专题20.3 勾股定理（章节复习）（知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学勾股定理章节复习讲义通过知识梳理框架系统构建知识体系，涵盖勾股定理、验证方法、逆定理及勾股数四大核心知识点，用图示呈现弦图、总统法等验证思路，清晰展现定理与逆定理的内在逻辑及重难点分布。 讲义亮点在于24个题型讲练的梯度设计，如折叠问题、最短路径等应用题型，结合中考真题与分层练习，培养几何直观和应用意识。典例与变式搭配，基础夯实与培优拔高分层，助力不同学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

专题20.3 勾股定理（章节复习） （知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01:勾股定理 2 知识点梳理02:勾股定理的验证 2 知识点梳理03:勾股定理的逆定理 3 知识点梳理04:勾股数 3 题型讲练 4 题型1：用勾股定理解三角形 4 题型2：已知两点坐标求两点距离 5 题型3：勾股树(数)问题 6 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 7 题型5：勾股定理与网格问题 8 题型6：勾股定理与折叠问题 10 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 12 题型8：勾股定理的证明方法 14 题型9：以弦图为背景的计算题 16 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 17 题型11：勾股定理与无理数 19 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 20 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 21 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 22 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 24 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 25 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 26 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 28 题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 30 题型20：求最短路径(勾股定理的应用) 32 题型21：判断三边能否构成直角三角形 34 题型22：在网格中判断直角三角形 35 题型23：利用勾股定理的逆定理求解 37 题型24：勾股定理逆定理的实际应用 40 中考真题 42 分层训练 47 基础夯实 47 培优拔高 51 知识点梳理01:勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点梳理02:勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 知识点梳理03:勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 知识点梳理04:勾股数 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 题型1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）若中，，，，则（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．利用勾股定理直接计算的长度． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去） 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在中，若，，，则的面积为 ． 【答案】 或 【思路点拨】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，过点B作AC边上的高构造直角三角形是解决本题的关键．过点作，在中先求出、，再在中求出，最后求出的面积． 【规范解答】解：①如图所示： 当为钝角时，过点作，垂足为． 在中，，， ， ． 在中，，， ． ． ②如图所示： 当为钝角时，过点作，交的延长线于点． 在中，， ， ． 在中，，， ． ． 故答案为： 或 ． 题型2：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得． 【规范解答】解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理．根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为， ∴点到原点的距离是， 故答案为：． 题型3：勾股树(数)问题 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【规范解答】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是勾股数定义，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【规范解答】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 【答案】等腰直角 【思路点拨】本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关键． 由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个等腰直角三角形． 【规范解答】解：∵，，， ∴且，，， ，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，正方形A的面积为4，另两个正方形的边长不可能是（　　） A．1，3 B．1， C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据勾股定理得出正方形A的面积=两个小正方形的面积之和，则可得出答案． 【规范解答】解：根据题意知：正方形A的面积=两个小正方形的面积之和， A、，则另两个正方形的边长不可能是1，3，故本选项符合题意； B、，则另两个正方形的边长可能是1，，故本选项不符合题意； C、，则另两个正方形的边长可能是，故本选项不符合题意； D、，则另两个正方形的边长可能是，，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型5：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由网格特点或勾股定理取格点，即可得解； （2）由网格特点和勾股定理，取格点、，可得到，； （3）由网格特点和勾股定理，取格点，可得到，再取与格线的交点，得到． 【规范解答】（1）解：如图1，格点和线段或点和线段即为所求作； ； （2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作； ； （3）解：如图3，线段即为所求作． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点．请在图1、图2中画出符合要求的图形． (1)在图1中画一条线段，使．（要求：线段的端点必须与方格纸中的格点重合）； (2)在图2中，以为底边，画一个等腰三角形，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查勾股定理与网格问题，格点图中画等腰三角形； （1）利用网格再结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定和性质画图即可． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求， ； （2）解：如图，等腰三角形和等腰三角形均满足题意， ， ， ∴． 题型6：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：. 【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．由折叠的性质得：，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】解：∵将沿翻折与重合， ∴， ∵， ∴， ∵∠C=90°， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【规范解答】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【规范解答】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 题型8：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【规范解答】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【思路点拨】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【规范解答】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 题型9：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【规范解答】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【思路点拨】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：4个直角三角形的面积和为， ∴一个直角三角形的面积为． 故选：A． 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【思路点拨】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 【变式训练】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 题型11：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到，可以得到，即可写出点D所表示的数． 【规范解答】解：由图可得，， ∵，， ， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 【变式训练】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【规范解答】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D. 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么 m． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 利用勾股定理先求出，再求出，最后利用线段的和差进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，， ， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【规范解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗轩的高度为 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设旗杆的高度为，则长为，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【规范解答】解：设旗杆的高度为，则长为， 在中，，， ∴， 解得． 答：旗轩的高度为． 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13. 【变式训练】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【规范解答】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 【答案】D 【思路点拨】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分离地面的高度，从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）是解题的关键． 【规范解答】解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边，顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边，折断部分为斜边． 根据勾股定理 则竹子折断之前的高度为（尺） 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 【答案】会，理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出的长度．先根据线段的和差求出的长度，再由勾股定理求出的长度，与5进行大小比较即可． 【规范解答】解：根据题意，m，， 则， ∴， 又∵， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【规范解答】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级下·河北邯郸·月考）如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间，即可得出结论． 【规范解答】解：根据题意可得图形： ， 在中，， ∴， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2023·河北保定·二模）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角和定理，过点B作交于D，则，由题意得，，则可证明，进而得到；再求出，进而得到，据此求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点B作交于D，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴海里， ∴海里， 故选；C． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【规范解答】解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【规范解答】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【变式训练】（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【答案】（1）中线，；（2）． 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，再由勾股定理求解高，最后由三角形面积公式即可求解； （2）先证明为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，为等边的中线，， ∴，， ∴由勾股定理得:， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【规范解答】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1) (2)游人在小时内撤离才可脱离危险 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【规范解答】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 题型20：求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【规范解答】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄石·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计） 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理、几何体的展开图，解题的关键是：该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，、和的长度满足勾股定理，据此求解． 【规范解答】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点， 则，， 连接，则即为最短距离， 在直角中， 由勾股定理得： ， 故答案为：． 题型21：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键． 先根据三角形不等式判断各组线段能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形. 【规范解答】解：A、∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． B、∵，，，∴能组成三角形，但∵，，，∴不是直角三角形． C、∵，，，∴能组成三角形，且∵，，∴是直角三角形． D、∵，∴不能组成三角形． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)这个三角形是直角三角形 【思路点拨】（1）根据勾股定理可得长为4、宽为1的长方形的对角线长为，长为3、宽为2的长方形的对角线长为，选择合适的矩形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可； （3）观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，连接长为4、宽为1的长方形的对角线为线段，长为3、宽为2的长方形的对角线长为线段； （2）如图，依次连接长为4、宽为3的矩形的对角线，长为2、宽为1的矩形的对角线长和长为4、宽为2的矩形的对角线； （3）∵， ∴这个三角形是直角三角形． 题型22：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成中，点坐标为，点坐为，点坐标为． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用. （1）根据平面直角坐标系和勾股定理，即可得解； （2）首先根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可得证. 【规范解答】（1）根据勾股定理，得 （2）根据勾股定理得到，， ∴ ∴是直角三角形， ∴. 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一格点E，使得； (2)在图②中的上找一点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）构造等腰直角三角形的底角解答即可； （2）根据题意，得，取格点F，连接交于点H，根据作图，得，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂直的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示， 则， 则点E即为所求． （2）解：根据题意，得， 取格点F，连接交于点H， 根据作图，得， 得到,， 故 故点H即为所求． 题型23：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【思路点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】(1)，理由见详解 (2)小亮跑的路线更短 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． 【规范解答】（1）解：， 理由：由题意可知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 题型24：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 【答案】(1)7200元 (2) 【思路点拨】本题主要运用勾股定理及其逆定理求解，解决问题的关键在于熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解； （2）在中，根据三角形面积的两种不同表示方法列出等式，即，进而求出的长度． 【规范解答】（1）解：连接，在中， ， 在中，，， 而， 即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需花费（元）． （2）解：如图，过点B作，垂足为E， ∴在中，， 即，即． ∴小路的最短长度为． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理得到，进而可得是直角三角形，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 【规范解答】解：连接， ，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， 是直角三角形， 四边形的面积的面积的面积 该四边形土地的面积为． 1．（2024·江西九江·中考真题）如图所示，已知，那么五边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】连接，延长交于点，延长于点，作于点，证明，得到，三线合一得到，进而得到平分，证明，进而得到，推出为等边三角形，利用分割法求出五边形的面积即可． 【规范解答】解：连接，延长交于点，延长于点，作于点， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 同理：， 设，则：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴五边形的面积 ； 故选：B． 2．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，四边形中，，，，平分，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．先证明是等边三角形，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，再在中利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 4．（2024·广东揭阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，则等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、勾股定理． 根据垂直平分线性质，得到，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间数量关系，得出，再根据等角对等边，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，进而得出，再根据勾股定理，得出，设，则，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据勾股定理，列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， 在中， ， 设，则， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， 解得：， ． 故答案为：． 5．（2024·河南洛阳·中考真题）（1）在如图中画出边长为、、5的三角形； （2）该三角形最长边上的高为________． 【答案】（1）见解析（2）2 【思路点拨】本题考查了网格作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求三角形的高，是解题的关键． （1）写出，根据勾股定理写出，即得； （2）根据勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形面积的两种表示办法求解． 【规范解答】解：（1）如图，，，即为所求作． （2）由图知，该三角形最长边上的高为．理由： ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形的边长为4，则它的高的长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形三线合一定理及勾股定理．先根据等边三角形的性质得出，再由得到是的中垂线，即等边三角形的三线合一，得出，最后利用勾股定理得出的值． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是的中垂线， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【规范解答】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 3．（24-25八年级下·贵州·月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 【答案】76 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【规范解答】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 4．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【规范解答】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 培优拔高 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【规范解答】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 7．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，是的高，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理可得，在中，再根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在中， 在中，， 故选：D． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了图形与坐标，勾股定理，利用点，坐标、求得的长度，进而求出的长度即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点， ∴， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【规范解答】解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． 【规范解答】（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.3 勾股定理（章节复习） （知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01:勾股定理 2 知识点梳理02:勾股定理的验证 2 知识点梳理03:勾股定理的逆定理 3 知识点梳理04:勾股数 3 题型讲练 3 题型1：用勾股定理解三角形 3 题型2：已知两点坐标求两点距离 4 题型3：勾股树(数)问题 4 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型5：勾股定理与网格问题 5 题型6：勾股定理与折叠问题 6 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 6 题型8：勾股定理的证明方法 7 题型9：以弦图为背景的计算题 7 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 8 题型11：勾股定理与无理数 9 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 9 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 10 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 10 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 11 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 12 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 12 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 13 题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 13 题型20：求最短路径(勾股定理的应用) 14 题型21：判断三边能否构成直角三角形 15 题型22：在网格中判断直角三角形 15 题型23：利用勾股定理的逆定理求解 16 题型24：勾股定理逆定理的实际应用 17 中考真题 18 分层训练 19 基础夯实 19 培优拔高 21 知识点梳理01:勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点梳理02:勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 知识点梳理03:勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 知识点梳理04:勾股数 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 题型1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）若中，，，，则（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在中，若，，，则的面积为 ． 题型2：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 题型3：勾股树(数)问题 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【变式训练】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，正方形A的面积为4，另两个正方形的边长不可能是（　　） A．1，3 B．1， C． D． 题型5：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点．请在图1、图2中画出符合要求的图形． (1)在图1中画一条线段，使．（要求：线段的端点必须与方格纸中的格点重合）； (2)在图2中，以为底边，画一个等腰三角形，使． 题型6：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 题型8：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 题型9：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【变式训练】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 题型11：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 【变式训练】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么 m． 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【变式训练】（24-25八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 【变式训练】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·河北邯郸·月考）如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2023·河北保定·二模）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【变式训练】（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 题型20：求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄石·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计） 题型21：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 题型22：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成中，点坐标为，点坐为，点坐标为． (1)求的长； (2)求证：． 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一格点E，使得； (2)在图②中的上找一点H，使得． 题型23：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 题型24：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 1．（2024·江西九江·中考真题）如图所示，已知，那么五边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，四边形中，，，，平分，，则的长为 ． 4．（2024·广东揭阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，则等于 ． 5．（2024·河南洛阳·中考真题）（1）在如图中画出边长为、、5的三角形； （2）该三角形最长边上的高为________． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形的边长为4，则它的高的长为（   ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州·月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 4．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 培优拔高 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，是的高，，，则(    ) A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ． 9．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $