专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦函数与导数核心考点，涵盖恒成立问题、零点问题、极值点偏移等高考重点，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题思维，突破压轴题难点。 资料突出高阶方法与跨模块融合，如极值点偏移采用“双变量归一”策略，隐零点问题结合同构转化，培养数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数综合 3 真题动向 必备知识 知识1利用导数研究函数恒成立问题 知识2利用导数研究函数零点问题 知识3隐零点问题 知识4极值点偏移问题 命题预测 考向1恒成立问题与存在性问题 考向2不等式的证明 考向3数列与不等式的综合 考向4双变量问题 考向5零点问题 考向6同构问题 考向7新定义问题 考向8极值点偏移问题 考向09洛必达法则 考向10导数与三角函数的结合 命题轨迹透视 近三年全国卷导数压轴题定位为区分性试题，平均得分并不高，核心聚焦零点个数判断、不等式证明、含参恒成立与存在性问题。命题突出跨模块融合，常与三角函数、数列等结合，设问分层且逻辑连贯，避免孤立考查单一知识点。 解题需综合运用分类讨论、构造函数、等价转化等思维方法，同时兼顾运算规范与逻辑严谨性，易错点集中在分类不全面、条件转化不彻底。试题既强调导数工具性本质，又注重逻辑推理、数学运算等核心素养的综合检验，凸显“多考思维、少考套路”的命题导向。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 不等式 I卷T19，17分 II卷T22（1），5分 极值、最值 一卷T19（1），4分 II卷T16，15分 II卷T22（2），7分 乙卷（理）T21，12分 恒成立与有解 一卷T19（2,3），13分 I卷T18，17分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 零点问题 二卷T18,17分 2026命题预测 2026年全国卷导数压轴题将延续稳定梯度结构，以解答题（15-17分）为主，分2-3问设计。基础问聚焦单调性、切线方程等常规考点，压轴问仍以零点论证、不等式恒成立为核心，极值点偏移题型大概率持续作为区分点，突出“双变量归一”能力考查。 将强化高阶方法应用，如端点效应、洛必达法则的灵活运用，或融入拉格朗日中值定理的几何转化思维。可能与三角函数、数列跨模块融合，运算量与思维量双高，保持“前松后紧”难度分布。 考点一 导数综合 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，16，15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 2．（2024·全国甲卷·高考真题，20，12分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 3．（2023·全国乙卷·高考真题，21，12分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 4．（2024·全国甲卷·高考真题，21，12分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 5．（2023·全国甲卷·高考真题，21，12分）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 6．（2025·全国二卷·高考真题，18，17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 7．（2025·全国一卷·高考真题，19，17分）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 知识1利用导数研究函数恒成立问题 1．分离参数法：参数系数正负可判断时，分离参数得“参数≤变量表达式最大值”或“参数≥变量表达式最小值”，通过求变量表达式最值求解。 2．直接讨论法：函数结构简单时，求导得极值点，通过因式分解、求根公式等讨论；无法求极值时，用零点存在性定理确定零点范围，再分析单调性。 3．放缩法：针对超越函数组合（指数与对数、三角与指数等），通过函数有界性、一阶导数、二阶导数放缩，简化函数结构。 知识2利用导数研究函数零点问题 1．确定零点的常用方法： ①图象法：画函数草图，标注极（最）值，结合极限思想数形结合分析。 ②零点存在定理+导数：先判定区间内有零点，再通过导数研究单调性、极值、端点值符号，判断零点个数。 2．求参数范围的方法： ①分离参数：转化为变量表达式的值域或直线与函数图象交点个数问题。 ②零点存在定理：构建不等式求解。 ③图象位置关系：转化为两个熟悉函数图象的位置关系，构建不等式。 知识3隐零点问题 1．定义：含指对函数的方程无精确解，仅能确定零点存在性并估计范围。 2．基本步骤： ①用零点存在性定理判定导函数零点存在，列零点方程，结合单调性确定零点范围。 ②以零点为分界，分析导函数正负，得到原函数最值表达式。 ③变形零点方程，整体代入最值式，消除指对项或参数项化简。 3．隐零点的同构：实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向． 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作． 知识4极值点偏移问题 1．定义 函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如的极值点为，的两根为，且有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移，若，则极值点偏移． 若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同，如下图所示． 故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏如上左图； 若，则称为极值点右偏如上右图． 2．极值点偏移问题的一般形式 （1）若函数存在两个零点且，求证：（其中为的极值点）； （2）若函数中存在且满足，求证：（其中为的极值点）； （3）若函数存在两个零点且，令，求证：； （4）若函数中存在且满足，令，求证：． 考向1恒成立问题与存在性问题 1．（2024·广东揭阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 2．（2024·四川南充·一模）已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 3．（2025·广东汕头·二模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 4．（2025·山西阳泉·一模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 5．（2024·宁夏中卫·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)记曲线的对称中心为，若存在，使得，求的取值范围. 6．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 考向2不等式的证明 7．（2024·河北张家口·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 8．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间没有极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 9．（2025·江苏连云港·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 10．（2025·福建南平·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，求的取值范围； (3)设有两个零点分别为，求证：. 11．（2025·江苏无锡·三模）已知函数，. (1)证明：当时，恒成立. (2)证明：当时，在上单调递增. (3)证明：且.（参考数据：取） 考向3数列与不等式的综合 12．（2024·广西钦州·模拟预测）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 13．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值； (2)若在上恒成立，求a的最小值； (3)证明：（且）. 14．（2025·安徽淮南·二模）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 15．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 16．（2024·四川巴中·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 考向4双变量问题 17．（2025·湖南衡阳·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 18．（2025·湖南株洲·一模）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2024·河南郑州·二模）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 20．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 21．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 22．（2024·湖南娄底·二模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间与极值； (2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围. 考向5零点问题 23．（2025·河北承德·二模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 24．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）给定函数 (1)判断函数的单调性，并求的极值. (2)若有两个解，求的取值范围. 25．（2025·山东滨州·一模）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 26．（2025·湖北荆州·一模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 27．（2024·四川绵阳·二模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 28．（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数. (1)直线是在处的切线，求直线在轴上的截距； (2)求函数的值域； (3)当时，求方程的实根个数. 考向6同构问题 29．（2025·甘肃天水·三模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 30．（2024·江苏南京·二模）设函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 31．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性和最值； (2)若关于x的方程有两个不等的实数根，，求证：． 32．（2024·浙江湖州·模拟预测）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 考向7新定义问题 33．（2025·江苏扬州·模拟预测）设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是． (1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； (2)当，时，证明：； (3)在中，求的最大值． 34．（2025·陕西汉中·二模）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 35．（2025·广西百色·二模）两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，已知函数． (1)求函数在处的阶帕德近似； (2)在（1）的条件下：求证：； (3)已知在处的阶帕德近似为，依据帕德近似公式；若在处的阶帕德近似为，设，试比较p，q，r的大小． 36．（2025·山东潍坊·一模）已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 37．（2025·山东青岛·二模）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 38．（2025·河南三门峡·一模）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 考向8极值点偏移问题 39．（2024·江西抚州·二模）已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 40．（2025·山东烟台·一模）已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 41．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 42．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 43．（2025·云南丽江·模拟预测）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 44．（2025·四川内江·三模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 45．（2025·吉林辽源·二模）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 考向09洛必达法则 46．（2024·四川达州·模拟预测）已知函数. （1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围. 47．（2025·河北邯郸·三模）极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 48．（2025·吉林白山·三模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 考向10导数与三角函数的结合 49．（2024·广西玉林·二模）已知函数，. (1)若为正实数，时，都有，求的最大值. (2)证明：； (3)若函数的最小值为，证明：方程有唯一的实数根. 50．（2025·福建龙岩·三模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 51．（2024·河南平顶山·一模）已知函数. (1)若函数在点处的切线过点，求a的值； (2)试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； (3)若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 52．（2024·山东东营·一模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求的值． 53．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于对称， (1)求的解析式； (2)在定义域内恒成立，求的值； (3)求证：，. 54．（2025·山西大同·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)已知，证明：. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数综合 3 真题动向 必备知识 知识1利用导数研究函数恒成立问题 知识2利用导数研究函数零点问题 知识3隐零点问题 知识4极值点偏移问题 命题预测 考向1恒成立问题与存在性问题 考向2不等式的证明 考向3数列与不等式的综合 考向4双变量问题 考向5零点问题 考向6同构问题 考向7新定义问题 考向8极值点偏移问题 考向09洛必达法则 考向10导数与三角函数的结合 命题轨迹透视 近三年全国卷导数压轴题定位为区分性试题，平均得分并不高，核心聚焦零点个数判断、不等式证明、含参恒成立与存在性问题。命题突出跨模块融合，常与三角函数、数列等结合，设问分层且逻辑连贯，避免孤立考查单一知识点。 解题需综合运用分类讨论、构造函数、等价转化等思维方法，同时兼顾运算规范与逻辑严谨性，易错点集中在分类不全面、条件转化不彻底。试题既强调导数工具性本质，又注重逻辑推理、数学运算等核心素养的综合检验，凸显“多考思维、少考套路”的命题导向。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 不等式 I卷T19，17分 II卷T22（1），5分 极值、最值 一卷T19（1），4分 II卷T16，15分 II卷T22（2），7分 乙卷（理）T21，12分 恒成立与有解 一卷T19（2,3），13分 I卷T18，17分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 零点问题 二卷T18,17分 2026命题预测 2026年全国卷导数压轴题将延续稳定梯度结构，以解答题（15-17分）为主，分2-3问设计。基础问聚焦单调性、切线方程等常规考点，压轴问仍以零点论证、不等式恒成立为核心，极值点偏移题型大概率持续作为区分点，突出“双变量归一”能力考查。 将强化高阶方法应用，如端点效应、洛必达法则的灵活运用，或融入拉格朗日中值定理的几何转化思维。可能与三角函数、数列跨模块融合，运算量与思维量双高，保持“前松后紧”难度分布。 考点一 导数综合 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，16，15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 2．（2024·全国甲卷·高考真题，20，12分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 3．（2023·全国乙卷·高考真题，21，12分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 4．（2024·全国甲卷·高考真题，21，12分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 5．（2023·全国甲卷·高考真题，21，12分）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 6．（2025·全国二卷·高考真题，18，17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 7．（2025·全国一卷·高考真题，19，17分）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 知识1利用导数研究函数恒成立问题 1．分离参数法：参数系数正负可判断时，分离参数得“参数≤变量表达式最大值”或“参数≥变量表达式最小值”，通过求变量表达式最值求解。 2．直接讨论法：函数结构简单时，求导得极值点，通过因式分解、求根公式等讨论；无法求极值时，用零点存在性定理确定零点范围，再分析单调性。 3．放缩法：针对超越函数组合（指数与对数、三角与指数等），通过函数有界性、一阶导数、二阶导数放缩，简化函数结构。 知识2利用导数研究函数零点问题 1．确定零点的常用方法： ①图象法：画函数草图，标注极（最）值，结合极限思想数形结合分析。 ②零点存在定理+导数：先判定区间内有零点，再通过导数研究单调性、极值、端点值符号，判断零点个数。 2．求参数范围的方法： ①分离参数：转化为变量表达式的值域或直线与函数图象交点个数问题。 ②零点存在定理：构建不等式求解。 ③图象位置关系：转化为两个熟悉函数图象的位置关系，构建不等式。 知识3隐零点问题 1．定义：含指对函数的方程无精确解，仅能确定零点存在性并估计范围。 2．基本步骤： ①用零点存在性定理判定导函数零点存在，列零点方程，结合单调性确定零点范围。 ②以零点为分界，分析导函数正负，得到原函数最值表达式。 ③变形零点方程，整体代入最值式，消除指对项或参数项化简。 3．隐零点的同构：实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向． 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作． 知识4极值点偏移问题 1．定义 函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如的极值点为，的两根为，且有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移，若，则极值点偏移． 若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同，如下图所示． 故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏如上左图； 若，则称为极值点右偏如上右图． 2．极值点偏移问题的一般形式 （1）若函数存在两个零点且，求证：（其中为的极值点）； （2）若函数中存在且满足，求证：（其中为的极值点）； （3）若函数存在两个零点且，令，求证：； （4）若函数中存在且满足，令，求证：． 考向1恒成立问题与存在性问题 1．（2024·广东揭阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【分析】详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 2．（2024·四川南充·一模）已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】详解】（1）当时，，则. 易知在上单调递减，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值即最大值，为； （2），设， 因为，所以在上单调递减，又，时，， 因此，使得，即，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此存在唯一的极大值点， ， 当且仅当时等号成立，得证. （3），即，因为，所以， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式转化为恒成立，设， 所以， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以在内有唯一极大值点，即，从而， 当时，不等式转化为恒成立， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在内有唯一极小值点，则，从而， 综上，的取值范围是. 3．（2025·广东汕头·二模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2). 【分析】详解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 4．（2025·山西阳泉·一模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 5．（2024·宁夏中卫·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)记曲线的对称中心为，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）因为曲线的对称中心为， 所以， 化简整理得， 因为上式对任意都成立， 所以，即， 所以， 即存在，使得成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，所以， 所以时，有最大值， 所以，即的取值范围为. 6．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 考向2不等式的证明 7．（2024·河北张家口·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）递增区间为，无递减区间；（2）证明见解析 【分析】详解】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 8．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间没有极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在和上单调递减； ③当时，在上单调递减; ④当时，在上单调递增，在和上单调递减. (2). (3)证明见解析. 【分析】详解】（1）对求导得： ， ①当时，恒成立，令，解得 ， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； ②当时，令，解得，， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减； ③当时，恒成立，在上单调递减. ④当时，令，解得，， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减. 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在和上单调递减； ③当时，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）函数在区间没有极值点等价于在区间上无异号零点， 因为， 由（1）知当时，在上单调递减，满足题意； 当时，令，解得， 因为，故只需，则或 解得：或, 综上所述：的取值范围为 （3）令， 则视为关于的一元二次函数， 二次函数的二次项系数为，开口向上， 判别式：， 令，则， 求导得：， 因为，， 所以恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以当时，成立. 9．（2025·江苏连云港·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】详解】（1）当时，，， 则，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，则， 令函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增， 因为，由，， 可知存在唯一实数，使得， 即，两边取对数，变形可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以的极小值为 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 所以. 证法二：当时，等价于， 即， 令，则有， 先证当时，， 令函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，即当时，得证； 再证， 令函数，则， 当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； 综上，，即当时，得证. 10．（2025·福建南平·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，求的取值范围； (3)设有两个零点分别为，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 且，， 所以， 解得，所以的取值范围． （3）有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在与上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. 因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 所以. 11．（2025·江苏无锡·三模）已知函数，. (1)证明：当时，恒成立. (2)证明：当时，在上单调递增. (3)证明：且.（参考数据：取） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】详解】（1）因为， 所以在上单调递减， 所以. （2）. 设. 因为，所以. 由（1）知， 所以在上恒成立，所以在上单调递增. （3）由（2）知，令，得在上单调递增， 所以， 即，所以. 令，可得，则，则. 令，可得，同理可得. 故. 考向3数列与不等式的综合 12．（2024·广西钦州·模拟预测）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】详解】（1）由，， 则， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，对定义域内，都有恒成立， 由（1）知，当时，函数在上单调递增， 而时，，此时不恒成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，解得. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立， 令，，则， 故， 则， 故. 13．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值； (2)若在上恒成立，求a的最小值； (3)证明：（且）. 【答案】(1)-1 (2)-1 (3)答案见解析 【分析】详解】（1）当x轴是曲线的一条切线，即存在，使 求导得，当时，解得， 则，解得. （2）当在上恒成立时，即在上恒成立， 设，则， 可知当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，取得最小值， ， 所以，即.的最小值为-1. （3）由(2)可知，当时取等号，则， 令，且，得， 令， 由，可知， 化简得， 所以， 即得，原命题得证. 14．（2025·安徽淮南·二模）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 15．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】详解】（1）当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3）由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 16．（2024·四川巴中·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】详解】（1）函数的定义域为． ①当时，，所以在上单调递增， ②当时，令，解得． 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：当时，， 要证明，即证，即， 设，则，令得，． 当时，，当时，， 所以为极大值点，也为最大值点． 所以，即．故； （3）证明：由（2）知（当且仅当时等号成立）， 令，则， 所以 ， 即， 所以． 考向4双变量问题 17．（2025·湖南衡阳·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】详解】（1）由函数的解析式可知， ， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，则由，得或； 由，得． 在上单调递减，在和上单调递增， ③若，则由，得； 由，得． 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）是方程的两个根，， ，且，所以， ， 令，则． 在上单调递减， ， 的最小值为. 18．（2025·湖南株洲·一模）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】详解】（1）当时，，， ，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为， 所以， 因为，所以， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递增， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为. （3）， 当，， 令， 因为，则， 则在上单调递增， 又因为时，，， 则，使得，即，可化为 当时，，即，则函数在上单调递减， 当时，，即，则函数在上单调递增， 则， 即. 由（2）知，当时，， 若对任意，不等式恒成立， 则，即， 令，，则函数在上单调递增， 又因为，所以的解集为， 所以实数的取值范围为. 19．（2024·河南郑州·二模）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 20．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】详解】（1）当时，，所以. 又因为，所以切线方程为. （2）设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： ①当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由函数.可得， 设，由，可得，则， 由（2）知，当时，，则时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以. 21．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【分析】详解】（1）的定义域为 由，解得 所以当及时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增 （2）法一：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 设， 则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值 ①当时，因为，所以不等式恒成立： ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， 法二：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 即在上恒成立． 设，则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值． 因为，所以，即 ①当时，因为，所以不等式恒成立； ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， （3）证明：要证，只需证： 由，只需证： 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得 设，则 由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且， 则，即，从而． 要证，只需证： 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证： 只需证：． 设，则 设，则在上单调递增． 所以，从而 所以在上单调递减，从而，则， 所以 22．（2024·湖南娄底·二模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间与极值； (2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为；单调递增区间为；有极小值，无极大值. (2) 【分析】详解】（1）当时，，其定义域为， ， 所以显然当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以有极小值，无极大值； 综上所述，单调递减区间为；单调递增区间为；有极小值，无极大值. （2），令， 因为，所以在单调递增，则， 令，即在有2个零点，且， 因为， 当时，在单调递增，不存在2个零点， 所以， 当时，:当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 则， 令， 当时，单调递减：当时，单调递增， 则，所以恒成立.即恒成立. 因此， ， 因为时，;且. 所以当，即时，函数有2个不同的零点. 又，即等价于， 设. 当时，;当时，. 则在上单调递增，在上单调递减，则， 由题意得:. （i）当，即时，恒成立; （ii）当，即时，有. 令， 由，即可得，所以， 综上，，因此. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想得，再结合分离参数即可得到答案. 考向5零点问题 23．（2025·河北承德·二模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】详解】（1）由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或，有，且， 所以，故最大的为. 24．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）给定函数 (1)判断函数的单调性，并求的极值. (2)若有两个解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】详解】（1）因为， 所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 在处，函数取得极小值，. 无极大值. （2）当时，； 当时，； 当时，. 作函数草图如下： 所以有两个解，可得. 即所求的取值范围为： 25．（2025·山东滨州·一模）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】详解】（1）解：由函数，可得， 因为在处取极值，可得，解得， 当时，， 当或时，；当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 故满足在处取极值，所以. （2）解：由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以，， 由于当时，，时，， 时，，当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又因为方程有3个实数根时，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得， 所以恰有3个零点时，实数的取值范围为. 26．（2025·湖北荆州·一模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】详解】（1）当时，，设直线的方程为， 曲线与直线相切于点， 因为，所以①， 又点既在曲线上，又在直线上， 所以②，由①②得，所以， 所以，故的方程为. （2）由得：， 恰有2个正实数根恰有两个正实数根， 令，则与有两个不同交点， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则的图象如图所示， 当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为. 27．（2024·四川绵阳·二模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值. (2) (3). 【分析】详解】（1）（1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. （3）令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 28．（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数. (1)直线是在处的切线，求直线在轴上的截距； (2)求函数的值域； (3)当时，求方程的实根个数. 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【分析】详解】（1）由， ， 当时，，故切线方程， 当时，可知直线在轴上的截距为. （2）设，则. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则函数的最大值为. 又， 所以函数的最小值为. 的值域为. （3）设， ，则， 由（2）可知在上单调递增，在上单调递减. . 当时，. 故存在，使， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又. 由零点的存在性定理可知在上有一个零点， 所以函数在上的零点个数为2. 考向6同构问题 29．（2025·甘肃天水·三模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】详解】（1）当时，，则， ，又， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由题意可得在时恒成立， 则 ， 则，即有， 令，则， 即有对任意恒成立， ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则， 当时，，则， 则当时，有对任意恒成立， 当时，若，则； 综上可得，则对任意恒成立， 当时，，又在上单调递增， 则，则. 30．（2024·江苏南京·二模）设函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析. 【分析】详解】（1）由函数可得 令，解得或. 当时，；当时，； 当时，. 故在和上单调递减，在上单调递增. （2）= 当时，， 要证，即证>. 设则 当时，则在上单调递增， 因为 当时，，， 故只需证明. 令， 则 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故， 则在上成立， 故，即成立. 31．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性和最值； (2)若关于x的方程有两个不等的实数根，，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】详解】（1）由得， ，其中， 若，则在上恒成立，故在上为减函数， 故无最值； 若，当时，； 当时，． 故在上为增函数，在上为减函数， 故，无最小值． 综上：当，在上单调递减，无最值； 当，在上为增函数，在上为减函数，，无最小值． （2）方程，即， 故． 因为为上的增函数，所以， 所以关于x的方程有两个不等的实数根， 即有两个不同的实数根． 所以，所以． 不妨设，故， 要证，即证， 即证，即证，即证． 设，则， 令， 故，所以在上为增函数，故， 所以在上为增函数， 所以，故成立． 【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式. 32．（2024·浙江湖州·模拟预测）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】详解】（1）法1：函数的定义域为， ， 当时，在区间成立，故，即在单增； 当时，，在区间成立，故，∴在单增； 当时，，设两根为，则， 当或时，，，当时，，，故在单减，在和单增． 综上：当时，在上是增函数； 当时，在单减，在和单增． 法2： 函数的定义域为， ∵， 当时，，在上是增函数； 当时，，解得， ，解得或． ∴在单减，在和单增． （2）当时，在单增，故在单增， 所以．所以在上恒成立； （3）法1：由（2）知，当时，，即，当时，． 要证，只需证，只需证． 令，， ，， ∴在单增，即． 法2： 要证，只需证，只需证． 设，只需证． 则 令，则，， ，∴在单减．故只需证即可． ，，． 所以原不等式成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于合理利用分类讨论思想求解，再证明求解过程中注意各个问题之间联系.值得注意得是在第三问的求解过程中，利用第二问的结论，将问题适当放缩，转化为成立；或者利用同构式，进行等价变换，将问题转化为证，进而设，研究函数单调区间进一步化简转化为证即可. 考向7新定义问题 33．（2025·江苏扬州·模拟预测）设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是． (1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； (2)当，时，证明：； (3)在中，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】详解】（1）因为， 则， 所以对任意的恒成立， 所以， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 因此实数的取值范围是. （2）令，则， 所以，所以函数为上的下凸函数， 则，即， 整理得. （3）令，其中，则， 所以， 所以函数为上的下凸函数， 又由，，有， 即，即， 所以， 又由，所以， 所以 ， 又由，有，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故， 又由，有，有， 故. 因此的最大值为. 34．（2025·陕西汉中·二模）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，的最小值为 【分析】详解】（1）因为，所以，，， 则. （2）当时，； 当时，由泰勒定理可知存在，使得. 因为，且，所以，则. 综上，当时，. （3）当时，不等式，即不等式，. 当时，不等式等价于不等式. 设函数， 则. 设函数， 则，，，. 显然在上单调递增，且， 则在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，即的最小值为. 35．（2025·广西百色·二模）两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，已知函数． (1)求函数在处的阶帕德近似； (2)在（1）的条件下：求证：； (3)已知在处的阶帕德近似为，依据帕德近似公式；若在处的阶帕德近似为，设，试比较p，q，r的大小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】详解】（1）由已知在处的阶帕德近似为 根据条件 ，因，故，得， 因，则，对求导得，代入得， 又，则；，则， 由得，解得。 所以． （2）令， 因为，当时，显然， 故在和上均单调递减， ① 当时，，即， 此时，所以，即； ② 当时，，即， 此时，所以，即， 综上，所以不等式恒成立. （3）依题意，，由，得，此时， 因为，所以， 又因为，所以， 故在处的阶帕德近似为：， 则， 又在处的阶帕德近似为， 故，， 故得． 36．（2025·山东潍坊·一模）已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】详解】（1）， 则， 则当时，有， 故不是“卓越函数”； （2）， 则， 故在上恒成立， 即有在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； （3）由为“卓越函数”，则定义域为， 且对任意，有， 则，有则， 设函数，则， ， 故在上单调递增，故， 即存在唯一正实数，使得， 令，，， 当时，，故在上单调递增， 又时，，时，， 故存在唯一正实数，使得，符合题意； 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又时，，时，， 故当时，有唯一正实数解， 由关于的函数在上单调递增， 且当时，有， 故当时，有唯一正实数解； 综上所述：实数的取值范围为或. 37．（2025·山东青岛·二模）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】详解】（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. （2），所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3），所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 38．（2025·河南三门峡·一模）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【答案】(1)或． (2)且 (3) 【分析】详解】（1）因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． （2），当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下，    所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 （3）， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为 考向8极值点偏移问题 39．（2024·江西抚州·二模）已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】详解】（1）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，， 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （2）由（1）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，， 即，故， 即，所以. 40．（2025·山东烟台·一模）已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】详解】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． 41．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 42．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 43．（2025·云南丽江·模拟预测）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】(1)的极小值是，无极大值； (2)证明见解析. 【分析】详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把进行消元，变为的函数. 44．（2025·四川内江·三模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】详解】（1），，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， ， 则，在单调递减， 欲证，即证，， 等价于，即， 等价于， 整理得①， 令，①式为， 又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，， 当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原不等式转化为证明，再转化为证明，最后转化为证明，从而可构造函数帮助证明. 45．（2025·吉林辽源·二模）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1)最大值为0，最小值为. (2)证明见解析 【分析】详解】（1）当时，， . 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为， ， 所以在区间上的最大值为0，最小值为. （2）. 当时，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去； 当时，所以， 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减. 所以当时，取得极大值，极大值为， 为满足题意，必有，得. 因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减得. 设，要证， 只需证，即证. 设，只需证， 设，则， 所以在上为增函数，从而， 所以成立，从而 【点睛】关键点睛：本题（2）关键在于构造函数，转化为求新函数的单调性，再由单调性求最值，即可证明. 考向09洛必达法则 46．（2024·四川达州·模拟预测）已知函数. （1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】详解】（1），所以在点处的切线的斜率， 又，所以切线的方程为：， 即，由经过点可得：. （2）易知为方程的根， 由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可. ①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解 若，，， 令，故在单调递增，在单调递减 故在单调递减 从而，，此时方程也无解. 若，由， 记，则， 设，则有恒成立， 所以恒成立， 故令在上递增，在上递减 ，可知原方程也无解 由上面的分析可知时，，方程均无解. ②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解 若，和①中的分析同理可知此时方程也无解. 若，由， 记，则， 由①中的分析知， 故在恒成立，从而在上单调递增 ， 如果，即，则， 要使方程无解，只需，即有 如果，即，此时，方程一定有解，不满足. 由上面的分析知时，，方程均无解， 综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解. 【点睛】本题主要考查了导数应用，导数的几何意义，利用导数判断单调性，函数方程转化思想，分类讨论思想，属于难题. 47．（2025·河北邯郸·三模）极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 48．（2025·吉林白山·三模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)证明见详解. 【分析】详解】（1）记， 因为， 所以在区间不恒成立， 所以，不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）记，则， 因为， 所以，所以. （3）因为，所以， 所以， 即对任意，均有， 所以， 因为， 所以 ， 所以，时，. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点： （1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点； （2）利用好定义所给的表达式及相关条件； （3）含有参数时要注意分类讨论. 考向10导数与三角函数的结合 49．（2024·广西玉林·二模）已知函数，. (1)若为正实数，时，都有，求的最大值. (2)证明：； (3)若函数的最小值为，证明：方程有唯一的实数根. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】详解】（1）（）a为正实数， 令，则恒成立， 函数在区间上单调递增，且. ①当时，，所以函数在上单调递减，此时，符合题意. ②当时，，，由零点存在定理，时，有，即函数在上递减， 在递增，所以当时，有，此时不符合. 综上所述，正实数a的最大值为1. （2）由（1）知，当，时，， 令时，有，即， 累加得，. （3）因为，所以，即函数在上递增， 又， 由零点存在定理，时，有，即， 因此，而函数在上递减，在上递增， 所以， 由于对勾函数在单调递减， 故，则，因此， 即. 要证方程有唯一的实数解， 只要证方程有唯一的实数解. 设，则， 所以函数在上递增，又，， 由零点存在定理，时，，即， 因此，又， 设，则函数在上递增， 于是， 又，故， 而函数在上递减，在上递增， ， 即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解. 50．（2025·福建龙岩·三模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】详解】（1）令函数，则，， 当时，，函数在上单调递增，则，即成立， 当时，在上单调递增，， 所以，当时，，在上单调递减， 所以对，，不成立. 综上，实数的取值范围为. （2）令，由（1）知函数在上单调递增， 因为，，所以，因此，即， 即成立； （3）对，都有成立，即对，， 令，即， 当时，，，则， 要使成立，则，即， 下面证明：当时，成立，由（2）得， 下面证明：，即证明， 令，则， 因此在上单调递增，，即成立， 综上所述，实数的取值范围是. 51．（2024·河南平顶山·一模）已知函数. (1)若函数在点处的切线过点，求a的值； (2)试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； (3)若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】详解】（1）由题可知， 切点，斜率， 切线方程：， 代入，解得：. （2）取，存在唯一的极值点在存在唯一的变号零点， 当时，记， 又， 所以在存在唯一的变号零点， 当时，，无零点， 故在存在唯一的变号零点. （3） 恒成立 ，下面研究 的最大值． 当 时， 由（2）知存在唯一的 使得 ， 且 在 上单调递增， 上单调递减，即 ， 当 时， 若 ，则 ，当 时， ， 当 时， ，而 ， 若 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，而 ， 结合知 ， 所以 ， 因为与是对应关系，故存在实数满足不等式恒成立， 即满足存在实数，使，即， 记， 有，当时，单调递减， 当时，单调递增，即， 故的最小值为，此时. 52．（2024·山东东营·一模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求的值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）令，， 求导得，由当时，恒成立， 得，恒成立，而，因此是函数的最小值， 又在可导，则1是的极小值点，，解得， 当时，，， 令，，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 53．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于对称， (1)求的解析式； (2)在定义域内恒成立，求的值； (3)求证：，. 【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析 【分析】详解】（1）依题意，设图象上任意一点坐标为， 则其关于对称的点在图象上， 则， 则， 故； （2）令，， 则在恒成立，又， 且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ，， 下证当时，在恒成立， 令，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 故，在上恒成立，又， 则时，恒成立， 综上，； （3）由（2）可知：，则，即， 则. 又由（2）可知：在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即， 则 ， 综上，，得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 54．（2025·山西大同·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)已知，证明：. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)证明见解析 【分析】详解】（1），，令，可得. 令，可得， 令，可得，或 所以在上单调递增，在和上单调递减. 所以的极大值为的极小值为. （2）由， 可得， 所以. 由对称性，不妨设， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. 由（1）可知在上的最大值为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 因为等号不能同时取到，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； （2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $