精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题

莱州一中2025级高一第二次质量检测数学试题 命题人：杨付凯 审核人：刘新杰 迟晓丽 答题时间：2026、1、5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 则，所以. 故选：C. 2. 已知函数且，则函数恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数过定点求解. 【详解】令，解得，， 所以函数恒过定点， 故选：D 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项. 【详解】在上递增， ， ，所以的零点在区间. 故选：A 4. 函数（）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在上的解析式即可求解. 【详解】由()知定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数，根据图象的对称性排除D, 又时，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的奇偶性，同角三角函数的基本关系，正弦函数的图象，属于中档题. 5. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的知识确定三者的大小关系. 【详解】∵，，， ∴的大小关系是． 故选：C 6. 玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可得解． 【详解】如图，设，， 由弧长公式可得， 解得，， 设扇形，扇形的面积分别为，， 则该壁画的扇面面积约为． 故选：A 7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将，；，代入函数关系可得，则可求出时的函数值. 【详解】由题可知当时，；当时，， ，解得， 则当时，. 故选：C. 8. 已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于 A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是 ， ∴或，∴的最小值等于，选B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C. 若是第三象限角，则是第二象限角 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出角的集合表示判断A；求出旋转角的弧度数判断B；举例说明判断C；分析两个集合判断D. 【详解】对于A，当时，角终边为射线，该角的集合为， 当时，角终边为射线，该角的集合为， 所以所求角的集合为，A正确； 对于B，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，B正确； 对于C，取，满足是第三象限角，而是第四象限角，C错误； 对于D，， 是整数，是整数，而是奇数，因此，D正确. 故选：ABD 10. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】 直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的对称性判断的结论． 【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误； 对于：已知函数且在上是减函数， 所以，解得，故正确． 对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故正确； 对于：由于，则，则，同理， 所以，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可； 11. 已知函数，下列叙述正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上有4个零点 D. 的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】由偶函数的定义判断A；当时，化简得，由三角函数的性质判断B；求出函数在上零点个数，判断C；求出函数在上的最大值，可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 又， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，因为函数是偶函数，且， 故只需研究函数在上的零点个数即可， 当时，， 令，得， 所以函数在上只有一个零点， 同理函数在上也只有一个零点， 所以函数在上有3个零点，故C错误； 对于D，因为当时， ， 此时函数的最大值为2， 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以当时，函数的最大值为2， 综上，函数的最大值为2，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0，分式的分母不能等于0，求解函数的定义域. 【详解】由题意得：，解得：且， 故答案为：． 13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为，由解出，即可求大正方形与小正方形的面积之比. 【详解】如图所示， 设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为， 由，两边同时平方得，， 所以， 则图中的大正方形与小正方形的面积之比为. 故答案为：5 14. 设函数，若且，则当取得最小值时__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的特征结合基本不等式计算求参即可. 【详解】因为函数， 又因为且，则, 所以， 所以, 则， 则当取得最小值时,所以, 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2）已知，计算 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数运算法则计算； （2）弦化切代入计算． 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 ， 16. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解； （2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数的诱导公式即可得解； （3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 17. 设，函数． （1）当时，求在上的最小值和最大值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数在给定区间上的单调性求值； （2）利用换元法，将方程有两个不相等的实数根，转化成一元二次方程有两个不相等的正实数根，由判别式和韦达定理结合求解. 【小问1详解】 ． 设，则 因为，所以． 因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 又，. 所以 【小问2详解】 由（1）知，就是，其中. 则方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 解得． 故的取值范围是. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值； （2）求函数在上的单调增区间； （3）若，求值域. 【答案】（1），，时，的最大值为2；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）直接利用周期公式得到，再计算最值得到答案. （2）令，再计算交集得到答案. （3）得，得到值域. 【详解】（1），当， 即，时，的最大值为2. （2）令，得，， 设，，，所以， 即函数在上的单调增区间为. （3）由得， 根据正弦函数图象可知，所以. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，值域，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19. 已知函数，. （1）求证：为奇函数； （2）解关于的不等式； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数，即， 可得，解得或， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，则为奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案； （2）设，根据在上的单调性可得答案； （3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式，即为式， 设，即，可得在上单调递减， 所以由，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意，则，解得， 所以恒成立，即恒成立， 化为，即对恒成立 由， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱州一中2025级高一第二次质量检测数学试题 命题人：杨付凯 审核人：刘新杰 迟晓丽 答题时间：2026、1、5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数且，则函数恒过定点（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数（）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于 A. B. C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C. 若是第三象限角，则是第二象限角 D. 若，则 10. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为1 11. 已知函数，下列叙述正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上有4个零点 D. 的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是___________. 13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________． 14. 设函数，若且，则当取得最小值时__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2）已知，计算 16. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 17. 设，函数． （1）当时，求在上的最小值和最大值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值； （2）求函数在上的单调增区间； （3）若，求值域. 19. 已知函数，. （1）求证：为奇函数； （2）解关于的不等式； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $