第02讲 二次根式的运算（5个知识点+16个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第02讲 二次根式的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 【即时训练】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 知识点2 ：最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 4．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式，根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母”，进行判断即可． 【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 知识点3 ：二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【即时训练】 5．（23-24八年级下·安徽合肥·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 知识点4 ：二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【即时训练】 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘法公式、二次根式的除法法则和二次根式的性质计算，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 8．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，先利用平方差公式去括号，然后化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 知识点5 ：分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【即时训练】 9．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）分母有理化： ； 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽黄山·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【题型1 二次根式的乘法】 例1．计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘法运算法则计算，然后再运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 例2．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式即可解答． 【详解】 ． 【点睛】此题考查完全平方公式，二次根式的乘法运算，解题关键在于掌握运算法则． 变式3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型2 二次根式的除法】 例1．计算： ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握是解题关键． 根据二次根式的除法运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 例2． ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则，根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 变式1．计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将和化简为最简二次根式，然后进行减法运算，最后除以即可得到结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 先将除法化成乘法，再运用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 变式3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】 ． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 例1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 例2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算． 根据二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变计算，再把结果化为最简二次根式． 【详解】解： ． 变式1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可． 【详解】解： ． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．先计算乘法，再算除法即可． 【详解】解：根据题意得：， 变式3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先利用二次根式的性质化简二次根式，再计算乘除法即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4 最简二次根式】 例1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； B、的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； C、7是质数，无平方因数，所以，是最简二次根式，故此选项符合题意； D、, 可化简，所以，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 例2．若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 变式1．已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式2．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 变式3．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型5 同类二次根式】 例1．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 例2．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方程求解． 根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程：， 解得：， 验证：当时，，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意． 故选：B． 变式1．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，先将化简，再令其被开方数与的被开方数相等，建立方程求解． 【详解】解：， 被开方数为， 是最简二次根式与是同类二次根式， 可得：， 解得：． 故答案为：． 变式2．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【答案】5 【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴当时，，符合最简二次根式的定义． 故答案为5． 变式3．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1)不是； (2)不是； (3)不是； (4)是． 【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （3）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （4）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴和不是同类二次根式； （2）解：∵； ∴和不是同类二次根式； （3）解：∵； ∴和不是同类二次根式； （4）解：∵，， ∴和是同类二次根式． 【题型6 二次根式的加减运算】 例1．计算． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算； （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，算术平方根，二次根式的性质，零指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算立方根，化简绝对值，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． （2）先运算乘方，化简绝对值，零指数幂，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ＝﹣1 ． 变式3．计算 (1)； (2)， (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合计算，涉及完全平方公式和分母有理化等初中数学知识． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）先化简分子，再约分即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1） （2）， （3） （4）． 【题型7 二次根式的混合运算】 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，算术平方根，化简绝对值，乘方运算，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，算术平方根，立方根，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 例2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)10 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算绝对值，有理数乘方，算术平方根，再计算加减； （2）先化简二次根式，再计算加减； （3）先计算括号内二次根式的加法，再计算乘除； （4）先计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据乘法公式计算，再计算加减即可； （2）先计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算根式、零次幂、负整数幂，再计算加减法； （2）先计算二次根式乘法、去绝对值，利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型8 分母有理化】 例1． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 分子和分母同乘以进行分母有理化，消除分母中的根式． 【详解】解： 故答案为：． 例2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分母有理化，通过有理化分母化简即可． 【详解】 故答案为：． 变式1．已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解：； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 变式2．已知，． (1)求的值； (2)已知m为a的整数部分，为b的小数部分．求的值． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理数，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别整理得，，再分别代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，，则，故，即，则，得，即，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 则 ； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， 则， ∴， ∵m为a的整数部分， 即； ∵ ∴， 则， ∴， ∵为b的小数部分， ∴， ∴． 变式3．阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 【题型9 已知字母的值化简求值】 例1．若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 【详解】解：当时 ． 故选C． 例2．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 变式1．当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式化简求值的方法． 根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， 当时，原式， 故选：D． 变式2．已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 变式3．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ① ② ③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知， (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是二次根式的分母有理化、代数式的化简求值以及完全平方公式的应用，解题关键是先对、进行分母有理化，再利用代数式变形计算求解． （1）先对、分别进行分母有理化，再分别计算和的值； （2）将变形为，代入（1）中所求值计算． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型10 已知条件式化简求值】 例1．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 例2．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键． 先计算出，，再将所求代数式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 变式1．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 变式2．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 变式3．小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【答案】(1)10 (2)①5② 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值； ②将式子整理成，再代入，即可求解． 本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为： 【题型11 比较二次根式的大小】 例1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 例2．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 变式1．比较大小： （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 变式2．比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，如果有无理数比较大小时，可以采用平方法、比差法、立方法等．对于第一个比较，利用正负数的大小关系；对于第二个比较，通过平方比较两个正无理数的大小． 【详解】对于第一个空：因为 是负数，而 是正数， ∵负数小于正数， ∴． 对于第二个空：计算平方值，，，由于 ，且两数均为正数，所以 ． 变式3．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【题型12 二次根式的应用】 例1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 例2．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积（海伦公式）．若中，，，，请利用上述公式求出的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答．先求出，，，的值，然后代入化简即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 变式1．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 变式2．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用；将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ∴ = ， ∴ ； ∴的面积为． 变式3．如果忽略空气阻力，一个物体从高度为（米）的地方自由落体，到达地面所需要的时间（秒）由公式给出，其中是重力加速度，近似取． (1)一个物体从高为20米的楼上落下，需要多少时间？ (2)一个物体从某高处掉落，用时秒，求该物体原来所在高度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确地理解题意，弄清各数量关系是解题的关键． （1）依据题意，直接把代入公式即可得到结论； （2）依据题意，直接把代入公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，把代入式， ， ， 答：一个物体从高为 20 米的楼上落下，需要 2 秒． （2）解：由题意，， ， ， ， 答：该物体原来所在高度米． 【拓展题型01 二次根式混合运算综合】 例1．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题方法是关键． （1）根据二次根式混合运算的法则，计算即可解答； （2）根据二次根式的混合运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零次幂，绝对值，二次根式的性质，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简二次根式，零次幂，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 变式3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，立方根、绝对值、平方根和算术平方根的计算，以及完全平方公式和平方差公式的应用； （1）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质化简，再进行加减计算即可求解； （2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【拓展题型02 分母有理化综合】 例1．二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 例2．【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 变式1．阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【答案】(1) (2)①1，；② (3)8 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和整体思想是解题的关键： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）①根据二次根式的运算法则进行计算即可；②整体代入法，列出方程进行求解即可； （3）用换元法进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ； ②∵， ∴， 解得； （3）设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 变式2．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1） （2）2025 （3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴． ∵ ∴原式 ． 变式3．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 【拓展题型03 二次根式的规律计算】 例1．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例2．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键． （1）分子分母同乘即可求解； （2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解； （3）把a化简为，进而可得，原式变形为，再代入即可求值． 【详解】（1）解：； （2）解： … ； （3）解：， ∴, ∴， 即， ． 变式1．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 变式2．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，二次根式的加减运算，分母有理化等知识，得到规律是解题的关键． （1）根据前面3个等式的规律，可写出第4个等式； （2）根据规律即可得出第n个等式； （3）根据规律，利用二次根式的加减计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由前面规律得：； 故答案为：； （3）解： ． 变式3．探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【拓展题型04 二次根式的新定义运算】 例1．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 例2．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 变式1．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 变式2．已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 【详解】（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 变式3．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 1．（25-26八年级下·安徽滁州·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数．据此判断即可． 【详解】解：A．，含能开得尽方的因数16，故不是最简二次根式； B．的被开方数6不含平方因数且无分母，故是最简二次根式； C．的分母中含有根式，故不是最简二次根式； D．的开方数含有分母，故不是最简二次根式， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算正确，符合题意； D、，故原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）估计的值在（    ） A．6.5和7之间 B．7.5和8之间 C．8.5和9之间 D．9.5和10之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先进行二次根式的加减计算，然后再估算出的值的范围即可解答． 【详解】解： 而， ∵， ∴， ∴估计的值在9.5和10之间， 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 5．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）已知，则与最接近的整数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平方差公式可得，结合可得，进而求出，再根据无理数的估算即可得出结论． 【详解】解：， 又∵①， ∴②， 得，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3． 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算，正确计算二次根式的乘法、掌握估算的方法是解题的关键； 先计算二次根式的乘法，再估算得到的结果，即可求出答案. 【详解】解：， ∵，， ∴， ∵（a，b为连续整数）， ∴， 故选：C. 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值, 先根据有理数的性质得到，，再根据二次根式的性质化简得到原式，然后变形得到原式，再利用整体代入的方法计算，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 原式 ． 故选：B． 8．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：， 同理可得， 故选B． 9．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）计算：的结果等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的基本性质．解题的关键在于识别并应用平方差公式，将复杂的乘法表达式简化为两个平方项的差，再利用根号的平方性质进行计算。 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：1． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算．根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可； （2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 【答案】 2025 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化及平方差公式： （1）根据题意得，即可比较； （2）根据题意将原式变形为，再利用平方差公式计算即可 【详解】解：（1）根据题意：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，立方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关运算法则进行求解． （1）根据立方根和二次根式的性质化简，然后计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． （1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解； （2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解． 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 17．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 利用你观察到的规律： (1)化简：①的值；②的值； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①分子分母同乘以，根据二次根式的分母有理化计算即可得； ②分子分母同乘以，根据二次根式的分母有理化计算即可得； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解： ． 18．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）已知，，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）探究学习 【感知特例】兰兰在学习中发现以下等式： ，，，， 【构建模型】兰兰由此猜想得出： 当为非负整数时，______（用含的代数式表示）； 【尝试应用】请你根据兰兰得出的结论，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）计算： ． 【答案】（构建模型）； （尝试应用） （1），； （2）． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、数字的规律探索． 【构建模型】利用提公因式法可得：原式，根据二次根据的性质可得结果为； 【尝试应用】仿照【构建模型】中的计算方法计算即可得到结果； 根据规律把算式中的二次根式化简，可得：原式，从到中共有个偶数，利用加法结合律，可得：原式，每个括号里的和均为，共分了组，从而可得：结果为. 【详解】【构建模型】解：， 为非负整数， ， ， ， ， 故答案为：； 【尝试应用】解：； ； 故答案为：；； 解： . 20．（2025八年级下·安徽·专题练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，按照材料中的解题思路进行计算． （1）因为，所以的有理化因式是，因为，所以的有理化因式是； （2）把的分子、分母同时乘以可得：原式，利用完全平方公式和平方差公式把分子、分母分别展开，再约去分子、分母的公约数即可； （3）把每一项的分子、分母分别乘以分母的有理化因式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是， 故答案为：，； （2） ； （3） ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 【即时训练】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 知识点2 ：最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 知识点3 ：二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【即时训练】 5．（23-24八年级下·安徽合肥·开学考试）计算： ． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 知识点4 ：二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【即时训练】 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 8．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）计算：． 知识点5 ：分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【即时训练】 9．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）分母有理化： ； 10．（24-25八年级上·安徽黄山·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【题型1 二次根式的乘法】 例1．计算． 例2．计算：； 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．计算：． 变式3．计算： ． 【题型2 二次根式的除法】 例1．计算： ． 例2． ． 变式1．计算的结果是 ． 变式2．计算． 变式3．计算： 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 例1．计算：． 例2．计算： 变式1．计算：． 变式2．计算： 变式3．计算： 【题型4 最简二次根式】 例1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 变式1．已知，化简 ． 变式2．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 变式3．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【题型5 同类二次根式】 例1．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 变式2．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 变式3．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【题型6 二次根式的加减运算】 例1．计算． 例2．计算： (1)； (2)． 变式1．计算： (1)； (2)． 变式2．计算： (1)． (2)． 变式3．计算 (1)； (2)， (3) (4)； 【题型7 二次根式的混合运算】 例1．计算： (1)； (2)． 例2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 变式1．计算： (1)； (2) 变式2．计算： (1)； (2)． 变式3．计算： (1)； (2)． 【题型8 分母有理化】 例1． ． 例2．计算的结果是 ． 变式1．已知，，则代数式 ． 变式2．已知，． (1)求的值； (2)已知m为a的整数部分，为b的小数部分．求的值． 变式3．阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【题型9 已知字母的值化简求值】 例1．若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 例2．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 变式1．当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 变式2．已知，求的值 变式3．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ① ② ③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知， (1)求，的值； (2)求的值． 【题型10 已知条件式化简求值】 例1．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 例2．已知，，求代数式的值． 变式1．已知，，求代数式的值． 变式2．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 变式3．小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【题型11 比较二次根式的大小】 例1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．比较大小： （填“”“ ”“”） 变式2．比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 变式3．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【题型12 二次根式的应用】 例1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 例2．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积（海伦公式）．若中，，，，请利用上述公式求出的面积 ． 变式1．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 变式2．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 变式3．如果忽略空气阻力，一个物体从高度为（米）的地方自由落体，到达地面所需要的时间（秒）由公式给出，其中是重力加速度，近似取． (1)一个物体从高为20米的楼上落下，需要多少时间？ (2)一个物体从某高处掉落，用时秒，求该物体原来所在高度． 【拓展题型01 二次根式混合运算综合】 例1．计算 (1) (2) 例2．计算： (1)； (2)． 变式1．计算： (1)； (2)． 变式2．计算： (1) (2) (3) 变式3．计算： (1) (2) 【拓展题型02 分母有理化综合】 例1．二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 例2．【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 变式1．阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 变式2．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 变式3．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【拓展题型03 二次根式的规律计算】 例1．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 例2．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值． (2)求的值． (3)若，求的值． 变式1．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 变式2．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 变式3．探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【拓展题型04 二次根式的新定义运算】 例1．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 例2．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 变式1．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 变式2．已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 变式3．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 1．（25-26八年级下·安徽滁州·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）估计的值在（    ） A．6.5和7之间 B．7.5和8之间 C．8.5和9之间 D．9.5和10之间 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）已知，则与最接近的整数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 9．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）计算：的结果等于 ． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 11．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 14．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 15．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1)． (2)． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 17．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 利用你观察到的规律： (1)化简：①的值；②的值； (2)计算：． 18．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）已知，，求的值． 19．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）探究学习 【感知特例】兰兰在学习中发现以下等式： ，，，， 【构建模型】兰兰由此猜想得出： 当为非负整数时，______（用含的代数式表示）； 【尝试应用】请你根据兰兰得出的结论，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）计算： ． 20．（2025八年级下·安徽·专题练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $