精品解析：吉林省长春市二道区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

八年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.101001 3. 下列运算中，结果正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，8，12 C. 6，8，10 D. 6，7，8 6. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 7. 如图，在中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线．点P是上任意一点，于点D，点Q是边上任意一点，连接．若，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从一个边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算甲、乙两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：______3．（填“”“”或“”） 10. 因式分解：______． 11. 命题“同位角相等”是______（填“真”或“假”）命题． 12. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 13. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 14. 如图，四边形沿直线l对折后重合，如果，则下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考方法解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）计算：． 18. 如图，，平分，求证：． 19. 图①、图②、图③中网格均是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段．可以用如下方法构造线段的中点．如图①，在网格上取格点C、D，使得，且，连结交于点E．点E即为线段的中点．理由如下： ∵，∴，． 在和中， ∵，，， ∴，∴．（数学理由）， 即点E是线段的中点． （1）填写材料中的数学理由：____________； （2）请你在图②中利用点C的位置和上述方法找到线段的中点M； （3）请你在图③中找到线段的中点M． 20. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子的高度．（注：1丈=10尺） 21. 现对某校八年级学生数学考试成绩进行统计，抽取八年级某个班级同学的数学成绩（成绩取整数）绘制如图所示的频数分布直方图（图中每组的起点值属于本组，每组的终点值属于下一组，最后一组中包含100分）．完成下列问题： （1）组数是______，组距是______分； （2）求该班级学生的人数； （3）求该班成绩优良（分数不低于80分）的学生占多少百分比？（结果精确到） 22. 【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 23. 通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题， 例如：已知，，求的值． 解：∵，，∴，．∴． 即：． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）如图，正方形和正方形的边长分别为a、，，． ①用含a、b的代数式表示：______； ②求图中阴影部分图形的面积和． 24. 如图，在等腰中，，，于点D．动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，连接，点P不与点D、点A和点B重合．设动点P运动时间为t秒（）． （1）求线段的长度； （2）当点P在边上运动且时，求的长度； （3）当的面积是面积的时，求t的值； （4）当是等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解题关键．根据平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴ 4的平方根是， 故选：D． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.101001 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如． 根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、是无限不循环小数，是无理数，选项正确； B、是分数，是有理数，选项错误； C、，是整数，是有理数，选项错误； D、0.101001有限小数，是有理数，选项错误； 故选：A． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确， 故选：D． 4. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，且两底角相等， ∴两底角之和， ∴每个底角为． ∴一个底角的度数为． 故选：B． 5. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，8，12 C. 6，8，10 D. 6，7，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．验证各选项是否满足此条件即可． 【详解】解：A、，，，不能组成直角三角形，选项错误； B、，，，不能组成直角三角形，选项错误； C、，，，能组成直角三角形，选项正确； D、，，，不能组成直角三角形，选项错误； 故选：C． 6. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 7. 如图，在中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线．点P是上任意一点，于点D，点Q是边上任意一点，连接．若，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作法得是的平分线，由垂线段最短，得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解； 本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得是的平分线，由垂线段最短，得时，的值最小， 又， 故， 故， 故选：B． 8. 如图，从一个边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算甲、乙两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何证明，即通过图形的剪切与重组验证等式的正确性。解题的关键在于理解如何将一个大正方形中间挖去一个小正方形后剩余部分的面积转换成四个相同的等腰梯形并重新拼接成一个新的平行四边形．先表示出图甲的阴影部分面积，再表示出乙图平行四边形的面积，二者相等即可. 【详解】解：图甲阴影部分的面积是：， 图乙四个等腰梯形拼成的平行四边形，底边是，高是，面积为， ， 故答案为：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：______3．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题关键．通过比较平方值的大小来判断算术平方根的大小即可． 【详解】解：∵，，且11 > 9， ∴． 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．通过提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 命题“同位角相等”是______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：同位角不一定相等，只有两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题； 故答案为：假． 12. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 【答案】67 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形两锐角互余．根据题意得出，，进而利用定理得出，进而得出答案． 【详解】解：∵两个滑梯的长度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：67． 13. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 14. 如图，四边形沿直线l对折后重合，如果，则下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：四边形沿直线l对折后重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故④正确； ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， 故①②都正确；③错误， 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根，绝对值，有理数的混合运算解答即可． 本题考查了立方根，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握定义，运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键．先利用完全平方公式，整式的乘法，整式的加减，进行化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 17. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，，平分，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理和性质、以及角平分线的定义，由三角形全等的判定定理可知，再由三角形全等的性质得即可． 【详解】证明：平分， ， 在和中 ， ， ． 19. 图①、图②、图③中的网格均是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段．可以用如下方法构造线段的中点．如图①，在网格上取格点C、D，使得，且，连结交于点E．点E即为线段的中点．理由如下： ∵，∴，． 在和中， ∵，，， ∴，∴．（数学理由）， 即点E是线段的中点． （1）填写材料中的数学理由：____________； （2）请你在图②中利用点C的位置和上述方法找到线段的中点M； （3）请你在图③中找到线段的中点M． 【答案】（1）全等三角形的对应边相等 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）利用平行四边形的对角线互相平分，构造平行四边形解答即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分，构造平行四边形解答即可． 【小问1详解】 解：根据全等三角形的性质，得全等三角形的对应边相等； 故答案为：全等三角形的对应边相等； 【小问2详解】 解：如图，构造， 得到四边形是平行四边形， 连接交于点M， 则， 则点M即为所求． 【小问3详解】 解：如图，构造， 得到四边形是平行四边形， 连接交于点M， 则， 则点M即为所求． 20. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子的高度．（注：1丈=10尺） 【答案】4.55尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，通过设未知数，利用直角三角形的勾股定理建立方程，求解折断后竹子的高度． 【详解】解：设折断后竹子的高度为x尺，则长为尺． 在中， ∵， ∴， 即：， 解得：， 即折断后竹子AB的高度为4.55尺． 21. 现对某校八年级学生数学考试成绩进行统计，抽取八年级某个班级同学的数学成绩（成绩取整数）绘制如图所示的频数分布直方图（图中每组的起点值属于本组，每组的终点值属于下一组，最后一组中包含100分）．完成下列问题： （1）组数是______，组距是______分； （2）求该班级学生的人数； （3）求该班成绩优良（分数不低于80分）的学生占多少百分比？（结果精确到） 【答案】（1）4；10 （2）38人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图的统计应用题，正确理解统计图表是解题的关键． （1）先看直方图横轴上的成绩分组，数一数共有几个柱子，就是组数；再用任意一组的上限减去下限（如），得到组距； （2）先从纵轴读出每个分数段对应的频数（即每个柱子的高度），然后把所有频数加起来，就是班级总人数； （3）先确定“不低于80分”包括哪几个组（ 和 ），再把这两组的频数相加，得到优良人数；接着用优良人数除以总人数，再乘以，最后按要求四舍五入到整数百分比． 【小问1详解】 解：分组区间为：， 共有4组，所以组数， 每组的宽度：如，所以组距分， 故答案为：4，10； 【小问2详解】 解：各组频数：频数为2，频数为8，频数为16，频数为12， 总人数：人， 故答案为：该班共有38名学生； 【小问3详解】 解：不低于80分，即分，对应两组：：16人，：人， 合计优良人数：（人）， 所占百分比为， 答：该班成绩优良的学生占． 22. 【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 【答案】【特例研究】，；【特例研究】见解析；【拓展研究】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全等三角形： 【特例研究】证明，得到，，推出为等腰直角三角形，得到，作答即可； 【深入探究】证明，得到，，推出为等腰三角形，得到，作答即可； 【拓展研究】在上截取，连接，证明，得到，，推出，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果． 【详解】【特例研究】解：在边上截取，连接， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【深入探究】如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【拓展研究】在上截取， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 23. 通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题， 例如：已知，，求的值． 解：∵，，∴，．∴． 即：． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）如图，正方形和正方形的边长分别为a、，，． ①用含a、b的代数式表示：______； ②求图中阴影部分图形的面积和． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，理解题意是解题的关键． （1）仿照题目的解题思路即可求解； （2）①根据割补法以及三角形的面积公式表示出即可； ②通过对完全平方公式变形，结合，，求出，再根据阴影部分图形的面积和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，． ∴． 即：． 【小问2详解】 解：① ， 故答案为：； ②∵，． ∴，， ∴． 即：， 阴影部分图形的面积和 ， ． 24. 如图，在等腰中，，，于点D．动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，连接，点P不与点D、点A和点B重合．设动点P运动时间为t秒（）． （1）求线段长度； （2）当点P在边上运动且时，求的长度； （3）当的面积是面积的时，求t的值； （4）当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，勾股定理解答即可； （2）利用三角形面积不同表示建立等式解答即可； （3）先计算面积的，再分类计算的面积，建立等式解答即可； （4）分类解答即可． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，本题是动点问题，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，于点D，， ∴． 在中，， ． 【小问2详解】 解：当点P在边AB上运动且时， ∵， ∴， ∴． 即当点P在边上运动且时，的长度为． 【小问3详解】 解：． 当时，根据题意可得， 解得：． 当时，根据题意可得， 解得：． 【小问4详解】 解：当点P在上时， 根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，结合垂线段最短原理，得到 ， 此时只有时，是等腰三角形， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， 故， 解得； 当点P在上时， 此时只有时，是等腰三角形， 过点C作于点E， 根据题意，得，，， 根据勾股定理，得， 故， 故； 故； 故， 综上所述，当t等于或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $