专题20.1 勾股定理及其应用（知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦勾股定理及其应用这一核心知识点，系统梳理勾股定理的定义、证明方法、实际应用及作无理数线段等内容，构建从基础原理到实际问题解决的完整学习支架。 资料设计23个题型讲练覆盖多场景应用，结合中考真题与分层训练，通过折叠问题、最短路径等题型培养学生推理能力与几何直观，课中辅助教师高效教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺提升应用意识。

专题20.1 勾股定理及其应用 （知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：勾股定理 2 知识点梳理02：勾股定理的证明 2 知识点梳理03：勾股定理的应用 4 知识点梳理04：利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数) 4 题型讲练 5 题型1：用勾股定理解三角形 5 题型2：已知两点坐标求两点距离 5 题型3：勾股树(数)问题 5 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 6 题型5：勾股定理与网格问题 6 题型6：勾股定理与折叠问题 7 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 7 题型8：勾股定理的证明方法 8 题型9：以弦图为背景的计算题 9 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 9 题型11：勾股定理与无理数 10 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 10 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 11 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 12 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 12 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 13 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 13 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 14 题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 15 题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 15 题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 16 题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 17 题型23：求最短路径(勾股定理的应用) 18 中考真题 18 分层训练 20 基础夯实 20 培优拔高 22 知识点梳理01：勾股定理 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； 2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. 3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【知识拓展】 1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. 2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【易错点拨】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 知识点梳理02：勾股定理的证明 通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 下面列举几种证明方法： 1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． 2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2． 3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2． 知识点梳理03：勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. 1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 1、从实际问题中抽象出几何图形； 2、确定所求线段所在的直角三角形； 3、找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4、求得结果. 2、勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4)作长为(n＞1，且n为整数)的线段； （5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【易错点拨】 勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 知识点梳理04：利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数) 实数与数轴上的点是一 一对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为(n＞1，且n为整数)的线段，进而在数轴上画出表示(n＞1，且n为整数)的点. 在数轴上表示的步骤： ①利用勾股定理求出长为的线段； ②在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为表示的点. 题型1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（2025·浙江衢州·模拟预测）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【变式训练】（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 题型2：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式训练】（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点O的距离为 ． 题型3：勾股树(数)问题 【典例精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是 ． 题型5：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 题型6：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 题型8：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 题型9：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 题型11：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．4.4 D．4.5 【变式训练】（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，，则在数轴上点表示的实数是 ． 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米． (1)这个梯子顶端离地面有几米； (2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示） 【变式训练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图所示，已知旗杆垂直地面，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面（米），请你求出旗杆的高度． 【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【变式训练】（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·山东日照·月考）如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【变式训练】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距台风中心的范围是受台风干扰的区域，问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出城受台风干扰的时间． 题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 题型23：求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【变式训练】（23-24八年级下·全国·期中）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为 ． 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”，若正方形的面积为52，的长为4，则正方形的面积为（   ） A． B．6 C．5 D．4 2．（2024·浙江杭州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于D， 且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，长方形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为3，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则线段的长为 ． 7．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是 ． 8．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中，，，．求的长． 10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在中，． (1)若，，求和； (2)若，，求和． 培优拔高 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线分别交、于点D、E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，点在线段上，，点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，，则的长是 ． 17．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 19．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 20．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 勾股定理及其应用 （知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：勾股定理 2 知识点梳理02：勾股定理的证明 2 知识点梳理03：勾股定理的应用 3 知识点梳理04：利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数) 4 题型讲练 4 题型1：用勾股定理解三角形 4 题型2：已知两点坐标求两点距离 7 题型3：勾股树(数)问题 7 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 8 题型5：勾股定理与网格问题 10 题型6：勾股定理与折叠问题 11 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 12 题型8：勾股定理的证明方法 14 题型9：以弦图为背景的计算题 15 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 17 题型11：勾股定理与无理数 18 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 19 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 21 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 23 题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 24 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 25 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 27 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 28 题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 29 题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 30 题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 32 题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 34 题型23：求最短路径(勾股定理的应用) 36 中考真题 38 分层训练 41 基础夯实 41 培优拔高 46 知识点梳理01：勾股定理 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； 2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. 3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【知识拓展】 1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. 2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【易错点拨】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 知识点梳理02：勾股定理的证明 通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 下面列举几种证明方法： 1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． 2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2． 3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2． 知识点梳理03：勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. 1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 1、从实际问题中抽象出几何图形； 2、确定所求线段所在的直角三角形； 3、找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4、求得结果. 2、勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4)作长为(n＞1，且n为整数)的线段； （5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【易错点拨】 勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 知识点梳理04：利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数) 实数与数轴上的点是一 一对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为(n＞1，且n为整数)的线段，进而在数轴上画出表示(n＞1，且n为整数)的点. 在数轴上表示的步骤： ①利用勾股定理求出长为的线段； ②在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为表示的点. 题型1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（2025·浙江衢州·模拟预测）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【规范解答】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 【变式训练】（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解． 【规范解答】解：①当点在轴上运动，时，连接． ∵，， ∴，，， 设点的坐标是， ∵， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是； ②当点在原点时，， ∴点的坐标为； ③当点在轴上运动，时，连接， 设点的坐标是， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是． 故答案为：或或． 题型2：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【思路点拨】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点之间的距离公式解答即可得． 【规范解答】解：∵为坐标原点，点， ∴线段的长为， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点O的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理， 先确定点到坐标轴的距离，再根据勾股定理直接求出答案. 【规范解答】解：根据题意，得点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2， ∴. 故答案为：. 题型3：勾股树(数)问题 【典例精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【思路点拨】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【规范解答】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，会利用勾股定理进行几何计算是解决本题的关键． 如图，利用勾股定理得到，再根据正方形的面积公式得到，，则可计算出，从而得到字母所代表的正方形的面积． 【规范解答】解：如图，∵， 而，， ， 字母所代表的正方形的面积为， 故选A． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理得，，，即可求解． 【规范解答】解：如图， 所有的三角形都是直角三角形， ， ， ， （负值已舍去）， 最大正方形E的边长是， 故答案为：． 题型5：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由图片可知，、均为长、宽的矩形的对角线，运用勾股定理分别求出、的长再相加即可；本题考查了勾股定理，精准识图、准确计算是解题的关键． 【规范解答】解：， ． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解，再进一步求解即可． 【规范解答】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 题型6：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【规范解答】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 题型7：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 题型8：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【规范解答】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【规范解答】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 题型9：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【规范解答】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【规范解答】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 题型10：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【规范解答】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【规范解答】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 题型11：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．4.4 D．4.5 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：，， ∴； 故选B． 【变式训练】（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，，则在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，勾股定理，求出长是解题的关键． 先由勾股定理求解，再由即可求解数轴上点表示的实数． 【规范解答】解：， ， 点在原点的左侧，到原点的距离是， 点表示的实数是． 故答案为：． 题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米． (1)这个梯子顶端离地面有几米； (2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示） 【答案】(1)12米 (2)米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出即可 【规范解答】（1）解：根据题意，得米，米，， ∴， 答：梯子顶端离地面有12米； （2）解：根据题意，得米，米， ∴米， ∴， ∴梯子的顶端下滑了米． 【变式训练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 【答案】 1 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【规范解答】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图所示，已知旗杆垂直地面，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面（米），请你求出旗杆的高度． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【规范解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得． 答：旗杆的高度为米． 【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【规范解答】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【规范解答】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【规范解答】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用．设水深为x尺，则葭长为尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：设水深为x尺，则葭长为尺，根据题意得： ， 解得：， 答：水深为12尺，则葭长为13尺． 故选：C. 题型17：解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【思路点拨】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【规范解答】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【规范解答】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 题型18：求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【规范解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【答案】8160 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【思路点拨】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 【变式训练】（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【规范解答】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·山东日照·月考）如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)市会受到台风的影响 (2)小时 【思路点拨】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作于C，再根据直角三角形的性质进行计算比较； （2）需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算． 【规范解答】（1）解：过A作于C， ∵台风向北偏西的方向移动， ∴， ∵市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处， ∴， ∴市会受到台风的影响； （2）过A作，交于点D，E， ， ∵，A市气象站测得台风中心在A市正东方向千米的B处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动， ∴受台风影响的路程为， ∴该市受台风影响的时间为：（小时）， ∴如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间为小时． 【变式训练】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距台风中心的范围是受台风干扰的区域，问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出城受台风干扰的时间． 【答案】A城会受到此次台风的干扰，干扰的时间为小时，理由见解析 【思路点拨】本题考查了含度角的直角三角形以及勾股定理，作，则得出，根据，可得出的长，则城会受到此次台风的干扰；以为圆心，为半径作弧交于、两点，连接，在中有的长，可得出，从而得出城受台风干扰的时间，是基础知识要熟练掌握． 【规范解答】解：作于点，则． ，， ， 城会受到此次台风的干扰，以为圆心，为半径作弧交于、两点，连接． ， ， 在中，有， ， 城受台风干扰的时间为：（小时）． 题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【规范解答】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【答案】(1) (2)千米处 【思路点拨】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 题型23：求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【答案】A 【思路点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·期中）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用．正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长． 【规范解答】解：如图，在中，， ∴． 故答案为： 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”，若正方形的面积为52，的长为4，则正方形的面积为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 假设直角三角形的另一个直角边长为，根据勾股定理求出的值，然后再求正方形的面积即可． 【规范解答】解：假设直角三角形的另一个直角边长为，根据勾股定理得， ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴正方形的面积为， 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【思路点拨】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【规范解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴大正方形的面积为：， 故选：B． 3．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于D， 且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线性质定理，勾股定理，垂线段最短． 根据勾股定理求出，过D作于E，根据角平分线性质定理求出，代入求出即可． 【规范解答】解：在中，，，，由勾股定理得：， 过D作于E，则此时的值最小， ∵平分，， ∴． 故答案为：． 4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解可得米，解可得，进而求得． 【规范解答】解：在中，，米， 米； 在中，米，， ∴ ∵ 米， 警示牌的高米． 故答案为：． 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【规范解答】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【规范解答】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键． 勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和的条件，即可解答． 【规范解答】解：勾股数需为正整数且满足， 对于A：，不符合； 对于B：，，不是正整数，不符合； 对于C：，相等，且均为正整数，符合； 对于D：，不符合； 故选C． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，长方形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为3，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理，实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 先求出，然后在中运用勾股定理求解，即可得到，即可表示点E表示的实数． 【规范解答】解：由题意得，， 因为长方形， 所以 所以由勾股定理得，， 所以点表示的数为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 【答案】24 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理，根据勾股定理，计算原点O到点A的距离． 【规范解答】解：点A的坐标为，由勾股定理得． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是 ． 【答案】28 【思路点拨】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解． 【规范解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴． 故答案为：28． 8．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，绳子长度比木棍高度多3尺，当绳子拉直时，木棍高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【规范解答】解：设绳子长度为尺，则木棍高度为尺， 依题意，当绳子拉直底端着地时，有， 解得， 答：绳长为尺 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中，，，．求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，直接代入公式求解． 【规范解答】解：，，， ． 10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在中，． (1)若，，求和； (2)若，，求和． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形和直角三角形的性质，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质，运用方程的思想是解题的关键． （1）由中，，可得，设，则，利用勾股定理列方程即可求解； （2）由中，，可得为等腰直角三角形，可设，利用勾股定理列方程即可求解． 【规范解答】（1）解：在中，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∴，． （2）解：在中，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 培优拔高 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，结合勾股定理和正方形的面积公式，正方形的面积等于正方形的面积与正方形的面积之和，解题的关键是掌握以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【规范解答】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故选：． 12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆柱侧面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程即为的长，再由勾股定理求出即可． 【规范解答】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱高为，底面圆的周长为， ， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程为的长， 在中， ． 故选：B． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由作图可知，为的平分线，过点D作于点E，结合勾股定理解题即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线分别交、于点D、E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故答案为：8． 16．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，点在线段上，，点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；先证明是等边三角形，再证明求得，过点作于点，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得进而求得，在中求得的长，即可求解． 【规范解答】解：， ，， ， 在和中， ， )， ，， ∵是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． ∵和、均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ 设交于点，如图 ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，， ∴ ∴ 过点作于点 ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 17．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【规范解答】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 19．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【思路点拨】（1）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得；由线段垂直平分线的性质可得，则可推出，可得，；可证明，则当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9． 【规范解答】（1）解：如图所示，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求， 此时的最小值即为线段的长，即的最小值为；    （2）解：∵在中，， ∴； ∵边的垂直平分线交于点E，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接，则， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9．    20．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， 在中， ， ． 答：A，B两个凉亭之间的距离为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $