专题20 圆锥曲线解答题十大考法归类及解题策略（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题20 圆锥曲线解答题十大考法归类及解题策略 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 圆锥曲线解答题综合 3 真题动向 必备知识 知识1弦长问题 知识2中点弦问题 知识3直线过定点问题 知识4定值问题 知识5定直线问题 知识6圆锥曲线最值范围问题处理策略 知识7圆锥曲线的切线方程 命题预测 考向1中点弦、弦长问题 考向2斜率的和差积商的定值问题 考向3面积、线段长、角度的定值问题 考向4直线过定点问题 考向5以线段为直径作圆过定点问题 考向6定直线问题 考向7长度、面积的最值及范围问题 考向8斜率、向量的最值及范围问题 考向9切线及切点弦问题 考向10探索性问题 nn 命题轨迹透视 近三年，圆锥曲线解答题多位于解答题中后段，不再固定为压轴/次压轴，部分卷型相关考点也会出现在16题，整体难度有所下调，核心载体仍为椭圆、抛物线，双曲线仅作辅助考查。题型以“基础求方程+综合设问”为主，第二问侧重定点定值、最值范围，融合直线、圆、向量知识，少与导数交汇，计算量降低，更侧重思维的灵活性。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 解答题综合 一卷T18，17分 二卷T16，15分 I卷T16，15分 II卷T19，17分 甲卷T20，12分 甲卷T20，12分 乙卷T20，12分 I卷T22，12分 II卷T21，12分 2026命题预测 2026年全国卷圆锥曲线解答题大概率仍居解答题中后段，难度保持适中，椭圆、抛物线为主要考查载体。第一问仍以基础求曲线方程为主，第二问侧重定点定值、最值范围类设问，多融合直线、圆、向量知识。整体计算量不会过大，更侧重基础方法的灵活运用，需熟练掌握韦达定理、设而不求等技巧，将几何条件转化为代数运算，注重对数形结合、转化化归思想的考查。 考点一 圆锥曲线解答题综合 1．（2025·全国二卷·高考真题，16，15分）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 2．（2023·全国甲卷·高考真题，20，12分）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 3．（2025·全国一卷·高考真题，18，17分）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 4．（2024·全国甲卷·高考真题，20，12分）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，16，15分）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 6．（2023·全国乙卷·高考真题，20，12分）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，22，12分）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）设,则，两边同平方化简得， 故. （2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，    则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则，易知 则令, 令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， 故,即. 当时,,且，即时等号成立，矛盾，故, 得证. 法二：不妨设在上，且，    依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0， 则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设， 直线的方程为， 则联立得， ，则 则， 同理， 令，则，设， 则，令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， ， 但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故. 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线, 矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于. 设 , 根据对称性不妨设 . 则 , 由于 , 则 . 由于 , 且 介于 之间, 则 . 令 , ,则,从而 故 ①当时, ②当 时,由于,从而, 从而又, 故,由此 ， 当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.   . 【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，21，12分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 知识1弦长问题 设直线交圆锥曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 知识2中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 知识3直线过定点问题 ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 知识4定值问题 解题步骤：①先设出直线方程（注意斜率不存在单独验证），将其与圆锥曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值。 知识5定直线问题 核心是 “转化目标→设参化简→锁定直线方程”。 首先明确是 “动直线过定点” 还是 “动点轨迹为定直线”，确定待求直线的表达形式（如）；接着合理设参（如动直线斜率、截距或动点坐标），避免参数冗余；随后将直线与圆锥曲线方程联立，用韦达定理表示根与系数的关系；再用参数推导直线的斜率、截距或动点坐标关系，代入韦达定理结果化简，消去参数得到系数固定的直线方程；最后对直线斜率不存在、参数取特殊值的情况验证，确保定直线唯一且成立。 知识6圆锥曲线最值范围问题处理策略 圆锥曲线的最值范围问题是高频考点，核心思路是依托几何性质、代数运算或函数转化，构建不等关系或求函数值域，具体策略如下： （1）利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系。椭圆、双曲线、抛物线各自有明确的几何特征，如椭圆上点到中心的距离范围、双曲线的渐近线约束等，可直接结合这些性质确定参数范围。同时，直线与圆锥曲线相交时，联立方程后根的判别式（有交点）或（无交点），是构建不等关系的常用手段，能快速锁定斜率、截距等参数的取值边界。 （2）通过参数转化与隐含条件推导范围。若已知某一参数的范围，可建立其与待求参数的等量关系，利用“代入法”将待求参数表示为已知参数的表达式，再根据已知参数的限制推导目标范围。此外，题目常隐含不等条件，如点在曲线内/外的约束、线段长度非负、角度范围等，需深入挖掘这些隐含信息，转化为不等式求解。 （3）借助函数值域与已知不等关系求解。将待求量（如距离、斜率、面积等）转化为单一变量的函数，通过分析函数的单调性、最值（利用配方法、基本不等式、导数等）确定值域，进而得到参数范围。若题目直接给出不等关系（如“某量大于等于2”），可直接据此建立不等式，结合圆锥曲线方程化简求解，确保结果符合曲线自身的范围限制（如椭圆中的取值区间）。 解题时需灵活结合几何直观与代数运算，兼顾曲线自身约束和题目条件，避免遗漏特殊情况（如直线斜率不存在、参数取边界值等），确保范围求解准确全面。 知识7圆锥曲线的切线方程 （1）过圆上一点的切线方程：； （2）过椭圆上一点的切线方程：； （3）过双曲线上一点的切线方程：； （4）过抛物线上一点的切线方程：. 注：替换的规则是. 圆锥曲线的切点弦 定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. 切点弦方程： （1）设为圆外一点，则切点弦方程为：； （2）设为椭圆外一点，则切点弦方程：； （3）设为双曲线外一点，则切点弦方程：； （4）设为抛物线外一点，则切点弦切线方程：. 考向1中点弦、弦长问题 1．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； （2）联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 2．（2025·四川德阳·二模）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 3．（2025·黑龙江伊春·二模）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）设点的坐标为，依题意得， 化简得，所以的方程为． （2）直线过点且斜率为1， 直线为，即 ， 设， 联立，化简得： ，则， 又，把代入， 得, ， ． 5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知双曲线的焦距为8． (1)求M的方程； (2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦的中点为?若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由． (3)若直线与M交于C，D两点，且为整数，求m的最小值． 【答案】(1)； (2)存在，； (3). 【分析】 【详解】（1）由双曲线的焦距为8，得，解得． 所以M的方程为. （2）假设存在直线l，设，则， 两式相减得，由的中点为， 得，因此直线的斜率， 双曲线M的渐近线方程为，而，则直线l与M相交， 所以存在直线l满足要求，直线l的斜率为. （3）由消去得， ，设，则， 因此． 由，得，又为整数，则当时，m取得最小值， 所以m的最小值为. 考向2斜率的和差积商的定值问题 6．（2025·湖北十堰·一模）已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由双曲线的定义可知，即， 又点到渐近线的距离为，故， 双曲线的方程为； （2）    设，，， 易知，， . 又，， ，， ， 由（1）可知， . 7．（2025·辽宁锦州·一模）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)若点，过点A的动直线l交抛物线C于P、Q，直线PB交抛物线C于另一点R，连接QB并延长交抛物线于点S．证明直线QR与直线PS的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2) 【解析】略 8．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，直线与的斜率和为定值 【分析】 【详解】（1）因为，所以，所以， 由题意可知，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，所以，， 又因为，所以，设， 由题意可知，即， 联立，可得， 所以，且， 所以 ， 所以直线与的斜率和为定值. 9．（2024·安徽铜陵·一模）设椭圆，其中.四个顶点分别为､，左､右焦点分别为. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值； (3)若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，请问是否为定值？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为； （2）由，得，所以，所以半焦距， 所以左焦点，又下顶点，所以线段的中点， 又因为直线和圆相切，切点为，所以， 所以，又， 所以，解得，所以； （3）当时，由，可得， 所以椭圆的标准方程为，所以右焦点. 设过斜率不为零的直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 又， 所以. 所以是为定值，且定值为. 10．（2025·山东济宁·二模）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，则，所以椭圆的方程为. 由题意得，则，所以抛物线的方程为. （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，    设直线，，，，， 联立得， 则，，， 所以. 联立得，则， 所以，， 所以， 所以为定值. 考向3面积、线段长、角度的定值问题 11．（2024·四川资阳·一模）已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点. (1)求的方程； (2)若直线OM，ON的斜率之积为，求的值； (3)若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】 【详解】（1）设的半焦距为， 由题意得，解得 所以的方程为. （2）设，，联立直线与椭圆的方程 可得， ，可得， 由韦达定理可得， 所以 ， 因为直线OM，ON的斜率之积为， 所以，解得.    （3）设，， 联立直线与椭圆的方程得得， 则，， 直线到直线的距离为， ， 因为，所以， 解得， 所以 所以梯形的面积为定值. 12．（2025·海南儋州·模拟预测）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2. （1）求曲线的方程； （2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论. 【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点， 依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 得到曲线的方程为. 思路二：设为曲线上任意一点， 由，化简即得. （2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线的方程为， 设，得， 应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为. 由，得. 由，得. 根据，得圆心，半径， 由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定. 试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点， 依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等， 所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线的方程为， 设，则， 由，得切线的斜率 ， 所以切线的方程为，即. 由，得. 由，得. 又，所以圆心， 半径， . 所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变. 解法二： （1）设为曲线上任意一点， 则， 依题意，点只能在直线的上方，所以， 所以， 化简得，曲线的方程为. （2）同解法一. 考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系. 13．（2024·湖南岳阳·二模）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 14．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点 (1)用p表示A，B之间的距离； (2)证明：的大小是与p无关的定值，并求出这个值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）过焦点，且倾斜角为的直线方程是. 由，得. 设，， 则，， 故. （2）由（1）知：，，，，，， 所以， 在中，由余弦定理可知， . 即的大小是与p无关的定值， 且. 15．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为． (1)求的方程； (2)设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，则，① 在中，由余弦定理可得， 即， 即代入①式，得． 所以， 所以，椭圆的方程是． （2）当B，C之一为点时，不妨设，此时 AC斜率为0，N点为坐标原点，直线方程为． 代入，求得，所以AB方程为， 所以，所以MN中点为． 所以． 当AB，AC斜率都不为0时，设， 由得， 所以，代入中，得， 所以， 同理， 由Q，B，C共线，得， 所以，整理得②， 直线AB与轴交点为，直线AC与轴交点为， 所以MN中点，即，由②得， 所以． 综合以上可得为定值． 16．（2025·山西临汾·模拟预测）已知椭圆的标准方程，离心率为，过左焦点且与轴垂直的直线被椭圆所截得的弦长为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，不过原点的直线与椭圆交于点. （i）若，点在椭圆上，且，求的值； （ii）若直线的斜率分别为.且.证明：为定值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见详解. 【分析】 【详解】（1）如图，依题意，， 令，则， ， ∴椭圆的标准方程为：. （2）（i）， ∴联立消去得：， ， ， ，又在椭圆上， ， （2）（ii）由题可得，联立消去得：， ，化简得：， ， ，且， ， 不过坐标原点，， ∴解得， ∴得证为定值. 考向4直线过定点问题 17．（2025·广西钦州·二模）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知：， 又因为，代入得：， 将点代入双曲线方程：，将代入： ，则， 所以双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）设直线：，与双曲线联立： 代入得：， 即， 方程的判别式 设，， 则，. ，则：，，由条件可得： 代入前面表达式： ， 代入：，两边同除以， 得：， 因此，直线：，即恒过定点. （ⅱ）设定直线：，与双曲线联立， 代入： ， 两边同乘以：， 方程的判别式， 设根为，则：，， 则，. 对应点：，， ，求直线与双曲线另一个交点，与双曲线另一个交点， 设直线：，其中， 代入双曲线： ，，， 所以可得. 直线：，其中，同理可得. ，， 直线表示为：，将各项代入可得恒过 故直线恒过点. 18．（2025·甘肃平凉·二模）已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 【答案】(1)； (2)； (3)直线恒过定点． 【分析】 【详解】（1）依题意，设的焦距长为，则，又短轴长， 则， 因此，椭圆的标准方程为：． （2）（方法一）设，显然直线的斜率存在， 设，和椭圆方程联立， 消去得：， 则进而得， 当时，，代入上式，化简得：， 当时，也满足上式； 又， 故点的轨迹方程为：． （方法二）设，则的斜率为， 由（1）知椭圆标准方程为：， 则①  ② ②①得：， 若，进一步得：，即：， 于是． 若，即，此时也满足上式， 故点轨迹方程为：． （3）由（2）知点也满足方程， 设直线方程为，联立， 消去得：， 设，则， 由得： ， 即，故直线恒过定点．    19．（2024·河南漯河·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意知，， 令，则，得，则， 由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为， 所以， 则，即， 又，得， 故的方程为； （2）（i）由题意可知，直线的斜率存在， 设，， 联立，得， 则， ，得， 则 ， 因为，所以，则， 则， 故的取值范围为； （ii）因为，所以， 若，即，则直线的方程为， 即， 因为，所以， 因为， 所以， 即，恒过点， 若，即，则，则，也过点， 故直线过定点. 20．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】 【详解】（1）由题意： ，解得， 所以方程是 . （2）设，，联立， 消可得， 由，得， ， ， 则， 因为，所以， 又因为，所以，， 所以，即， 所以，即， 解得或，均满足， 当时，，直线过点，与已知矛盾， 当时，，直线过点， 综上，直线过定点，定点坐标为. 21．（2025·黑龙江双鸭山·二模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． (1)求抛物线E的方程； (2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，，所以 由题意可知， 所以，所以抛物线的方程为 （2）因为过点作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点， 则直线的斜率一定存在且不为0， 设其方程为， 联立，得，且有， ， 根据题意，由于过的两条直线垂直，则， 且有，即， 即 即，化简整理得到，所以， 将其代入，整理得， 若对任意等式都成立，则有，即， 故直线恒过定点. 22．（2025·山东淄博·二模）已知抛物线的准线为，点到的距离为3.过点作两条直线， 其中斜率为 的直线与交于、两点，斜率为 的直线与交于、两点，其中点均在第四象限. (1)求抛物线的方程; (2)若，证明: ; (3)若直线经过点，证明直线经过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】 【详解】（1）抛物线的准线为，由点到的距离为3， 得，解得，所以抛物线的方程. （2）依题意，令，由，得，设， 直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则， ，同理得， 所以. （3）直线的斜率，方程为， 整理得，而直线过点，则， 设，同理得直线的方程，而直线过点， 因此，由，得， 则，直线的方程， 即，整理得， 所以直线经过定点. 考向5以线段为直径作圆过定点问题 23．（2024·广东惠州·二模）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若直线是在点处的切线，与相交于点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在定圆，使与交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，． 【分析】 【详解】（1）由题意知，    即，化简得，即的方程为． （2）（i）由（1）知是以，为焦点，为长轴长的椭圆． 设， 因为直线与相交，所以直线的斜率必定存在，设 令，得，即，． 联立，得．   由，得， 且，．    所以．     所以为定值． （ii）由对称性知，若存在满足条件，则，均在轴上． 设，，．    设，与联立，得， 其中，且，．    由题意知，即 ．    也即 整理得：．   令，解得，或，此时．    综上可知，存在满足条件的，其方程为． 24．（2025·陕西商洛·二模）已知椭圆右顶点为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不过点的直线与椭圆交于、两点． （i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积； （ii）证明：的外接圆经过两个定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）由题中椭圆右顶点为，短轴长为， 可得，，即， 则椭圆的标准方程为. （2）（i）设不过点的直线，直线与椭圆交于， 联立，得，且有， 因为直线与椭圆有2个交点，则，解得， 又因为直线不过点，则，即， 则， 由题意得直线， 整理直线，直线， 则直线与直线平行，则两直线间的距离， 因为为正方形，则有，即， 两边同时平方整理得，解得或， 因为直线在轴上的截距为整数，即为整数，故， 则， 所以正方形的面积. （ii）设的外接圆为， 因为点在圆上， 则有，即， 联立，得，且有， 则有， 因为在圆上， 则有① ② ①②得， 其中， ， 则①②得 ①②得， 即， 同时除以，易得， 则有， 直线的斜率为，代入上式， 则有， 则有，即， 联立，得， 联立，得， 因为，则有， 则，， 将代入圆的方程， 整理得， 对任意，圆恒过定点满足，解得或， 故的外接圆恒过定点. 25．（2025·山东济南·一模）已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D．判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． 【答案】(1)曲线，曲线 (2)过，定点坐标为 【分析】 【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：； 对于曲线，，解得：； 即，所以曲线，曲线. （2）由题意可知：，， 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则， 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得， 令得，所以圆过定点. 26．（2024·河南信阳·二模）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）是,定点 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，所以，解得1. 双曲线的渐近线方程为，即，右顶点坐标为. 所以右顶点到渐近线的距离为，即. 两边平方可得，解得. 将，代入双曲线方程， 可得双曲线的方程为. （2）（ⅰ）由(1)可知双曲线的右焦点，设直线的方程为，，. 联立直线与双曲线的方程， 消去可得，即. 由韦达定理可得，. 已知， 则 即，所以直线、的倾斜角互补，即. （ⅱ）设轴上的定点，则，. 因为以为直径的圆恒过轴上的定点， 所以，即. 当斜率不为0时，将，代入上式可得： . 展开可得. 将，代入上式可得： . 整理可得， 即. 合并同类项可得. 因为上式对任意都成立，所以，解得. 当斜率为时，直线的方程为和联立可得：，. 此时以为直径的圆恒过轴上的定点. 综上，以为直径的圆恒过轴上的定点.    27．（2025·宁夏固原·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在的右支上，且，直线不过点，与交于两点. (1)求的方程； (2)①若，求直线的方程； ②经过三点的动圆是否过异于的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，. 【分析】 【详解】（1）设，双曲线左顶点，所以， 右焦点，因为，所以，代入双曲线方程，则，所以， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的方程为； （2）设，将代入双曲线方程， 化简得则恒成立. 且 ①由，得，即， 则. 将（*）式代入得，， 化简得，所以或（舍）， 所以直线的方程为； ②设的中点为，由直线方程和，则， 则的中垂线方程为（i） 因为的中点为，所以的中垂线方程为， 因为，所以（ii）， 同理的中垂线方程为（iii）. 联立（ii）（iii）得，， 把（*）代入，代入（i），， 所以圆心，则圆心在定直线上， 由题可知关于直线的对称点一定在圆上. ， 所以经过三点的动圆过异于的定点. 28．（2025·河北承德·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为和. 【分析】 【详解】（1）解：设直线的方程为， 联立，可得， 设，，则， 所以. （2）证明：设直线， 联立，得， 所以，， 又，， 所以， 同理可得， 设圆上任意一点为， 则由可得，圆的方程为， 整理得， 令，可得或， 所以为直径的圆过定点，定点坐标为和. 29．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点. 【分析】 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足， 所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，， 由消去x并整理得，恒成立， 则，令圆心为，则，，， 直径， 则圆的方程为， 当时，， 因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点.    考向6定直线问题 30．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 设， ，，由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，代入方程， 并整理得， ∴，， 又，，，， 而，， 即，， ∴，，   ∴ . （3）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，由（1）可得，， 设，， 由，消去并整理得， ∴，， 则， 又直线的方程为，直线的方程为， 所以，即， 即， 所以，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上. 31．（2025·吉林吉林·二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为； （2）依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，设直线为，，则，， 由，得， 所以，由，得； 所以，所以，即； 又因为，所以，直线的方程即为； 由，得； 又与直线垂直，所以，所以直线的方程为； 由，得，即，解得；所以点在定直线上. 32．（2024·海南海口·一模）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，M是椭圆上一点，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于P，Q两点，R为线段中点. （ⅰ）求点R的轨迹方程； （ⅱ）点O为坐标原点，射线与椭圆交于点S，点G为直线上一动点，且，求证：点G在定直线上. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 即，又，所以，解得， 所以，则，故椭圆的方程为； （2）（i）当的斜率不存在时，因为为的中点，此时为定点； 当的斜率为0时，直线的方程为， 与椭圆方程联立，得交点坐标为和， 因为为的中点，此时为定点.    当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立，得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 设R的坐标为，因为为线段中点， 所以，所以，得， 将代入，得， 整理得，即， 所以的轨迹方程为. 当直线的斜率为0或斜率不存在时，点也满足上式，所以的轨迹方程为. （ii）由（i）知，的方程为， 联立，得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 33．（2025·广东云浮·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明详见解析. 【分析】 【详解】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    34．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知定点，过点作直线轴于点是直线（为坐标原点）上任意一点，过作轴于点，作于点，直线与相交于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于两点，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为轴且过，所以的方程为，又， 轴，故轴，设直线的方程为，则的坐标为. 因为点在直线:上，且点的纵坐标为，故点的坐标为,则直线的方程为， 所以直线的方程为， 直线的方程为，与联立，可得交点的坐标为， 令，则，故曲线的方程为. （2） 设直线的斜率为，则直线的方程为 将代入曲线的方程，得，设， 可得： 同理，直线的方程为，设， 与曲线的方程联立，得， 则. 则直线的方程为，化简为①， 同理可得直线的方程为② 设直线与直线的交点为，联立①式和②式 化简得， 又由，两式相乘化简得， 将代入①式得. 即直线与直线的交点在定直线上. 35．（2024·陕西汉中·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 考向7长度、面积的最值及范围问题 36．（2025·陕西宝鸡·一模）椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）由题意可得， 又，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）可得：，， 设，，， 可知直线方程为：. 设切线方程为， 代入,得到 令，解得， 因 P 在第一象限，切线斜率为负，故 所以切线方程为：. （ⅱ）直线：，到直线的距离为 且， 当且仅当时等号成立. 因为在椭圆上，所以， 则：，令，， 则：，令，， 则， . 故四边形面积为定值2. 所以的面积， 所以面积的最大值为. 37．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)在轴上存在定点，使得为定值. (3) 【分析】 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则，， 综上所述，在轴上存在定点，使得为定值. （3）设直线的方程为，代入椭圆方程， 得，整理得， 设，可得， 所以由（2）可得 ， ， 所以， 令，则在上单调递减， 当时，，当，， 所以的面积的取值范围． 38．（2025·四川乐山·模拟预测）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直，    则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． （2）设直线AB的方程为，由,得，，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 39．（2024·浙江杭州·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长是焦距的2倍，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为． （i）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，以为邻边作，求线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为， ，又，， 椭圆的标准方程为， （2）（i）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为 由得 ，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，得 化简得：，，且 （或）， 由且（或由且）， 得 综上所述，； （ii）由（i）， 点在以原点为圆心，以为半径的圆上 由， ，， 的取值范围为 40．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)求线段长度的最小值. 【答案】(1) (2)过定点，定点为与 (3) 【分析】 【详解】（1）由已知可得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）法1：设，已知，， 所以直线斜率为；直线斜率为， 所以， 又因为，所以， 设直线方程为，则直线的方程为， 所以，， 则以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. 法2：已知，，设， 由为椭圆上的点，可得即， 直线的方程为，令得：， 同理得：， 所以以为直径的圆的方程为， 即 由化简， ， 所以以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. （3）（3）由（2）知， 由对称性可设，所以， 当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为. 41．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）已知抛物线的焦点为．点在抛物线上，且． (1)求； (2)过焦点的直线交抛物线于两点，原点为，若直线分别交直线：于两点，求线段长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为点在上，所以， 因为，所以由抛物线定义得， 解得或（舍）． 所以． （2）由（1）知，抛物线的方程为，． 若直线的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，，， 则直线的方程为，联立消去得， 所以，从而有． 由得直线的方程，联立 解得，同理． 所以 令，则，所以，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题 （1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解. 考向8斜率、向量的最值及范围问题 42．（2025·陕西安康·二模）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设直线的斜率为，若恒与圆相交，交点为，求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)圆心，半径为 (2); 【分析】 【详解】（1）由配方得， 则圆的圆心的坐标为，半径为. （2）依题，直线的方程为，即， 因恒与圆相交，则圆心到直线的距离（*）， 设，令，则， 则， 由函数的单调性可得或， 则，即， 故由（*）可得，因，故得， 即正实数的取值范围为； 设，由消去， 整理得：，（）， 由韦达定理：， 易得，因为锐角， 则 ， 即得， 因，化简得. 故实数的取值范围是. 43．（2025·云南曲靖·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合. (1)已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数； (2)记直线与直线的斜率分别是，. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）存在，的最小值、最大值分别为. 【分析】 【详解】（1）由的渐近线为，则与平行或重合， 当时，直线与双曲线的公共点有0个， 当时，直线与双曲线的公共点有1个； （2）（i）由题设，且可设直线，联立， 所以，则，， 若，则，，且， 所以为定值，得证； （ii）设，结合（i）有，且， 所以，， 联立，则，整理得， 所以，则（舍），故， 所以，同理，可得， 设圆的方程为，所以， 又，即，所以， 所以，则， 所以，得，同理， 而，则， 令，则，则，即， 令，则，故，可得， 所以，即的最小值、最大值分别为. 44．（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上． (1)求C的方程； (2)若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求； (3)若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】 【详解】（1）对于圆， 令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为； 令，可得，解得，可知椭圆的焦点为； 则，，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由题意可知：，圆的圆心为，直线与椭圆C必相交， 则，可得直线的斜率， 则直线的方程为， 设， 联立方程，消去y可得，解得或， 所以. （3）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线，则直线， 联立方程，消去x可得，解得， 即，同理可得， 则，， 可得， 因为，则， 所以. 45．（2025·甘肃陇南·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故， 由题意得，故， 故椭圆C的方程为 （2）设，如下图所示： 则， 因为，且， 所以，即， 所以，解得， 所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即时，取等号， 故的最大值为 考向9切线及切点弦问题 46．（2025·四川雅安·二模）若抛物线的焦点到直线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)若点在抛物线上，证明：直线为抛物线的切线； (3)若内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，求证：边所在直线与抛物线相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）易知抛物线焦点为， 其到直线的距离为，整理可得； 解得（舍去）， 故抛物线方程为 （2）若在抛物线上，则， 此时直线为 联立和，整理得， 故，即抛物线与直线仅有一个交点， 所以直线为抛物线的切线. （3）设，直线与抛物线切于点，如下图： 则， 又因为在两直线上，所以, 因此两点满足方程， 于是直线的方程为， 联立，整理可得； 因此可得， 又易知即为, 联立，整理得， 由韦达定理可得，即； 同理，又， 所以， 联立，整理可得， 因为，且 此时 ； 所以边所在直线与抛物线相切. 47．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，焦点关于准线的对称点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)从焦点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射. ①证明：反射光线平行于抛物线的对称轴； ②若直线与抛物线交于另一点（异于点），证明：抛物线在点和处的切线互相垂直，且两条切线的交点在准线上. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意知，设抛物线的标准方程为，可得， 准线. 又由焦点关于准线的对称点为，有，可得， 故抛物线的标准方程为. （2）①由（1）知抛物线焦点，准线，设，则有， 设过点且与抛物线相切的直线方程为，整理为， 联立方程，消去后整理为， 有，可得， 可得直线的方程为， 过点且与直线垂直的直线方程为，整理为， 令，可得直线与轴的交点的坐标为， 又由点到焦点距离等于点到准线距离可得， 而，则有，可得. 做反射光线，根据反射角等于入射角可得，又因， 可得 .根据内错角相等可以得到轴，而轴是抛物线对称轴， 故反射光线平行于抛物线的对称轴. ②由准线，设点的坐标为，有， 抛物线在点处的切线方程为, 设直线的方程为，联立方程，消去后整理为， 由韦达定理可知，. 由，可得抛物线在点和处的切线互相垂直， 联立方程，消去，有，解之可得，又由， 则有，故抛物线在点和处的切线的交点在准线上. 【点睛】根据对称点快速的确定抛物线方程，根据抛物线定义，能简化计算，快速的得到距离，而且要将光学问题转化为几何问题这也是解题关键. 48．（2025·湖南常德·一模）已知直线恒过椭圆的一个焦点，且的短轴长为2，圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴圆”. (1)求椭圆和其“伴圆”的方程； (2)点为“伴圆”与轴正半轴的交点，过点作椭圆的切线，，求证：. 【答案】(1)椭圆的方程为，其“伴圆”的方程为． (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为直线恒过定点，且过椭圆的一个焦点， 所以，又，即，所以， 故椭圆的方程为， 其“伴圆”的方程为． （2）证明：因为“伴圆” 与轴正半轴的交点为， 所以设过点且与椭圆相切的直线方程为， 将代入，整理得， 则，解得， 即直线的斜率分别为，， 因为，所以．    49．（2025·山东青岛·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆.以且代替椭圆得到椭圆的方程. (1)求椭圆的离心率： (2)设为上异于其左､右顶点的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）对于椭圆，则为， 故椭圆中，，故， 则椭圆的离心率. （2）由题解得，所以椭圆的方程为， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以，又点在椭圆上，所以， 故，为定值. 50．（2025·海南三沙·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.    (1)求椭圆标准方程. (2)求点的轨迹方程. (3)点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，，当位于上下顶点时取得最大值， 所以解得， 所以椭圆标准方程为. （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得共线， 则， 连接，由于分别为的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 轨迹方程为.    （3）由题意，设， 由题意不与重合，故设， 联立可得， 由于过圆内定点，故一定有两个交点， 则韦达定理，则 直线，直线， 联立，可得， 由韦达定理可得， 所以， 即， 所以直线，的交点在定直线上.    51．（2025·河南商丘·二模）在平面直角坐标系中，双曲线，离心率为，点是上任意一点． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 因为离心率， 所以，解得， 所以的方程为. （2）证明： 如图所示，设，为渐近线，为渐近线， 直线方程为，联立， 解得，则， 同理可得，则. 因为直线斜率， 所以，则， 则平行四边形的面积， 因为点在双曲线上， 所以，即，故 所以平行四边形的面积为定值. （3）设，，由可得，， 所以直线的方程为. 由在直线上，得， 解得，同理可得， 所以均满足方程，联立， 消去得，则，， 所以. 因为到直线的距离， 所以面积 . 因为， 所以，当且仅当，时等号成立， 故面积的最小值 52．（2025·吉林通化·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，. （ⅰ）求动点的轨迹方程； （ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）由双曲线，则渐近线方程为， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，即， 将点代入双曲线的方程可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意可知分别过的两条切线斜率存在，设为，设则M不在双曲线渐近线上， 则切线方程为， 代入，化简可得， 由得， 整理得， 设的斜率为，的斜率为， 则为的解， 因为，则，故即， 又因为M不在双曲线渐近线上，所以，可得， 故动点的轨迹方程为. （ii）设，由题设不为顶点， 由（i）可得， 且由可得， 故，故，同理可得， 由两切线垂直，可得，整理可得. 当直线的斜率存在时，设直线， 代入，可得， ，且， 由韦达定理可得， 则， 代入韦达定理可得化简可得，此时， ， 又，同理， 故，， 故，同理， 故， 因为在的同一侧，故， 故 ， 由可得且， 则. 当的斜率不存在时，则，故，， 由对称性可得不妨设在第一象限，则，故， 此时，，故， 综上所述，的最大值为. 考向10探索性问题 53．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)存在. 【分析】 【详解】（1）因为轴时，， 所以点在椭圆上，则， 又，联立解得， 所以椭圆的方程为：． （2）当的斜率为零时，为椭圆长轴端点， ， 则， 当的斜率不为零时，设的方程为：， 设， 由消去得， ， 所以， 又， 则， 因此，即， 所以． （3）根据题意得，，， ， 则， 同理， 而，， 由（2）知， 于是，， 所以， 整理得，则或（舍去）， 因为，而， 解得，即，所以存在点满足题意． 54．（2025·陕西西安·一模）我们把椭圆和称为“相似椭圆”，“相似椭圆”具有很多美妙的性质．已知，过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为、，切线、与椭圆另一个交点分别为．    (1)设，证明：直线是过的椭圆的切线； (2)求证：点是线段的中点； (3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）由消去整理得，而， 则，于是， 又点的坐标满足直线方程， 所以直线是过A的椭圆的切线. （2）由（1）得直线的方程为，设点， 由消去整理得，而， 则，于是，又点在直线上， 所以点是线段的中点. （3）假设存在常数使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上，令， 由点在直线与直线上，得， 则点的坐标都满足方程，即直线的方程为， 由消去整理得，而， 则，，同理，消去得， 由（2）得，中点， 由点在椭圆上，得， 即， 则，即， 整理得，而，解得， 所以存在常数，使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上. 55．（2025·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一动点，且面积最大值为3. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点. （i）若中点的横坐标为，求的值； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一点，使得四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】 【详解】（1）因为离心率为，所以， 由题意可知，当点为短轴端点时，的面积最大，即， 又，联立解得，， 故椭圆的方程为. （2）（i）设，， 联立，消去得， 由，得， 由韦达定理，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； （ii）存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为.    56．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是C的一条渐近线，以为直径的圆与相交于两点，四边形的面积为. (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线m：的垂线（点A，B分别位于m的左、右两侧），垂足分别为P，Q，分别记，，的面积为，，. ①求证：直线过定点； ②试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析②存在， 【分析】 【详解】（1）由双曲线的渐近线：，得出，即， 设焦距为，由得， 因为， 所以四边形为矩形，其面积为， 由题意可得，为等边三角形，则， 在直角中，有， 则，解得， 则，， 故双曲线的标准方程为. （2）如图，设直线交直线于点，连接并延长交轴于点. ①设，，则，， 设直线的方程为：， 则， 直线的方程为：， 化简得：（*）， 联立直线与双曲线的方程并化简得， 则，（由和解得）， 则， 故（*）式可化简， 即直线过定点； ②存在，使得，证明如下： ，，， 则，又， 则，又由得，， 则， 故存在实数，使得. 57．（2025·广东东莞·一模）已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. (1)求的最小值； (2)设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； (3)已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设，，， ， 当时，的最小值为； （2），与椭圆：联立，   ，即， ，得， ，与椭圆：联立， ，， 得， 因为四边形为梯形，所以，所以， 于是，即， 整理为，整理为， 解得：， 故存在点，使得四边形为梯形； （3）由题设可知，一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外，    在直线上四点满足：, 由，消去得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系，得，， ， 所以，点到的距离， 则， 当且仅当，即时等号成立， 验证可知满足题意，因为，所以. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 圆锥曲线解答题十大考法归类及解题策略 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 圆锥曲线解答题综合 3 真题动向 必备知识 知识1弦长问题 知识2中点弦问题 知识3直线过定点问题 知识4定值问题 知识5定直线问题 知识6圆锥曲线最值范围问题处理策略 知识7圆锥曲线的切线方程 命题预测 考向1中点弦、弦长问题 考向2斜率的和差积商的定值问题 考向3面积、线段长、角度的定值问题 考向4直线过定点问题 考向5以线段为直径作圆过定点问题 考向6定直线问题 考向7长度、面积的最值及范围问题 考向8斜率、向量的最值及范围问题 考向9切线及切点弦问题 考向10探索性问题 命题轨迹透视 近三年，圆锥曲线解答题多位于解答题中后段，不再固定为压轴/次压轴，部分卷型相关考点也会出现在16题，整体难度有所下调，核心载体仍为椭圆、抛物线，双曲线仅作辅助考查。题型以“基础求方程+综合设问”为主，第二问侧重定点定值、最值范围，融合直线、圆、向量知识，少与导数交汇，计算量降低，更侧重思维的灵活性。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 解答题综合 一卷T18，17分 二卷T16，15分 I卷T16，15分 II卷T19，17分 甲卷T20，12分 甲卷T20，12分 乙卷T20，12分 I卷T22，12分 II卷T21，12分 2026命题预测 2026年全国卷圆锥曲线解答题大概率仍居解答题中后段，难度保持适中，椭圆、抛物线为主要考查载体。第一问仍以基础求曲线方程为主，第二问侧重定点定值、最值范围类设问，多融合直线、圆、向量知识。整体计算量不会过大，更侧重基础方法的灵活运用，需熟练掌握韦达定理、设而不求等技巧，将几何条件转化为代数运算，注重对数形结合、转化化归思想的考查。 考点一 圆锥曲线解答题综合 1．（2025·全国二卷·高考真题，16，15分）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 2．（2023·全国甲卷·高考真题，20，12分）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 3．（2025·全国一卷·高考真题，18，17分）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 4．（2024·全国甲卷·高考真题，20，12分）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，16，15分）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 6．（2023·全国乙卷·高考真题，20，12分）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，22，12分）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，21，12分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 知识1弦长问题 设直线交圆锥曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 知识2中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 知识3直线过定点问题 ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 知识4定值问题 解题步骤：①先设出直线方程（注意斜率不存在单独验证），将其与圆锥曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值。 知识5定直线问题 核心是 “转化目标→设参化简→锁定直线方程”。 首先明确是 “动直线过定点” 还是 “动点轨迹为定直线”，确定待求直线的表达形式（如）；接着合理设参（如动直线斜率、截距或动点坐标），避免参数冗余；随后将直线与圆锥曲线方程联立，用韦达定理表示根与系数的关系；再用参数推导直线的斜率、截距或动点坐标关系，代入韦达定理结果化简，消去参数得到系数固定的直线方程；最后对直线斜率不存在、参数取特殊值的情况验证，确保定直线唯一且成立。 知识6圆锥曲线最值范围问题处理策略 圆锥曲线的最值范围问题是高频考点，核心思路是依托几何性质、代数运算或函数转化，构建不等关系或求函数值域，具体策略如下： （1）利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系。椭圆、双曲线、抛物线各自有明确的几何特征，如椭圆上点到中心的距离范围、双曲线的渐近线约束等，可直接结合这些性质确定参数范围。同时，直线与圆锥曲线相交时，联立方程后根的判别式（有交点）或（无交点），是构建不等关系的常用手段，能快速锁定斜率、截距等参数的取值边界。 （2）通过参数转化与隐含条件推导范围。若已知某一参数的范围，可建立其与待求参数的等量关系，利用“代入法”将待求参数表示为已知参数的表达式，再根据已知参数的限制推导目标范围。此外，题目常隐含不等条件，如点在曲线内/外的约束、线段长度非负、角度范围等，需深入挖掘这些隐含信息，转化为不等式求解。 （3）借助函数值域与已知不等关系求解。将待求量（如距离、斜率、面积等）转化为单一变量的函数，通过分析函数的单调性、最值（利用配方法、基本不等式、导数等）确定值域，进而得到参数范围。若题目直接给出不等关系（如“某量大于等于2”），可直接据此建立不等式，结合圆锥曲线方程化简求解，确保结果符合曲线自身的范围限制（如椭圆中的取值区间）。 解题时需灵活结合几何直观与代数运算，兼顾曲线自身约束和题目条件，避免遗漏特殊情况（如直线斜率不存在、参数取边界值等），确保范围求解准确全面。 知识7圆锥曲线的切线方程 （1）过圆上一点的切线方程：； （2）过椭圆上一点的切线方程：； （3）过双曲线上一点的切线方程：； （4）过抛物线上一点的切线方程：. 注：替换的规则是. 圆锥曲线的切点弦 定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. 切点弦方程： （1）设为圆外一点，则切点弦方程为：； （2）设为椭圆外一点，则切点弦方程：； （3）设为双曲线外一点，则切点弦方程：； （4）设为抛物线外一点，则切点弦切线方程：. 考向1中点弦、弦长问题 1．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 2．（2025·四川德阳·二模）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 3．（2025·黑龙江伊春·二模）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知双曲线的焦距为8． (1)求M的方程； (2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦的中点为?若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由． (3)若直线与M交于C，D两点，且为整数，求m的最小值． 考向2斜率的和差积商的定值问题 6．（2025·湖北十堰·一模）已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 7．（2025·辽宁锦州·一模）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)若点，过点A的动直线l交抛物线C于P、Q，直线PB交抛物线C于另一点R，连接QB并延长交抛物线于点S．证明直线QR与直线PS的斜率之和为定值． 8．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 9．（2024·安徽铜陵·一模）设椭圆，其中.四个顶点分别为､，左､右焦点分别为. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值； (3)若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，请问是否为定值？请说明理由. 10．（2025·山东济宁·二模）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 考向3面积、线段长、角度的定值问题 11．（2024·四川资阳·一模）已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点. (1)求的方程； (2)若直线OM，ON的斜率之积为，求的值； (3)若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 12．（2025·海南儋州·模拟预测）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2. （1）求曲线的方程； （2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论. 13．（2024·湖南岳阳·二模）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 14．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点 (1)用p表示A，B之间的距离； (2)证明：的大小是与p无关的定值，并求出这个值. 15．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为． (1)求的方程； (2)设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值． 16．（2025·山西临汾·模拟预测）已知椭圆的标准方程，离心率为，过左焦点且与轴垂直的直线被椭圆所截得的弦长为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，不过原点的直线与椭圆交于点. （i）若，点在椭圆上，且，求的值； （ii）若直线的斜率分别为.且.证明：为定值. 考向4直线过定点问题 17．（2025·广西钦州·二模）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 18．（2025·甘肃平凉·二模）已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 19．（2024·河南漯河·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 20．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 21．（2025·黑龙江双鸭山·二模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． (1)求抛物线E的方程； (2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 22．（2025·山东淄博·二模）已知抛物线的准线为，点到的距离为3.过点作两条直线， 其中斜率为 的直线与交于、两点，斜率为 的直线与交于、两点，其中点均在第四象限. (1)求抛物线的方程; (2)若，证明: ; (3)若直线经过点，证明直线经过定点，并求出该定点坐标. 考向5以线段为直径作圆过定点问题 23．（2024·广东惠州·二模）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若直线是在点处的切线，与相交于点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在定圆，使与交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求的方程；若不存在，说明理由． 24．（2025·陕西商洛·二模）已知椭圆右顶点为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不过点的直线与椭圆交于、两点． （i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积； （ii）证明：的外接圆经过两个定点． 25．（2025·山东济南·一模）已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D．判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． 26．（2024·河南信阳·二模）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 27．（2025·宁夏固原·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在的右支上，且，直线不过点，与交于两点. (1)求的方程； (2)①若，求直线的方程； ②经过三点的动圆是否过异于的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由. 28．（2025·河北承德·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 29．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 考向6定直线问题 30．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上. 31．（2025·吉林吉林·二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上. 32．（2024·海南海口·一模）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，M是椭圆上一点，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于P，Q两点，R为线段中点. （ⅰ）求点R的轨迹方程； （ⅱ）点O为坐标原点，射线与椭圆交于点S，点G为直线上一动点，且，求证：点G在定直线上. 33．（2025·广东云浮·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 34．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知定点，过点作直线轴于点是直线（为坐标原点）上任意一点，过作轴于点，作于点，直线与相交于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于两点，证明：直线与直线的交点在定直线上. 35．（2024·陕西汉中·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 考向7长度、面积的最值及范围问题 36．（2025·陕西宝鸡·一模）椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 37．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 38．（2025·四川乐山·模拟预测）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 39．（2024·浙江杭州·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长是焦距的2倍，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为． （i）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，以为邻边作，求线段长度的取值范围． 40．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)求线段长度的最小值. 41．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）已知抛物线的焦点为．点在抛物线上，且． (1)求； (2)过焦点的直线交抛物线于两点，原点为，若直线分别交直线：于两点，求线段长度的最小值． 考向8斜率、向量的最值及范围问题 42．（2025·陕西安康·二模）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设直线的斜率为，若恒与圆相交，交点为，求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 43．（2025·云南曲靖·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合. (1)已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数； (2)记直线与直线的斜率分别是，. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由. 44．（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上． (1)求C的方程； (2)若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求； (3)若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：． 45．（2025·甘肃陇南·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 考向9切线及切点弦问题 46．（2025·四川雅安·二模）若抛物线的焦点到直线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)若点在抛物线上，证明：直线为抛物线的切线； (3)若内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，求证：边所在直线与抛物线相切. 47．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，焦点关于准线的对称点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)从焦点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射. ①证明：反射光线平行于抛物线的对称轴； ②若直线与抛物线交于另一点（异于点），证明：抛物线在点和处的切线互相垂直，且两条切线的交点在准线上. 48．（2025·湖南常德·一模）已知直线恒过椭圆的一个焦点，且的短轴长为2，圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴圆”. (1)求椭圆和其“伴圆”的方程； (2)点为“伴圆”与轴正半轴的交点，过点作椭圆的切线，，求证：. 49．（2025·山东青岛·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆.以且代替椭圆得到椭圆的方程. (1)求椭圆的离心率： (2)设为上异于其左､右顶点的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值. 50．（2025·海南三沙·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.    (1)求椭圆标准方程. (2)求点的轨迹方程. (3)点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程. 51．（2025·河南商丘·二模）在平面直角坐标系中，双曲线，离心率为，点是上任意一点． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值． 52．（2025·吉林通化·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，. （ⅰ）求动点的轨迹方程； （ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值. 考向10探索性问题 53．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 54．（2025·陕西西安·一模）我们把椭圆和称为“相似椭圆”，“相似椭圆”具有很多美妙的性质．已知，过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为、，切线、与椭圆另一个交点分别为．    (1)设，证明：直线是过的椭圆的切线； (2)求证：点是线段的中点； (3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 55．（2025·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一动点，且面积最大值为3. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点. （i）若中点的横坐标为，求的值； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一点，使得四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 56．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是C的一条渐近线，以为直径的圆与相交于两点，四边形的面积为. (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线m：的垂线（点A，B分别位于m的左、右两侧），垂足分别为P，Q，分别记，，的面积为，，. ①求证：直线过定点； ②试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 57．（2025·广东东莞·一模）已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. (1)求的最小值； (2)设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； (3)已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $