专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（13大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

高考二轮数学讲练测 专题07 函数与导数核心考点深度剖析 与压轴题解答策略 目录 01 03 05 02 04 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 知识梳理·方法技巧 真题研析·精准预测 核心精讲·题型突破（12大题型，1个重难点） 2 考点要求 目标要求 考题统计 不等式 掌握技巧，灵活应用求解 2024年天津卷第20题，16分 2023年I卷第19题，12分 2023年甲卷第21题，12分 2023年天津卷第20题，16分 2022年II卷第22题，12分 极最值 明确概念，掌握求解方法 2024年II卷第16题，15分 2023年乙卷第21题，12分 2023年II卷第22题，12分 恒成立与有解 理解概念，熟练转化求解 2024年I卷第18题，17分 2024年甲卷第21题，12分 2022年 北京卷第20题，12分 2021年天津卷第20题，16分 2020年I卷第21题，12分 考情透视·目标导航 考点要求 目标要求 考题统计 零点问题 理解原理，熟练求解应用 2022年甲卷第21题，12分 2022年I卷第22题，12分 2022年乙卷第20题，12分 考情分析与命题预测 函数与导数在高中数学中占据重要地位，不仅是重点考查内容，也是高等数学的基础。通过对近十年高考数学试题的分析，可以总结出五大核心考点：一是含参函数的单调性、极值与最值问题；二是函数的零点求解问题；三是不等式恒成立与存在性的探讨；四是函数不等式的证明技巧；五是导数中涉及三角函数的问题。其中，函数不等式证明中的极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题以及不等式的放缩技巧，是当前高考函数与导数压轴题的热门考点。 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 5 1.对称变换 主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的 极值点 (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ， 则令 (3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性. (4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系. 知识梳理·方法技巧 6 (5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与 之间的关系，进而得到所证或所求. 【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与的大小，得出 所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负. 构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质 之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数 的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性 解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识， 并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数， 利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往 往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 知识梳理·方法技巧 7 2.应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 3. 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数 的单调性证明题中的不等式即可. 知识梳理·方法技巧 8 1.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知函数 (1)当时，求的极值； 当时，， 故， ∵在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 真题研析·精准预测 真题研析 9 (2)当时，，求的取值范围. ， 设，则， 当时，，故在上为增函数，故，即， ∴ 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上， 真题研析·精准预测 真题研析 10 3.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， ∴切线方程为，即 真题研析·精准预测 真题研析 11 (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. ∵的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得，∴的取值范围为； 真题研析·精准预测 真题研析 12 4.(2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知函数 (1)若，且，求的最小值； 时，，其中， 则， ∵，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， ∴的最小值为 ， 真题研析·精准预测 真题研析 13 (2)证明：曲线是中心对称图形； 定义域为，设为图象上任意一点， 关于的对称点为， ∵在图象上，故， 而， ∴也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为 真题研析·精准预测 真题研析 14 (3)若当且仅当，求的取值范围. 由题知为的一个解，∴即， 先考虑时，恒成立.即在上恒成立，设，则在上恒成立， 设，故即在上恒成立. 当时，，故恒成立，故即在上恒成立.当，则当时， ，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为 综上， 真题研析·精准预测 真题研析 15 核心精讲·题型突破 含参数函数单调性讨论 题型1 不等式恒成立问题 题型7 导数与数列不等式的综合问题 题型2 极值点偏移问题与拐点偏移问题 题型8 双变量问题 题型3 利用导数解决一类整数问题 题型9 证明不等式 题型4 导数中的同构问题 题型10 极最值问题 题型5 洛必达法则 题型11 零点问题 题型6 导数与三角函数结合问题 题型12 题型一：含参数函数单调性讨论 【典例1-1】设， (1)若，求在处的切线方程； 若，则，， 又，故， ∴在处的切线方程为， 即； 核心精讲·题型突破 题型突破 17 (2)若，试讨论的单调性. ，当时，，令，解得，令，解得，∴在上单调递减，, 上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，令，解得，或，令 解得， ∴在，,上单调递增，, 上单调递减； 当，令，解得，或，令解得， ∴在，,上单调递增，, 上单调递减. 综上：当时，∴在上单调递减，, 上单调递增； 当时，∴在，,上单调递增，, 上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，∴在，,上单调递增，, 上单调递减. 核心精讲·题型突破 18 1.导函数为含参一次型的函数单调性 导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间. 2.导函数为含参二次型函数的单调性 当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转 化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况： (1)若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； (2)若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性 核心精讲·题型突破 19 3.导函数为含参二阶求导型的函数单调性 当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导， 使解题思路清晰.“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器. 在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的. (1)二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性； (2)通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性. 核心精讲·题型突破 20 【变式1-1】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 当时，， 求导得，则， 即切线的斜率为，又， 故曲线在点处的切线方程为， 化简得 核心精讲·题型突破 21 求导得， 当时，在R上恒成立，∴在R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)讨论的单调性. 核心精讲·题型突破 22 1.已知函数讨论当时，的单调性. 由题意，则， 当时，对于，则恒成立， 在上单调递减. 当时，当时，在上单调递增；当时，，在和 上单调递减. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在和 上单调递减. 核心精讲·题型突破 命题预测 23 题型二：导数与数列不等式的综合问题 【典例2-1】[新考法]陕西榆林·模拟预测)不动点在数学和应用中具有重要作用， 不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数，我们把满足的称为函 数的不动点，已知函数 (1)证明：在有唯一的不动点； 令，则，，，∴当时，在上递减， 而，故在有唯一的零点， 即在有唯一的不动点 核心精讲·题型突破 题型突破 24 (2)已知，且的前项和为 证明：①为递增数列，为递减数列，且；② ①∵，∴，在R上单调递增； ，∴， 而在的不动点为，∴， 假设时，成立， 则，即成立， 结合可得：对于任意恒成立， 故为递增数列，为递减数列，且； 核心精讲·题型突破 25 (2)已知，且的前项和为 证明：①为递增数列，为递减数列，且；② ② ， ∵，∴，因此，即， 故 在 解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到减少运算量的目的. 核心精讲·题型突破 26 【变式2-1】[新考法]高三·辽宁·开学考试)已知函数 (e是自然对数 的底数). (1)若，求的极值； 由题意得， 则，为减函数， 令得， ∴当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴在处取得极大值，极大值为，无极小值； 核心精讲·题型突破 27 (2)若，求； ∵，∴， 从而， ∴，即， 设，注意到， ∴，即为的极大值点， 由，令，解得， 检验，当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴成立，综上，； 核心精讲·题型突破 28 (3)利用(2)中求得的，若，数列满足，且 ，证明： 由(2)得，从而，， 则，令，解得，令，解得， ∴，∵，∴，，， 令，则， ∴在上单调递减，且， ∵，又，∴， ∴， ∴，即， ∴，故， 又，∴，即，证毕. 核心精讲·题型突破 29 1.牛顿(1643-1727)给出了牛顿切线法求方程的近似如图设是的一个零点，任 意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交 点为横坐标为，称为的1次近似值，过点作曲线的切线， 与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点作曲线 的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似 值，称数列 为牛顿数列.(1)若的零点为，， 请用牛顿切线法求的2次近似值； ，∴ 当，∴ 当，∴的2次近似值为 核心精讲·题型突破 命题预测 30 (2)已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列， 数列满足，且 设，求的解析式；证明： ∵二次函数有两个不等实根,∴不妨设， 则， ∵∴ ∴在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即， ∴ 核心精讲·题型突破 31 (2)已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列， 数列满足，且 设，求的解析式；证明： 由知， ∴ ∵∴∴ 令则，又 ∴，数列 是公比为2的等比数列. 令，则 当时，， ∴，即 ∵∴即 核心精讲·题型突破 32 题型三：双变量问题 【典例3-1】已知函数 (1)求函数的最值； 函数的定义域为 令，解得；令，解得 ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴ ∴无最大值，最小值为； 核心精讲·题型突破 题型突破 33 (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证： ， ∵有两个不同的极值点，∴， 欲证，即证，又，∴原式等价于①.由，,得②.由①②知原问题等价于求证，即证 令，则，上式等价于求证 令，则， ∵，∴恒成立，∴单调递增，， 即，∴原不等式成立，即 核心精讲·题型突破 34 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 核心精讲·题型突破 35 【变式3-1】高三·江苏无锡·期中)已知函数 (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； 易知，令，则， 显然时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则，即； 核心精讲·题型突破 36 (2)过点可以作曲线的两条切线，切点分别为 ①求实数的取值范围； ②证明：若，则 ①设切点，易知，，则有， 即， 令，则有两个交点，横坐标即分别为， 易知，显然时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且时有，时也有，， 则要满足题意需，即； 核心精讲·题型突破 37 ②由上可知：，， 令， 则始终单调递减，∴，即，∴，∴，不难发现，，∴由弦长公式可知， ∴， 设 ∴由，即 ，证毕. (2)过点可以作曲线的两条切线，切点分别为 ②证明：若，则 核心精讲·题型突破 1.已知函数 (1)若直线与函数的图象相切，求实数的值； ，定义域为 设切点， 且， 解得，，故实数的值为2； 核心精讲·题型突破 命题预测 39 (2)若函数有两个极值点和，且，证明： (e为自然对数的底数) ∵有两个极值点和，∴至少有两个不相等的正根. 令，令，得， 当时，取最大值 则至多两个零点，要使有两个零点， 必有， 由，作差得①， 令，由得，则，代入①式得， ，则，故转化为，， 只需证，即证： 令，， ，，，在上单调递增，，其中，故，，即不等式得证. 核心精讲·题型突破 40 题型四：证明不等式 【典例4-1】高三·四川·期中)已知函数 (1)当时，求的单调区间； 解， 令，得时，，当时，， 故单调递增区间为，单调递减区间为 核心精讲·题型突破 题型突破 41 (2)若，证明： ， 要证明，则只需证明， 令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， 当时，在区间上单调递减， ，即， 当时，得证. 核心精讲·题型突破 42 利用导数证明不等式问题，方法如下： (1)直接构造函数法：证明不等式(或)转化为证明 (或)，进而构造辅助函数； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. (4)对数单身狗，指数找基友 (5)凹凸反转，转化为最值问题 (6)同构变形 核心精讲·题型突破 43 【变式4-1】已知函数().(1)讨论函数的单调区间； ， ①当时，当时，时，， ∴的递增区间是，递减区间为； ②当时，当时，时，， ∴的递增区间是，递减区间为； ③当时，的递增区间是，无减区间； ④当时，当时，时，， ∴的递增区间是，递减区间为 综上，当时，的递增区间是()，递减区间为； 当时，的递增区间是，递减区间为； 当时，的递增区间是，无减区间； 当时，的递增区间是，递减区间为 核心精讲·题型突破 44 (2)当时，证明： 当时，，由题意可得，只需证明 ，令， 则， 令，易知在上单调递增， ， 故存在，使得，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值. ， ∴，即当时， 核心精讲·题型突破 45 1.已知函数 (1)当时，求函数在的切线方程； 当时, ，∴ 得，点处的切线斜率为， ∴函数的图像在点处的切线方程为：， 即： 核心精讲·题型突破 命题预测 46 (2)讨论的单调性； 由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 核心精讲·题型突破 47 (3)证明：当时， 由(2)可知，当时， 的最小值 要证，只需证，只需证， 设 则，令得 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增. ∴在处取最小值，且， ∴得证，即得证. 核心精讲·题型突破 48 题型五：极最值问题 【典例5-1】已知函数 (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； 的定义域为， 在上单调递增， 在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ； 核心精讲·题型突破 题型突破 49 (2)若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 由题意，由韦达定理得，， ，又，得， ，设()， 则， 在上单调递减， 又，， ， 即的取值范围为 核心精讲·题型突破 50 利用导数求函数的极最值问题.解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值.只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作. 核心精讲·题型突破 51 【变式5-1】高三·天津·期末)已知函数 (1)求函数在处的切线方程； ∵，∴ ∴， ∴函数在处的切线方程为：，即 核心精讲·题型突破 52 (2)令 讨论函数极值点的个数； 若是的一个极值点，且，证明： ∵，().∴，() 当时，在上恒成立，∴函数在上是增函数，不存 在极值点；当时，设，则在上恒成立.∴在上是增函数. 又，，∴唯一存在，使得 当时，，∴，∴在上单调递减； 当时，，∴，∴在上单调递增. ∴是函数唯一的极小值点，无极大值点. 综上：当时，无极值点；当时，只有1个极小值点. 核心精讲·题型突破 53 ∵是的一个极值点，由可知，且 ∴ ∵，∴ 设，，则，则在上为减函数， 且，由，∴ 设，则，由；由 ∴在上为增函数，在上单调递减，且 ∴，∴ ∴ ∵，∴，， 相乘得： ∴ (2)令 若是的一个极值点，且，证明： 核心精讲·题型突破 54 1.已知函数 (1)判断在区间上的单调性； 由已知可得，， 当时，， 令，， 当时，单调递增，此时， 当时，，即， 在上单调递增. 核心精讲·题型突破 命题预测 55 (2)求在区间上的极值点的个数. 令，当时，，， ∴ 令，，令，则，令，得， ∴当时，， ∴在上单调递减，此时 ∴当时，，单调递减，， ∴，使，即在内有1个极值点. 核心精讲·题型突破 56 (2)求在区间上的极值点的个数. 令，当时，由，得到 令， 当时，，则， ∴ 令，则， 由(1)中的得，∴，， ∴，当且仅当时等号成立，∴当时， ， ∴在上单调递增，此时 ∴当时，，单调递增. 核心精讲·题型突破 57 (2)求在区间上的极值点的个数. 又， ∴使，∴在上单调递减，在上单调递增. 又，∴又， ∴使，即在内有1个极值点. 综上，在内的极值点的个数为2. 核心精讲·题型突破 58 题型六：零点问题 【典例6-1】已知曲线在处的切线方程为 (1)求； ， ， ∴,解得 核心精讲·题型突破 题型突破 59 (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. ， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， ， 当时，，∴在上单调递减， 当时，，∴在上单调递增， ∴时，取得极小值， 又时，,时，， ∴实数的取值范围为 核心精讲·题型突破 60 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴 (或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 核心精讲·题型突破 61 【变式6-1】已知 (1)当时，求曲线在点处的切线方程. 由题可得，函数的定义域为，， 当时，，， 故切点为，切线在该点处的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即 核心精讲·题型突破 62 (2)若恰有1个极大值点和1个极小值点. ①求极大值与极小值的和； ②判断零点的个数. 由(1)得，令， 若，∴在上单调递增，故没有极值点， 若，此时或，当时在上单调递增，则没有极值点；当时的单调递增区间为，， 当时，，∴，∴的单调递减区间为，故 有极大值点，极小值点 故恰有1个极大值点和1个极小值点. 核心精讲·题型突破 63 (2)若恰有1个极大值点和1个极小值点. ①求极大值与极小值的和； ②判断零点的个数. ① ，故极大值与极小值的和为0. ②由①知，，，则， 又由①知，在，上单调递增，在上单调递减， ∵，∴，，当时，；当时， ， 故在，上各有一个零点，又，∴有3个零点. 核心精讲·题型突破 64 1.已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； 由题设，则， 又，则在、上，在上， ∴的递增区间为、，递减区间为 核心精讲·题型突破 命题预测 65 (2)设，求证：当时，有且仅有2个不同 的零点.(参考数据： 3.162,4.445) 等价于与在上有2个交点，且， ①当时，存在，且图象连续且单调递增， ∴在上有且仅有1个零点，即使， ∴在上存在唯一极小值点，则， 记，则，故在上单调递减， ∴，故上恒成立，则， 综上，时，与在上有1个交点； 核心精讲·题型突破 66 (2)设，求证：当时，有且仅有2个不同 的零点.(参考数据： 3.162,4.445) ②当时，，即在 上单调递增， 而在上递增，故在上递增， 而，由①知， ∴时，与在上有1个交点； ③当时，， 令，则，即在 上单调递增， ∴ 2.162＞2， ∴时，与在 上无交点； 综上，时，与在上有2个交点， 即当时，有且仅有2个不同的零点，得证. 核心精讲·题型突破 67 题型七：不等式恒成立问题 【典例7-1】高三·天津滨海新·期末)已知函数， (1)当时，求函数的单调区间； 当时，函数的定义域为，求导得 ， 由，得；由，得， ∴函数的递减区间为，递增区间为 核心精讲·题型突破 题型突破 68 (2)若存在时，使成立，求的取值范围. 依题意，，则 ， 于是存在，成立，设 ， 则，函数在 上递增， ， ∴ 核心精讲·题型突破 69 (3)若不等式对任意恒成立，求实数的 取值范围. 依题意，对任意 恒成立， 即对任意 恒成立， 设，则对任意 恒成立， 下面证明对任意 恒成立， 设，，求导得，当且仅当时取等 号，函数在上单调递减，则，即，于是对任意恒成立，只需在 上单调递增，即在上恒成立，则在上恒成立，因此， ∴实数的取值范围为 核心精讲·题型突破 70 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： (1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； (2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； (3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰 到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求 解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解： (1)，；(2)，； (3)，；(4)， 核心精讲·题型突破 71 3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，， (1)若，，有成立，则； (2)若，，有成立，则； (3)若，，有成立，则； (4)若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 核心精讲·题型突破 72 【变式7-1】已知函数 (1)求的极值； ∵的定义域为， ∴，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， ∴在处取得极大值，无极小值. 核心精讲·题型突破 73 (2)设 当时，求函数的单调区间； ∴函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得或； 由，解得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得函数在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为 ；当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无减区间； 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为 核心精讲·题型突破 74 (2)设 若在上恒成立，求实数的取值范围. 在上恒成立可转化为在上恒成立， 设，，则， 令，则， ∴函数在上单调递减，又，， 则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，得， 则， ∴，即实数的取值范围为 核心精讲·题型突破 75 1.已知，函数， (e是自然对数的底数). (1)讨论函数极值点的个数； 当时，由知单调递增，∴极值点的 个数为0； 当时，对有，对有， ∴在上递减，在上递增，∴恰有1个极值点 综上，当时，极值点的个数为0； 当时，极值点的个数为1； 核心精讲·题型突破 命题预测 76 (2)若对任意的恒成立，求实数的值； 根据已知有，∴，故 此时由(1)中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，∴ ，即 当时，由(1)中得到的单调性知在处取得最小值，∴ ，确实满足条件. 综上，的值为1. 核心精讲·题型突破 77 (3)在第(2)小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围. 此时，，根据(2)的结论，我们有 设，则 再设，则 情况一：若，则对有，故 在上递增，从而对有 从而在上递增，这就意味着对都有 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有 故在上递减，从而对有 从而在上递减，这就意味着，∴存在 使得，满足条件.综合以上两种情况，可知的取值范围是 核心精讲·题型突破 78 题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【典例8-1】已知函数 (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； 定义域均为，，令，解 得：， ∴在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且；又，令，解得：， ∴在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且，∴，解得： 核心精讲·题型突破 题型突破 79 (2)若，求证： 令，∵，∴，由可得： 由(2)得：，∴， 要证：，只要证：，只要证：， 不妨设，∴只要证：， 即证：，令，只要证：， 令， ∴在上单调递增，∴， 即有成立，∴成立 核心精讲·题型突破 80 1.极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同， 使得函数图像没有对称性.若函数在处取得极值，且函数与直线 交于两点，则的中点为，而往往 如下 图所示. 核心精讲·题型突破 81 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程 的解分别为，且，(1)若，则称函数在区间 上极值点偏移； (2)若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左 偏； (3)若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏. 核心精讲·题型突破 82 【变式8-1】已知函数， (1)讨论函数的单调性； 若，当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 若，当时，，即在(，上均单调递增； 当时，，即在上单调递减. 若，则，即在上单调递增. 若，当时，，即在，上均单调递增； 当时，，即在上单调递减. 核心精讲·题型突破 83 (2)对实数，令，正实数，满足， 求的最小值. 当实数时，，， ， ， 令，， 由于，知当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增. 从而，， 于是，，即， 而，∴， 而当，时，取最小值6. 核心精讲·题型突破 84 2.[新考法]已知函数 (1)讨论的单调区间； ，，其中，， 当时，即，此时恒成立，函数在区间递增，当时，即或，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上递增，当时，，得或，当，或时，，当时，，∴递增区间是和，递减区间是，综上可知，当时，函数的单调递增区间是；当时函数的递增区间是和， 递减区间是； 核心精讲·题型突破 命题预测 85 (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得 的图象与有三个公共点；①求证：； ①由(1)知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是，有，， 又的图象与有三个公共点， 故则，要证恒成立，故在上单调递增，即， 即恒成立，即得证； 核心精讲·题型突破 86 (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得 的图象与有三个公共点；②求证： ②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，即当时，， 由，故，又，故， 由，，函数在上单调递减，故， 即，又由①知，故， 又， 故 核心精讲·题型突破 87 题型九：利用导数解决一类整数问题 【典例9-1】已知函数 (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； ，令，求导得， 由，得；由，得，函数在上单调递减，在单调递增，则在上单调递减且，， 因此在内有且仅有一个零点；则在上单调递增， 且，， 因此在内有且仅有一个零点；则函数有两个零点，且分别在区间和内，设的两个零点为，当时，，当或时，，则在上单调递减，在，上单调递增，∴有两个极值点，且分别在区间和内. 核心精讲·题型突破 题型突破 88 (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据： 4.11，5.65，， 依题意，， 而，即， 由，得，且为整数，则或0， 核心精讲·题型突破 89 1.已知函数 (1)若曲线在点处的切线的斜率小于1，求的取值范围. ∵，得到， ∴曲线在点处的切线的斜率为， 由题意得，解得，∴的取值范围 核心精讲·题型突破 命题预测 90 (2)若整数使得对恒成立，求整数的最大值. 等价于“当时，恒成立”， 令∴， 令，得， 当变化时，与的变化情况如下表所示： 故函数的最小值， 令，则， ①当时，∵的最小值， ∴对于恒成立，符合题意， ②当时，由，得函数在单 调递减，∴，故此时的最小值，不符合题意， ∴整数的最大值是2. - 0 单调递减 极小值 单调递增 核心精讲·题型突破 91 题型十：导数中的同构问题 【典例10-1】内蒙古·三模)已知函数 (1)讨论的单调性； 的定义域为 关于的方程，∴在上单调递增. 当时，此时，，∴在上单调递增. 当时，令得或，令得， ∴在和递增，在 递减. 核心精讲·题型突破 题型突破 92 (2)若恒成立，求的取值范围. 由，可得，即 令，易知单调递增. 由，可得，则，即 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，∴， ∴，则的取值范围为 核心精讲·题型突破 93 1.同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2.同构式的应用： (1)在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则 可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.＜同构小套路＞ ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找 “亲戚函数” 是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围. (3)在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程 所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与 的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 核心精讲·题型突破 94 1.四川遂宁·模拟预测)已知函数，，直线 为曲线与的一条公切线. (1)求； 设与相切于点，而， 则，即，，则切点为，，即； 设与相切于点，而， ，即，则切点为，，， ∴， 核心精讲·题型突破 命题预测 95 (2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于 三点，其中，且成等差数列，证明： 满足条件的有且只有一个. 依题意，，则，， ，由成等差数列，得，即，，令，求导得， 令，求导得，显然函数在上单调递增，依题意，，则，，，由成等差数列，得，即，， 核心精讲·题型突破 96 (2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于 三点，其中，且成等差数列，证明： 满足条件的有且只有一个. 令，求导得，令，求导得，显然函数在上单调递增，，， 则，使得，即， 当时，；当时，，在上递减，在 上递增，， 由，得，则，即，函数在上单调递增， ，，因此在上存在唯一零点，∴满足条件的有且只有一个. 核心精讲·题型突破 97 题型十一：洛必达法则 【典例11-1】已知函数在处取得极值，且曲线 在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (1)，； 函数在处取得极值，； 又曲线在点处的切线与直线垂直， ； 解得：； 核心精讲·题型突破 题型突破 98 (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令，则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 (或，， 得在是减函数，进而). 可得：，故，∴在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故 核心精讲·题型突破 99 法则1、若函数和满足下列条件： (1)及； (2)在点的去心邻域内，与可导且； (3)，那么 法则2.若函数和满足下列条件： (1)及； (2)，和在与上可导，且； (3)，那么 核心精讲·题型突破 法则3.若函数和满足下列条件： (1)及； (2)在点的去心_邻域_内，与可导且 (3)，那么 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： (1)将上面公式中的，，，洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理，，，，，，型. (3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定 式，否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. (4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 核心精讲·题型突破 101 【变式11-1】设函数如果对任何，都有，求的取值范围. ，若，则； 若，则等价于，即 则 记， 因此，当时，，在上单调递减，且，故，∴在上单调递减， 而 另一方面，当时，，因此 核心精讲·题型突破 102 1.已知函数 (1)若函数在点， (1))处的切线经过点，求实数的值； ， 在点， (1))处的切线的斜率， 切线的方程为， 即，由经过点， 可得 核心精讲·题型突破 103 (2)若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围. 证明：易知为方程的根， 由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可. ①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，，， 令，故在单调递增，在单调递减， 故在单调递减， 从而，，此时方程也无解. 若，由，记，则，设，则有恒成立， 恒成立，故令在上递增，在上递减，可知原方程也无解， 由上面的分析可知时，，方程均无解. 核心精讲·题型突破 104 ②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，和①中的分析同理可知此时方程也无解. 若，由， 记，则，由①中的分析知，故在恒成立，从而在上单调递增， 当时，， 如果，即，则， 要使方程无解，只需，即有 如果，即，此时，，方程一定有解， 不满足.由上面的分析知时，，方程均无解， 综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解， 的取值范围为 核心精讲·题型突破 题型十二：导数与三角函数结合问题 【典例12-1】内蒙古赤峰·二模)已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； 令，则，令， 则，∵，∴， 则在上单调递增，则， ∴当时，，则，∴在上单调递增， 则，即当时，， 又，当时，， 即当时， 综上： 核心精讲·题型突破 题型突破 106 (2)令 求证: 在内无零点. 要证在 内无零点，只需证 由(1)知 只需证； 即证：，即证：， 令，则。 令，则， 当时，，则在上单调递增； ∴当时，，则在单调递增， ∴ 即在内无零点. 分段分析法 核心精讲·题型突破 107 【变式12-1】已知函数，， (1)求证：，； 令，则，由于在上时，，，即在上单调递减，，即； 核心精讲·题型突破 108 (2)若在上单调递增，求的最大值； ， 在 上单调递增， 在上恒成立，即恒成立， 令， ， ， ， ，即函数在 上单调递增， ，， 即的最大值为1； 核心精讲·题型突破 109 (3)设，，，试判断的大小关系. 令，则 当时，，函数在上单调递减， ，即， ， 令， 则 由(1)可得在上单调递增， ， ，即，即，综上所述 核心精讲·题型突破 110 1.已知函数， (1)函数在处与处的切线分别为，，且直线，之间的距离为，求 证； ，，，，，则， 方程为即，方程为即，则， 要证，即证，即证，即，也即证，而 3.，∴成立 核心精讲·题型突破 命题预测 111 (2)若为空集，求实数的取值范围. (2)由题意无实解，即无实数解，即除0以外无 其它实数解，时，方程为有无数解，不合题意， 时，，而，且时，，因此方程除0以外无其它实数解，满足题意，时，方程化为，设，则， 记，则， 当，即时，，是减函数，即是减函数， 又，∴时，，递增，时，，递减， ∴，时，，∴方程除0以外无其它实数解，满足题意，当时，有无数解，设锐角是它的解，则，时，，递增，又，则时，则，即，∴递增，而，∴，又，∴在上有一个零点，即有不是0的根，不合题意，综上，取值范围是 核心精讲·题型突破 112 重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题 【典例13-1】若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称 有下界， 是的一个下界. (1)求函数的下界的取值范围； ∵函数的定义域为，对任意的，，则 ，∵， 令，可得，列表如下： ∴函数的减区间为，增区间为， 则，∴， 因此，函数的下界的取值范围为 0 减 极小值 增 核心精讲·题型突破 题型突破 113 (2)判断是否是下界为的函数，并说明理由； 令，其中，， ∵函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， ∴，故， 因此，函数是下界为的函数. 核心精讲·题型突破 114 (3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值. (参考数据：，) 当时，，则， 令，则， 当时，，，则，∴函数在上为增函数， ∵，∴，∵，， ∴存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， ∴，令，其中， ，∴函数在上单调递减，∴，∴，且， 因此，整数的最大值为 核心精讲·题型突破 115 函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为 背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定 义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函 数的各种相关性质的拓展延伸. 核心精讲·题型突破 116 1.已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰 为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点， ，，则称函数为“切线上界”函数. (1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B； 否则，请说明理由； ， 当，即时， 取得极大值，也是最大值， 中，不妨令和，得和， 故，此时满足AB恰为曲线的切线，且直线与曲线相切于A，B两点， ，，则是“切线上界”函数. 核心精讲·题型突破 命题预测 117 (2)已知为“切线上界”函数，求实数的取值范围； 在上单调递增，在上单调递增， 故不会同在，或，上， 不妨设切点在上，切点在上， 由于，故在处的切线方程为， ，故在处的切线方程为， 两切线为同一切线，故，， 令，， 则， 故在上单调递减， 故，∴； 核心精讲·题型突破 118 (3)证明：当时，为“切线上界”函数. 证明：，，设切点，， 设直线方程为，满足，直线的斜率为， ，故在处的切线斜率为， 在处的切线斜率为，故 化简得， 令，故，∴， ∵，∴， 令，要证时，为“切线上界”函数， 只需证在R上存在不同两点，其函数值相等，即证连续函数在R上不单调即可，令，则， 显然不恒大于等于0或恒小于等于0，故在R上不单调即可，结论得证. 核心精讲·题型突破 119 感 谢 观 看 THANK YOU $$