第02讲 常用逻辑用语（思维导图+3大知识点+8大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以“常用逻辑用语”为核心，通过思维导图系统构建知识体系，将充分必要条件、全称与存在量词、命题的否定等知识点按逻辑关系分层梳理，清晰呈现概念内涵与重难点联系，帮助学生形成结构化认知。 讲义亮点在于题型归纳的全面性与针对性，涵盖充分必要条件判断、参数求解等8类题型，如“根据充要条件求参数”例题结合变式训练，培养逻辑推理素养，“命题的否定”题型强化数学语言表达。过关测试分层设计，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，满足不同学生复习需求。

第02讲 常用逻辑用语 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 4 知识点二：全称量词与存在量词 4 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：充分必要条件的判断 6 题型二：根据充分条件求参数 6 题型三：根据必要条件求参数 7 题型四：根据充要条件求参数 8 题型五：探求充分必要条件 9 题型六：命题的真假判断 9 题型七：命题的否定 10 题型八：根据命题的真假求参数 10 05 过关测试 12 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 知识点二：全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为 ，， 读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词 短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等． 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 ，， 读作“存在中的元素，使成立”． 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题： ，， 它的否定： ，． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 存在量词命题： ，， 它的否定： ，． 存在量词命题的否定是全称量词命题． 题型一：充分必要条件的判断 【例1】（2025·高一·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2025·高一·云南昭通·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【变式1-2】（2025·高一·四川广安·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2025·高一·四川成都·期中）已知命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：根据充分条件求参数 【例2】（2025·高一·广东深圳·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【变式2-1】（2025·高一·江苏宿迁·期中）设全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式2-2】（2025·高一·安徽·期中）已知命题，不等式恒成立，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-3】（2025·高一·河南新乡·期中）已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型三：根据必要条件求参数 【例3】（2025·高一·四川广安·期中）设集合，集合. (1)求集合； (2)若：是：的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式3-1】（2025·高一·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【变式3-2】（2025·高一·重庆·期中）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式3-3】（2025·高一·江西·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型四：根据充要条件求参数 【例4】（2025·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【变式4-1】（2025·高一·湖南长沙·月考）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【变式4-2】（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2025·高一·四川遂宁·月考）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 题型五：探求充分必要条件 【例5】（2025·高三·福建福州·月考）“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 【变式5-1】（2025·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·山西吕梁·二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型六：命题的真假判断 【例6】（2025·高一·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【变式6-1】（2025·高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式6-2】（2025·高一·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【变式6-3】（2025·高一·浙江·期中）下列命题正确的是（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．菱形的两条对角线相等 题型七：命题的否定 【例7】（2025·高一·江苏连云港·期中）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高一·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（2025·高一·河南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（2025·高一·四川广安·期中）设是定义域为的函数，命题：，，则命题的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型八：根据命题的真假求参数 【例8】（2025·高一·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 【变式8-1】（2025·高一·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【变式8-2】（2025·高一·湖南·期中）已知命题，，命题，． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【变式8-3】（2025·高一·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 1．（2025·高一·云南·期中）已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·高一·陕西延安·期中）已知为实数，那么方程没有实数解是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·山西晋中·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·辽宁·月考）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·高一·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·高二·广东湛江·期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·安徽淮北·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2025·高一·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 9．（多选题）（2025·高一·云南昆明·月考）下列命题中，真命题是（　　） A．若“”是“”的充分条件，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“中，”是“为直角三角形”的充要条件 D．“”的一个必要不充分条件为“” 10．（2025·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是 . 11．（2025·高一·陕西商洛·期中）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是 . 12．（2025·高一·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 13．（2025·高一·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 14．（2025·高一·云南玉溪·月考）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 15．（2025·高一·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（2025·高一·山西临汾·月考）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 17．（2025·高一·山西大同·月考）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 18．（2025·高一·云南昆明·月考）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 19．（2025·高一·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 4 知识点二：全称量词与存在量词 4 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：充分必要条件的判断 6 题型二：根据充分条件求参数 7 题型三：根据必要条件求参数 9 题型四：根据充要条件求参数 11 题型五：探求充分必要条件 13 题型六：命题的真假判断 14 题型七：命题的否定 16 题型八：根据命题的真假求参数 17 05 过关测试 20 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 知识点二：全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为 ，， 读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词 短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等． 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 ，， 读作“存在中的元素，使成立”． 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题： ，， 它的否定： ，． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 存在量词命题： ，， 它的否定： ，． 存在量词命题的否定是全称量词命题． 题型一：充分必要条件的判断 【例1】（2025·高一·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数是二次函数，开口向上，对称轴为， 二次函数开口向上时，在对称轴左侧单调递减， 因此需要满足，即； 当时，满足，函数一定在上单调递减，所以“”是充分条件； 函数在上单调递减时，只需要，不一定非要，所以“”不是必要条件. 所以“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-1】（2025·高一·云南昭通·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【解析】得到，得到， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 【变式1-2】（2025·高一·四川广安·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意得，解得， 由，解得， 可知，且，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-3】（2025·高一·四川成都·期中）已知命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为命题，即，所以， 故，即p是q的充分不必要条件． 故选：A． 题型二：根据充分条件求参数 【例2】（2025·高一·广东深圳·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时， 或 ， 或； （2）“”是“”的充分条件，， 即又 或或， 而， 要使得，需有或， 或. 即实数a的取值范围是 【变式2-1】（2025·高一·江苏宿迁·期中）设全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，或，， ，所以，. （2）若是的充分不必要条件，则真包含于； 不等式可化为， 当时，不等式即为，不等式的解集为， 因为， 但，所以不合题意； 当时，不等式的解集为或， 要想满足真包含于，则有或，结合，解得； 当时，不等式的解集为或， 要想满足真包含于，则有或，结合，解得. 综上所述，的取值范围为. 【变式2-2】（2025·高一·安徽·期中）已知命题，不等式恒成立，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，不等式恒成立，此时命题为真命题，符合题意； 当时，若命题为真命题，则，解得， 综上所诉，，所以集合. （2），即， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式2-3】（2025·高一·河南新乡·期中）已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1），即，即，即，等价于， 解得，所以． 由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 则，解得， 故实数的取值范围是． （2）由，得． 又，， ①当时，，解得； ②当时，则，解得， 综上，，所以实数的取值范围为． 题型三：根据必要条件求参数 【例3】（2025·高一·四川广安·期中）设集合，集合. (1)求集合； (2)若：是：的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得，即，解得或， 所以集合. （2）当：是：的必要不充分条件，可知且， 由题意得，即， 当时，可得，因为， 当时，可得，此时，； 当时，可得，符合条件； 当时，可得，此时符合条件； 综上所述，实数的取值范围为. 【变式3-1】（2025·高一·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 【变式3-2】（2025·高一·重庆·期中）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由不等式，可得， 解得，所以， 又由且，可得， 则满足，解得，所以的取值范围是. （2）由是的必要不充分条件，可得是的真子集， 所以时，，解得，此时满足是的真子集； 当时，则满足，且等号不能同时成立，此时无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3-3】（2025·高一·江西·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以或， 所以或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 由不等式， 当，即时，， 由集合是集合的真子集，可得，且两式中等号不能同时成立，解得； 当，即时，， 由集合是集合的真子集，可得，且两式中等号不能同时成立，解得； 当，即时，可得，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是. 题型四：根据充要条件求参数 【例4】（2025·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【解析】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【变式4-1】（2025·高一·湖南长沙·月考）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【解析】（1）证明：由题意得的两个根分别为和， 所以， ， 又因为， 所以， 则 ， 所以成立. （2），两点之间的距离， 由（1）得， 所以， 因为，两点之间的距离不超过， 所以，则， 解得 由，解得或， 所以，两点之间的距离不超过的充要条件为或 【变式4-2】（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 【变式4-3】（2025·高一·四川遂宁·月考）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 【解析】（1）若时，在上恒成立， ，即， （2）若是的充要条件，则3和2是方程的两个根， 由韦达定理知， 解之得. 题型五：探求充分必要条件 【例5】（2025·高三·福建福州·月考）“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C 【变式5-1】（2025·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 【变式5-2】（2025·山西吕梁·二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设命题为真，即在上恒成立， 所以， 则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集， 故选：A． 【变式5-3】（2025·高一·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 所以，解得， 即成立的充要条件为：， 对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件； 对于B，由，得，是“”成立的充要条件； 对于C，是 “”成立的必要不充分条件； 对于D，，得或，是 “”成立的既不充分也不必要条件. 故选：C. 题型六：命题的真假判断 【例6】（2025·高一·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A：最小的自然数为0，不可能使，故A错误； 对于B：，解得，故B错误； 对于C：判别式，方程无实数解，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（2025·高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解析】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 【变式6-2】（2025·高一·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【解析】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 【变式6-3】（2025·高一·浙江·期中）下列命题正确的是（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．菱形的两条对角线相等 【答案】B 【解析】选项A：对于方程，判别式， 所以方程无实数根，故A错误； 选项B：当时，成立，充分性成立， 当时，解得，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故B正确； 选项C：当时，满足条件，但此时，故C错误； 选项D：菱形的两条对角线不一定相等，故D错误. 故选：B 题型七：命题的否定 【例7】（2025·高一·江苏连云港·期中）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”， 则其否定为：. 故选：D 【变式7-1】（2025·高一·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”， “，”的否定是：“，”． 故选：D． 【变式7-2】（2025·高一·河南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：C 【变式7-3】（2025·高一·四川广安·期中）设是定义域为的函数，命题：，，则命题的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因为命题：，， 故命题的否定是：，， 故选：A. 题型八：根据命题的真假求参数 【例8】（2025·高一·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 【变式8-1】（2025·高一·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 【变式8-2】（2025·高一·湖南·期中）已知命题，，命题，． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. （2）若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图象开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则或，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 【变式8-3】（2025·高一·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 1．（2025·高一·云南·期中）已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设的内切圆半径为，周长为. 因为的面积， 所以当与的面积相等时，与的周长相等； 同理，当与的周长相等时，与的面积相等. 则“与的面积相等”是“与的周长相等”的充要条件, 故选：A 2．（2025·高一·陕西延安·期中）已知为实数，那么方程没有实数解是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若没有实数解，则，可得， 显然方程没有实数解是的充分不必要条件. 故选：A 3．（2025·山西晋中·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 4．（2025·高一·辽宁·月考）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设，则“”等价于或； “”等价于； 或不可以推出；可以推出于或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 5．（2025·高一·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】“”的否定是：， 故选：B. 6．（2025·高二·广东湛江·期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 7．（2025·高一·安徽淮北·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 8．（多选题）（2025·高一·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】A：因，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD 9．（多选题）（2025·高一·云南昆明·月考）下列命题中，真命题是（　　） A．若“”是“”的充分条件，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“中，”是“为直角三角形”的充要条件 D．“”的一个必要不充分条件为“” 【答案】AB 【解析】对于A，若“”是“”的充分条件，则，故A正确； 对于B，因为或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若“在中，”，则“为直角三角形”， 若，此时为直角三角形，但此时不满足， 所以“中，”是“为直角三角形”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，因为，所以“”的一个充分不必要条件为“”，故D错误. 故选：AB. 10．（2025·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（2025·高一·陕西商洛·期中）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由方程至多有一个实数解，则满足，解得， 因为方程至多有一个实数解的一个必要不充分条件是“， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（2025·高一·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 或， 所以， 或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 13．（2025·高一·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【解析】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 14．（2025·高一·云南玉溪·月考）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因或，，且， 故当时，，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 当时，有，解得，满足； 当时，则有或，解得或， 综上，实数的取值范围为； 15．（2025·高一·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 或， 所以或． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 16．（2025·高一·山西临汾·月考）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 17．（2025·高一·山西大同·月考）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）当时，集合， 因为， 所以，或，或； （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为. 18．（2025·高一·云南昆明·月考）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【解析】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 19．（2025·高一·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【解析】（1） 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为： （2）， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $