16.1 第1课时 二次根式的概念-【木牍中考】2025-2026学年八年级下册数学同步教学优质课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦“二次根式的概念”，系统讲解二次根式的定义、有意义的条件及双重非负性。课堂导入通过“登高望远”的实际问题引出含根号的式子，结合平方根与算术平方根的回顾作为学习支架，引导学生从具体实例中归纳二次根式的共同特征，构建新旧知识的逻辑联系。 其亮点在于以问题驱动和变式训练贯穿教学，通过生活情境（如登高可见距离）培养学生用数学眼光观察现实世界，借助多项式配方分析被开方数（如-(x-1)²的非负性讨论）发展数学思维，利用非负性解决等腰三角形周长问题体现数学语言的应用。习题分层设计且小结系统，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

16.1 二次根式及其性质 第一课时 二次根式的概念 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 8年级下册 学习目标及重难点 1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 前 言 登高可以望远. 已知观察者观察高度（单位：m）与可见水平距离 （单位：km）之间存在近似关系.观察者从 观察高度为 m的山腰登上观察高度为 m的山顶， 此时的可见水平距离是原来的多少倍？ 导入新课 登高可以望远. 已知观察者观察高度（单位：m）与可见水平距离（单位：km）之间存在近似关系.观察者从观察高度为 m的山腰登上观察高度为 m的山顶，此时的可见水平距离是原来的多少倍？ 你能将这个式子化简吗？ 化简这个式子需要二次根式的有关知识，本章我们将学习二次根式的概念、性质和运算等. 导入新课 2 0 -25 平方根 算术平方根 问题1：计算下列各数的平方根和算术平方根，并据此回忆平方根与算术平方根的相关知识. 探索1：二次根式的概念及有意义的条件 讲授新课 2 0 -25 平方根 算术平方根 ± ± 无意义 无意义 开方 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根，表示为. 算术平方根：正数的正的平方根，叫作的算术平方根，表示为. 0的平方根和算术平方根都为0；负数没有平方根. 平方 讲授新课 问题2：用带有根号的式子填空. (1)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 （单位：s）与开始落下的高度（单位：m）满足关系 ，如果用含有 的式子表示 ，那么 为_____． (2)如图为圆形花坛，花坛的面积为(单位：m²) ，若用含的式子表示半径，则应该表示为　 m. 讲授新课 一级标题：黑体， 7 思考：(1)这些式子分别表示什么意义？ 上面问题中得到的式子： ， ， (2)这些式子有什么共同特征？ 被开方数均为非负数. 都含有“ ”； 1 2 分别表示 ，，， ， 的算术平方根. 讲授新课 我们把形如 () 的式子叫作二次根式. 符号“”叫作二次根号. 被开方数 二次根号 读作“根号 ” 讲授新课 我们把形如 () 的式子叫作二次根式. 符号“”叫作二次根号. 注意：1.在实数范围内，时， 没有意义，只有当时, 才有意义. 2. 可以是数，也可以是式. 3.两个必备特征 ① 外貌特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数(式) 讲授新课 例1：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ （1） （2）6 （3） （4） （5） (异号) （6） （7） 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中属于“非负数+正数”的形式一定大于零.（2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 分析 形如 讲授新课 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意: 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如 是二次根式.像+1（）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 讲授新课 例2：实数为何值时，下列式子有意义？ （1） （2） 解 :(1)要使 有意义，则， 解这个不等式，得 所以当 时， 有意义. (2)因为 为任何实数都有 ， 所以当 为一切实数时， 有意义. 讲授新课 例3：实数为何值时，下列式子有意义？ （1） （2 （3） 解 :(1)要使 + 有意义，则 ， 解这个不等式组，得 所以当 时， + 有意义. 讲授新课 例3：实数为何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3） 解 :(2)要使 有意义，则 ， 解这个不等式，得 所以当 时， 有意义. 讲授新课 例3：实数为何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3） 解 :(3)要使 有意义，则 ， 解这个不等式组，得 且 所以当 且 时， 有意义. 讲授新课 解：(1)无论 为何实数， 当 时， 在实数范围内有意义. (2)无论 为何实数， 无论 为何实数， 在实数范围内都无意义. 归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 变式：当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2) 讲授新课 (1)单个二次根式如 有意义的条件：； (2)多个二次根式相加如 有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：且 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法: 归纳总结 讲授新课 ，且 随堂小练习 为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4） 讲授新课 探索2：二次根式的双重非负性 思考：二次根式有哪些基本性质？ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1） 为被开方数，为保证其有意义，可知 ； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 讲授新课 例4：若，求的值. 解： 由题意可知 解得 归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 讲授新课 例5：已知,求的算术平方根. 解：由题意得 的算术平方根为， 的算术平方根为． 讲授新课 解：由题意得 当为腰长时，三角形的周长为 当为腰长时，三角形的周长为． 归纳：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得 变式：已知为等腰三角形的两条边长，且满足 ++,求此三角形的周长. 讲授新课 已知和互为相反数，求的平方根． 解：由题意得+=0 且． 解得 ． 的平方根为. 随堂小练习 讲授新课 习题1 2. 式子有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 当 ____时，二次根式 取最小值，其最小值为______． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. C A 0 习题解析 (1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得且 解得且， (2)无论取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围． 解：由题意得， 即. 则，即 习题2 习题解析 习题3 若是实数，且 ,求 的值. 解：根据题意得 . 习题解析 先阅读，后回答问题： 当x为何值时，有意义？ 解：由题意得 由乘法法则得 或 解得 或 即当 或时，有意义. 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 习题4 习题解析 解：由题意得 则 或 解得 或 即当 或 时， 有意义． 习题4 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 习题解析 定义 二次根式 在有意义条件下求字母的取值范围 二次根式 中,且 带有二次根号 被开方数为非负数 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 二次根式的双重非负性 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $