精品解析：湖北省武汉市第十七中学2025-2026学年高三上学期12月考试数学试卷

高三年级12月考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑）． 1. 设集合，，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（     ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 4. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 5. 数列满足且，则下列结论错误的是（    ） A. B. 是等比数列 C. D. 6. 已知菱形的边长为,,点是上靠近的四等分点,则（ ） A. B. C. D. 7. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答题卡上此题对应的上述选项的标号涂黑） 9. 已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，的夹角为 B. C. 的最小值为 D. 若，则的最大值为5 10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是的图象的一条对称轴 C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D. 在内恰有3个零点 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置） 12. 已知直线和直线，若，则_______ 13. 展开式中的常数项是120，则实数______． 14. 某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得______分的概率最大. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且． （1）求证：平面BCD； （2）若为正三角形，且，求二面角的余弦值． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. （1）求，，的大小； （2）求概率，，满足的关系式； （3）记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.当且时，试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级12月考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑）． 1. 设集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，选A． 2. 已知复数满足，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算出答案. 【详解】因为，所以z= ，所以 故选：C 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式与诱导公式化简得到，再根据三角函数图象平移判断即可. 【详解】 ,该函数的图象可由向右平移个单位长度可得． 故选：A 4. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公式计算. 【详解】因为，所以， 又， 则， ， 则， 所以. 故选：B 5. 数列满足且，则下列结论错误的是（    ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，根据等差数列定义可知是等差数列，利用等差中项性质判断A；利用等比数列定义判断B；由判断C；求解和判断D. 【详解】由数列满足，可得， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故， 对于A，因是等差数列，则是的等差中项， 即，故A正确； 对于B，由，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对于C，由，可得，其中，故C正确； 对于D，由，可得， 则，， 即，故D错误. 故选：D. 6. 已知菱形的边长为,,点是上靠近的四等分点,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选取和为基底, 菱形的边长为,则,,用基底,,分别表示与即可求得. 【详解】画出几何图像: 选取和为基底, 菱形的边长为 ,点是上靠近的四等分点 由 可得: 故选:C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用,考查数形结合思想,求解过程中要注意基底选择的合理性,即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底. 7. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，结合上点与所成直线的斜率大小判断各式的大小关系. 【详解】构造斜率函数 ，即上点与所成直线的斜率， 由题设，构造的斜率都是正数， 由图象知：倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大， 可得：，即. 故选：B 8. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，将恰有5个不同零点转化为与有5个交点即可. 【详解】由题知， 零点的个数可转化为与交点的个数， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示： 所以时有最大值： 所以时，由图可知必有两个交点； 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示： 因为时，已有两个交点， 所以只需保证与有三个交点即可， 所以只需，解得. 故选：D 【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合方便分析求解. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答题卡上此题对应的上述选项的标号涂黑） 9. 已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，的夹角为 B. C. 的最小值为 D. 若，则的最大值为5 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用已知条件求出，利用向量夹角余弦公式得到A正确；利用向量数量积运算公式得到B正确；平方后得到，从而结合二次函数的性质得到C错误；D选项，设向量，得到，根据，求出最值． 【详解】， ，解得， 选项A，设是与的夹角，则，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 当时，的最小值为，故C错误； 选项D，设向量，， ， 设是与的夹角，则，即， 当且仅当共线时取等号， ，故的最大值为5，故D正确． 故选：AD． 10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是的图象的一条对称轴 C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D. 在内恰有3个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得，化简函数，由二倍角公式判断A，用代入法计算判断B，由图象平移变换判断C，直接解方程判断D． 【详解】角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， ， ， 对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为，故C错误； 对于D：令，得 解得，仅，即符合题意， 即在内恰有两个零点，故D错误. 故选：AB. 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先得出平面坐标系中各点坐标，进而得出空间直角坐标系中各点坐标，求出判断A；利用坐标公式计算距离判断BC；计算两个平面的法向量，利用向量角和平面角的关系计算判断D. 【详解】在图1中，由函数的解析式可知 ， 在图2中，建立空间直角坐标系如下图所示： 则，可得， 对于A，因此可知，即A正确； 对于B，易知， 则点到直线的距离为 ，即B错误； 对于C，设平面的一个法向量为， 又，所以， 令，则, 因此平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为 ，故C正确； 对于D，显然平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为 ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置） 12. 已知直线和直线，若，则_______ 【答案】－1 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件求解． 【详解】时，两直线显然不平行，因此， 所以由得，解得， 故答案为：． 13. 展开式中的常数项是120，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 14. 某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得______分的概率最大. 【答案】112 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式结合组合数计算即可. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 易知， 所以，即， 易知时，最大， 所以得分的概率最大. 故答案为：112 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得. 利用 求得； （2）利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 设数列公差为，由成等比数列有： ，解得：， 所以， 数列， 当即，，解得：， 当时，有，所以， 得：.又， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 ， ， ， 得， ， 化简得：. 16. 如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且． （1）求证：平面BCD； （2）若为正三角形，且，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 过P作，交BD于S，过Q作，交CD于R，连接RS， ∵，P是BM的中点， ∴S是BD的中点，且， ∵，，M是AD的中点， ∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面BCD，平面BCD， ∴平面BCD． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定即可证明； （2）作出该二面角的平面角，假设正三角形边长为4，利用勾股定理求出相关线段长，再利用三角函数定义即可得到余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，则，不失一般性，设的边长为4， 则，因为平面BCD，且平面， 则，则， 所以，所以即为二面角的平面角， 因为M是AD的中点，则，，， 则. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角； （2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得； （3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围 【小问1详解】 即 因 ，则，故，解得 . 【小问2详解】 由（1）已得 由为的平分线，可得 设，由可得 ， 即 解得 ，即. 【小问3详解】 方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点， 当点在之间时， 为锐角三角形 ∴，即，因，则得， 的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理，可得 ∵均为锐角 解得 故 可得 故 又 ，的面积的取值范围为 18. 小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. （1）求，，的大小； （2）求概率，，满足的关系式； （3）记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【答案】（1），， （2） （3）的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求得，，然后结合全概率公式可得； （2）由全概率公式即可得解； （3）首先求得，对分奇数、偶数两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.当且时，试比较与的大小. 【答案】（1）递减区间为，无递增区间； （2）； （3）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，再判断其正负求得单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数并求出其值域即得. （3）构造函数，利用导数比较与的大小. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得， 所以函数的递减区间为，无递增区间. 【小问2详解】 任意，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，，则函数在上单调递增， 因此，，所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 令函数，求导得， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，而， 则当时，；当时，， 所以当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $