(4)=f(-4)=0, (2x十y)的展开式中选取含xy2的项，即 f(x)在(-∞，0]上单调递增.所以当0≤x<4时， C号(2x)y2=80x3y2,二者相乘得-80x3y2,故 f(x)>0;当x>4时，f(x)<0;当-4<x≤0时， f(x)>0:当x<-4时，f(x)<0.不等式(x-2)· (号-y)(2x十y)的展开式中xy的系数为20 x-2>0 80=-60.故选A. f(|x|)<0可变形为 或 f(1x|)<0 7.C【解析】如图，作平行四边形ABEC,设AE,BC的 x-2<0 (x-2>0 交点为F,点D到直线BC的距离为d, ,① 解得x>4: f(|x|)>0f(|x|)<0 x-2<0 ② 解得一4<x<2,综上，不等式 f(|x|)>0 (x-2)f(|x)<0的解集为(-4,2)U (4,十∞).故选B. 因|AB+AC1=|A正1=2，|AB=|AC=2,则四 ·1 ·高三数学· 参考答案及解析 边形ABEC为菱形，且|BC|=2√3，因△BCD的面 b2=c2=8,可解得a2=b2=4,符合题意；对于C选 积为4尽，则号×2尽d=4尽，得d=4,则点D在与 项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选 项，若渐近线方程为y=士x,则a=b,结合a十b= 直线BC平行的直线上，且两直线之间的距离为4，则 c2=8,可解得a2=b=4,符合题意.故选ABD. |AD|的最小值为4-|AF|=3.故选C. &.C【解折】令g()=巴，则g()= 10.ABD【解析】A.因为f(-变)=0，所以关于点 f(x)二fx),当x>0时，g(x)<0,g(x)单调 D(-受，0)对称，所以A正确；B.将C沿着x轴向 e 递减.又因为在△ABC中，由余弦定理，bcos C十 右平移于得到的曲线C:y=sin[2(x-平)]，即 cosB=6.+bC十c.+-=a,同理可 得到C2:y=-cos2x,为偶函数，所以B正确；C.将 2ab 2ac C上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线 得：acos C+ccos A=b,故由bcos C+ccos B>acos C C3:y=sin[2(2x)],即得到曲线C3:y=sin4x,所以 十ccos A可得：a>b,又由正弦边角关系得x1=x2, C错误；D.由曲线C关于坐标原点对称得，曲线C 则g(x)=g(x2).接着比较x2与x的大小，即比 较nA与BB的大小，令h()=n, 与直线x=一于，直线y=1围成的封闭图形面积为 x (0,5),k'(x)= xcos x-sin x-x-tan x 由四条直线1=一平，x=牙y=1,y=-1围成的 x 矩形面积的一半，所以D正确.故选ABD. cosx.令m(x)=x-tanx,x∈(0，受)，m(x) 11.AD【解析】对于A:由于1+2十3+4+5+6=21 eos<0,则m(x)单调递减，m(x)<m(0) 1 1- 为奇数，根据对称性可知这样的数列有号·A·A术 0,则h'(x)<0,h(x)在(0，乏)上单调递减，又A> =360个，故A正确；对于B:若所有的奇数不相邻， 所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、 B,故h(A)<h(B),则x2<x,所以g(x)> 奇，偶、奇、偶、奇”，则有A·A=144个，故B错 g(x3).故选C. 误；对于C:从2,3,4,5,6,7中选出1个数排在1的 二、选择题 右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有 S.ABD【解析】设该双曲线标准方程为后一茶-1 C个：从2,3,4,5,6,7中选出2个数排在1的右侧， (a>0,b>0),则c=2√2.对于A选项，若实轴长为 其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C个： 4,则a=2,∴b2=c2-a2=4,符合题意；对于B选项， 从2,3,4,5,6,7中选出3个数排在1的右侧，其余 若该双曲线为等轴双曲线，则a=b,又c=2√2，a十： 排在1的左侧，得到先减后增的数列有C个：从2， 2· 参考答案及解析 ·高三数学· 3,4,5,6,7中选出4个数排在1的右侧，其余排在1 的左侧，得到先减后增的数列有C个；从2,3,4,5， 6,7中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左 侧，得到先减后增的数列有C个；故满足条件的总 个数为：C+C+C+C+C=62个，故C错误：对 -2 于D:若a5=1则这样的数列有CC=45个，若 14.3【解析】易知，两个小球不能同时与该正三棱柱 a=2则这样的数列有C号C=20个，若a5=3则这 的同一底面相切.假设小球O与平面ABBA1、平 样的数列有C?=6个，所以满足条件的这样的数列 面BCCB、平面ABC三个平面相切，小球O2与 共有45十20十6=71个，故D正确.故选AD. 平面ACCA,,平面BCCB:、平面ABC三个平面相 三、填空题 切.过O,作OD垂直于平面A1BC,过O作OD 12. 【解析】令x十1=1，则x=0,f(x)=1,所以 垂直于OD,垂足为D.如图1所示，在Rt△BEO 中，∠EBO=30°，O1E=1,故BE=√3，所以OO2= B(0,1),因为A(3,0),所以AO=√3，所以 BC2√3=√5，即图2中OD的长度，因为图2中， 1an∠BA0=,所以∠BA0=吾.故答案为君 OO2=2,所以O2D=√OO房-0D=√4-3=1， 13.「√，十oo)【解析】因为x=-√4-y 所以(BB)m=2r十1=3，即该正三棱柱容器的高 (x2+y=4, 至少为3故答案为3. (y≠士2)台 ,所以曲线C:x= x<0 一/4-y2(y≠士2)是圆：x2十y2=4的左半圆 (不含y轴上的点)，过A(0,4)作C的切线与x轴 交于D,设切点为B,联结OB,则AB⊥OB,因为 图1 OA=4,0B=2,所以∠BA0=否，∠AD0=号，所 以切线AD的斜率为√3，由于直线l与曲线C有两 个不同的公共点，所以【斜率的取值区间是 014D × B1 (√5，十o∞).故答案为(5，十∞). 图2 四、解答题 15.解：(1)设数列{am}的公差为d,则an=a1十 (n-1)d=n+1, (3分) ·3· ·高三数学· 参考答案及解析 在数列6.}中，因为T,=3,3,所以6=3.3 2 2 =3, (4分) 当≥2时6，=工.-T1=33_3”,3=3, 2 2 (6分) 则E(2,0,0),F(0,0,0),D'(0,-1,√3)，C(0,2, n=1时也满足，所以b=3 (7分) 0),B(2,4,0), (2) 1 (-1) 2（amam+2 (8分) anan+2 则F2=(2,0,0),F市=(0，-1W3),CD= 一十bn,n为奇数， (0,-35),C3=(2,2,0), (8分) 因为cn anan+ 设平面A'EFD的法向量为m=(x,y,之)， b,n为偶数 FE·m=0 2x=0 所以R=是[（日-）+（日-）+…十 ,即 ,令之=1，x=0, F市.m=0 -y十√3x=0 (]+ (10分) y=3, =专（日）+3- n (10分) 2 2十 故可取m=(0,N3,1), 4(n+1) 设平面BCD的法向量为n=(x,y,), 2 (13分) CB.n=0 2x+2y=0 16.解：(1)在平面图形中，由直角梯形ABCD,又DF∥ 则 ,即〈 ,令y=1,x= CD.n=0 -3y+√5z=0 AE,DF=AE,故四边形AEFD为平行四边形，易得 -1,2=5, EF⊥DF,EF⊥FC, 故可取n=（-1,1,√3)， (12分) 所以EF⊥D'F,又FC∩DF=F,所以EF⊥平面 D'FC, (2分) 所以cos(m,n)|= m·mL=2E=压，14分) mn 25 又AD∥EF,即A'D'∥EF, (3分) 所以平面A'EFD'与平面BCD'的所成角的余弦值 所以A'D'⊥平面DFC, (4分) 又A'D'C平面A'D'B,所以平面A'D'B⊥平面 为因 5 (15分) D'FC. (6分) 17.解：(1)由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况 (2)由(1)可知，以F为坐标原点，分别以FE,FC为 严重。 x,y轴，垂直于平面BCFE为x轴，建立如图所示空 X的可能取值有0,1,2,3， (1分) 间直角坐标系， (7分) PX=o)=品pX=I-e=号 C1.20 ·4 参考答案及解析 ·高三数学· P(X=2)= C-P(X=3)=g- CC_27 又f(m)=2m十3， (3分) C161 所以a十b+3=2m+3,即a十b=2. (4分) (5分) (2)(i)g'(x)=21lnx-2x+2+t, 所以X的分布列为 设h(x)=g(x),则(x)=2-2=212, 0 3 x x 1 2 P 品 27 x>0, 20 8 品 当0<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x>1 (6分) 时，h'(x)<0,h(x)单调递减. 所以数学期望E(X)=0× 、9 +1×20 2× 27 20 +3 80 故h(x)mx=h(1)=t,且当x→0时，h(x)→-∞， 121 当x→十o∞时，h(x)→-o, (6分) ×6-16 (7分) 若t≤0，则恒有h(x)≤0，所以g(x)在 (2)由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表： (0,十∞)上单调递减，不符合题意； (7分) GRPE 非GRPE 合计 若t>0,则h(x)在(0,1)和(1，十∞)上分别存在 蛋白干预 蛋白干预 2 5 一个零点，记为x,x2, 体征状况严重 7 体征状况不严重 6 3 9 当0<x<x1时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调 合计 8 8 16 递减， (9分) 当x1<x<x2时，h(x)>0,即g(x)>0,g(x)单 零假设H。:实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没 调递增，当x>时，h(x)<0,即g'(x)<0, 有关系 (11分) g(x)单调递减， 利用列联表中的数据得，x=16(3X3-5×6)2 故存在b>a>0,满足g(a)=g(b). 8×8X7×9 所以t的取值范围是(0，十∞). (9分) 9≈2.286<2.706=1， (13分) (iⅱ)因为g(a)=g(b),所以中值点m满足 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据 g'(m)=8b）g(a=0, (10分) b-a 推断H。不成立， 由(i)知当t∈N时，h(x)即g'(x)有两个零点 因此可认为H。成立，即认为实验鼠体征状况与 x1,x2, GRPE蛋白干预无关， (15分) 所以g(x)在区间[a,b]上所有可能的中值点即 18.解：1)由题意知fb)二f()=f(m).1分) b-a x1,x2, (11分) 因为fb)-fa)--a+3(b-a)=a+b叶3， t b-a b-a 先证明4十x>2+2: ·高三数学· 参考答案及解析 由h(x1)=h(x2)=0,得x-lnx=x2-lnx2= 点r(号o)小 1+ 因为A为E上位于第一象限的一点，且AF⊥x,所 要证十x>2+名，即证>2+专-x=1 以A(名2小， (2分) In z1. (12分) 将点A代入抛物线的方程，可得p=4,解得p=2 设g(x)=2[h(1-nx)-h(x)门 或p=一2（舍去）， 所以抛物线E的方程为y2=4x, (4分) =ln(1-lnx)+x-1, (2)(i)设A(a2,2a),则t=2a,B(6,2b),C(c2,2c), 1 则g'(x)=1-x1-nx) 不妨设B在C的左侧， 设u(x)=x(1-lnx),当0<x<1时，(x)= 根据题意，可得kB=2(a一D二2 a一Ba十6，同理可得 -In >>0, 2,kx=b十C 2 所以u(x)在(0,1)上单调递增，所以0<u(x)< kAC= (7分) a十c w(1)=1, 因为直线AB,AC的斜率之和为O,所以kB十kc 1 所以当0<x<1时，9(x)=1x1-in<0,所 =0, 以9(x)在(0,1)上单调递减. 即kAB十kc= a千6十a千c=0,整理得6什c=-2a, 2 2 所以当0<x<1时，g(x)>p(1)=0,即h(x)< 所以kx=干c 2 2a--2 2 (10分) h (1-In x). 因为0<x1<1,所以h(x1)<h(1-lnx),即 h(z2)<h(1-In ) D 又x2>1,1-lnx1>1,再结合h(x)在(1，十∞)上 单调递减， 可得>1-血，从而十>2十合 (ⅱ)设1为抛物线在点A处的切线，要证明l即为 (15分) ',即1与圆M相切， 令1=k(∈N),得S>2+冬， 由函数y=,可得y=是，所以k= a 所以S十s++S>2m++号+…+ (12分) =2a+2-子r+号公 (17分) 要证'与圆M相切，取'上点A左侧一点D, 4 结合圆的弦切角定理的逆定理，即证∠DAB 19.解：(1)由抛物线E:y2=2px(p>0),可得焦 ·6· 参考答案及解析 ·高三数学· =∠ACB, 由(i)知b+c=-2a,即证2a2+2ab=-2ac-2a2, 只需证tan∠DAB=tan∠ACB, 即证2a(a十b十c+a)=0,即2a(b+c+2a)=0, 21 22 成立， 即证 _a十ba b十cc十a 2，即证 所以'即为圆M的切线，所以直线（与圆E有且只 有一个公共点. (17分) a-b 2(a-b) a2+ab+2(b+c)(c+a)+4' 即证2a+2ab十4=(b+c)(c+a)+4, (14分) ·7