第16章 二次根式（单元自测卷）八年级数学新教材沪科版

第16章 二次根式 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．的平方根是 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 6．（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（2025·安徽淮南·二模）计算： ． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 16．（8分）（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，求的值． 17．（8分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 18．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）物体在做自由落体运动时，下落时间t（单位：）和下落高度h（单位：）之间满足关系式，其中g取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由下落，需要多长时间到达地面? (2)小明认为，小球从高空自由下落需要的时间是从高空下落所需时间的2倍，你认同小明的想法吗?请说明理由． 19．（10分）（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 20．（10分）（24-25八年级下·安徽合肥·月考）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 21．（12分）（2025·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 22．（12分）（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）阅读材料：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，与 ，与 等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ；． 解答下列问题： (1)填空： ； ； (2)应用：计算 的值； (3)拓广：计算 的值． 23．（14分）（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、不是二次根式，故此选项不符合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算和性质．二次根式的运算需注意：加减法需合并同类二次根式，乘法为根号内相乘，除法常需分母有理化． 根据二次根式的加减乘除法则逐一判断各选项是否正确． 【详解】A、∵不是同类二次根式的加法不能直接合并，， ∴A错误； B、∵， ∴B错误； C、∵， ∴C正确； D、∵，而，两者不相等， ∴D错误． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的概念和性质，自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数非负列不等式是解题的关键．根据被开方数非负，列不等式求解即可． 【详解】解：由 ，得 ． 故选 B． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根，根据二次根式的性质以及平方根的意义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若，则，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，故原说法错误，不符合题意； C、，故原说法正确，符合题意； D、，故的平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键； 【详解】解：，， ∴小丽和小红负责的式子出现了错误； 故选：B 6．（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求出的范围，对原式进行化简是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得的值． 【详解】解：， ， 则原式可化简为：， 即：， ， ； 故选：C 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键． ，然后根据与2的大小关系分两种情况讨论：当 时，计算 值并求和；当 时， 为常数，直接计算总和．最后将两部分总和相加． 【详解】解：∵ ， 分两种情况： 1．当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； 2．当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式四则运算，熟练掌握利用分母有理化进行化简是关键． 根据分母有理化将a化简，再计算，，的值，，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴， ∴． 故选：D． 10．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（2025·安徽淮南·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先计算的化简结果和的值，然后相减． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算，理解程序并转化为数学问题是解决问题的关键．先把代入代数式，判断计算结果与的大小，直到计算结果大于再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，，当时， 当， ∴输出结果为． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 【答案】（为整数，且） 【分析】本题考查了二次根式有关的规律题，观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴第的式子为（为整数，且）， 故答案为：（为整数，且）． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解已知条件中的定义，并熟练掌握完全平方公式． （1）按照已知条件中的方法求出答案即可； （2）把所求代数式先提取公因式x，再把x的值代入分解后的式子，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和二次根式的运算． （1）式子是两个数的和与这两个数的差的乘积形式，应用平方差公式展开，计算即可求解； （2）将被除数拆分成三个项，分别除以，转化成三个简单的二次根式的除法运算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 16．（8分）（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴ ． 17．（8分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 18．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）物体在做自由落体运动时，下落时间t（单位：）和下落高度h（单位：）之间满足关系式，其中g取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由下落，需要多长时间到达地面? (2)小明认为，小球从高空自由下落需要的时间是从高空下落所需时间的2倍，你认同小明的想法吗?请说明理由． 【答案】(1) (2)不认同小明的想法，理由见解 【分析】本题考查了求函数或自变量的值，以及二次根式的运算，正确计算是解答本题的关键． （1）把代入计算即可； （2）把代入求出t的值，再除以（1）中结果即可； 【详解】（1）解：将，代入，得； ∴小球从高空自由下落，需要到达地面． （2）解：不认同小明的想法，理由如下： 将，代入，得； ， 即小球从高空自由下落需要的时间是从高空下落所需时间的倍，不是倍， ∴不认同小明的想法； 19．（10分）（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)以x，y，z为边能构成三角形，三角形的周长为 【分析】本题考查二次根式的实际应用，非负性，熟练掌握非负性，是解题的关键： （1）根据非负性求出x，y，z的值即可； （2）根据三角形的三边关系进行判断，利用周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴以x，y，z为边能构成三角形， ∴三角形的周长为：． 20．（10分）（24-25八年级下·安徽合肥·月考）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 21．（12分）（2025·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 22．（12分）（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）阅读材料：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，与 ，与 等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ；． 解答下列问题： (1)填空： ； ； (2)应用：计算 的值； (3)拓广：计算 的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式分母有理化． （1）仿照题意分母有理化即可； （2）仿照题意分母有理化，再计算即可； （3）仿照题意分母有理化，再计算即可； 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）解： （3）解： ． 23．（14分）（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式 单元自测卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B C B C D B D B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．/ 12．/ 13．（为整数，且） 14． 4 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和二次根式的运算． （1）式子是两个数的和与这两个数的差的乘积形式，应用平方差公式展开，计算即可求解； （2）将被除数拆分成三个项，分别除以，转化成三个简单的二次根式的除法运算即可求解． 【详解】（1）解： ·····································4分 （2） ·····································8分 16．（8分） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，······························2分 ，·····································4分 ∴ ．·····································8分 17．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得．·····································3分 （2）解：由，得， ，．·····································5分 原式 ．·····································8分 18．（8分） 【答案】(1) (2)不认同小明的想法，理由见解 【分析】本题考查了求函数或自变量的值，以及二次根式的运算，正确计算是解答本题的关键． （1）把代入计算即可； （2）把代入求出t的值，再除以（1）中结果即可； 【详解】（1）解：将，代入，得； ∴小球从高空自由下落，需要到达地面．·····································3分 （2）解：不认同小明的想法，理由如下： 将，代入，得； ，·····································5分 即小球从高空自由下落需要的时间是从高空下落所需时间的倍，不是倍， ∴不认同小明的想法；·····································8分 19．（10分） 【答案】(1)， (2)以x，y，z为边能构成三角形，三角形的周长为 【分析】本题考查二次根式的实际应用，非负性，熟练掌握非负性，是解题的关键： （1）根据非负性求出x，y，z的值即可； （2）根据三角形的三边关系进行判断，利用周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴；·····································3分 （2）∵， ∴以x，y，z为边能构成三角形，·····································6分 ∴三角形的周长为：．·····································10分 20．（10分） 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为．·····································4分 （2）解：不正确，理由如下：·····································5分 ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴．·····································7分 将的值代入公式中，得： ∴，  ·····································9分 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确．·····································10分 21．（12分） 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）；·····································2分 （2）根据以上等式的规律可得，；·····································4分 （3）① ；·····································8分 ② ．·····································12分 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 22．（12分） 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式分母有理化． （1）仿照题意分母有理化即可； （2）仿照题意分母有理化，再计算即可； （3）仿照题意分母有理化，再计算即可； 【详解】（1）解：；； 故答案为：；；·····································4分 （2）解： ·····································8分 （3）解： ．·····································12分 23．（14分） 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；；·····································2分 （2）解：∵， 故答案为：；·····································4分 （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或；·····································8分 （4）解：∵ ，·····································12分 ∴．·························14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $