专题19.4 二次根式（章节复习）（知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过知识点梳理、对比表格及易错点拨构建二次根式知识体系，涵盖相关概念、性质及运算，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 20个题型讲练覆盖识别、运算到应用等，典例与变式结合，中考真题及分层训练助力分层提升，如比较大小题型用图形推算培养几何直观，应用题型强化应用意识，支持学生自主复习与教师精准教学。

专题19.3 二次根式（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 2 知识点梳理02：二次根式的运算 3 题型讲练 4 题型1：二次根式的识别 4 题型2：求二次根式的值 4 题型3：求二次根式中的参数 5 题型4：二次根式有意义的条件 6 题型5：利用二次根式的性质化简 7 题型6：二次根式的乘法 7 题型7：二次根式的除法 8 题型8：二次根式的乘除混合运算 8 题型9：最简二次根式的判断 10 题型10：化为最简二次根式 11 题型11：已知最简二次根式求参数 12 题型12：同类二次根式 12 题型13：二次根式的加减运算 13 题型14：二次根式的混合运算 14 题型15：分母有理化 15 题型16：已知字母的值，化简求值 16 题型17：已知条件式，化简求值 17 题型18：比较二次根式的大小 18 题型19：二次根式的应用 19 题型20：复合二次根式的化简 20 中考真题 21 分层训练 24 基础夯实 24 培优拔高 25 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】 二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 题型1：二次根式的识别 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫作二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据二次根式的定义分析即可． 【规范解答】解：A．的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意；     B．是二次根式，故符合题意；     C．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；   D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如的式子，叫二次根式，逐一判断得到答案即可； 【规范解答】解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 题型2：求二次根式的值 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型3：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【规范解答】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 题型4：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（2025·浙江杭州·二模）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，则被开方数非负，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【规范解答】由题意得，， 解得：， 故答案为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是 【答案】且 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可． 【规范解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴ 且 故答案为：且． 题型5：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·四川内江·月考）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查化简绝对值问题，先根据m、n在数轴上的位置判断出m、n的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简求解即可． 【规范解答】解：∵由图可知，，， ∴ ． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东江门·月考） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简．直接化简二次根式即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 题型6：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算得，估算出，再进一步计算出结果即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 的值在1和2之间， 故选：A． 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．人们发现两个无理数的和，积，商不一定是无理数．已知一个无理数与的商是有理数．这个数可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，令商的值取一个有理数，与的乘积即为所求． 【规范解答】解：当这个无理数与的商是2时， 这个数为：， 故答案为：．（答案不唯一） 题型7：二次根式的除法 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根式的运算性质，易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、乘除及化简规则逐一分析选项． 【规范解答】解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·河南濮阳·期中） ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：3． 题型8：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】46 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用割补法求面积，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则． 延长交于点，判定出与为等腰直角三角形，得出相等的边，假设，利用勾股定理表示出斜边，然后利用相等的边求出的值，最后利用割补法求四边形的面积即可． 【规范解答】解：如图，延长交于点， ∵， ∴与为直角三角形， ∵， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∴，， 假设， 则根据勾股定理得， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为， 故答案为：46． 【变式训练】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式，根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【规范解答】解： ． 题型9：最简二次根式的判断 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式， 解决本题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质；二次根式的最简形式就是被开方数不含分母且不含平方因子． 【规范解答】解： A． ，不是最简二次根式，故错误； B． ，不是最简二次根式，故错误； C． ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误； D． 被开方数3是质数，无平方因子，故正确； 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，进行判断即可． 【规范解答】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 题型10：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的化简，最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 据此逐一分析判断，即可解答． 【规范解答】解：A．，即该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选D． 【变式训练】（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【规范解答】解：． 故答案为： 题型11：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【思路点拨】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【规范解答】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 题型12：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·福建泉州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行列式，再解答即可． 【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3． 题型13：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算和二次根式的性质化简，解题关键是掌握上述法则与性质． 先根据二次根式的运算法则及二次根式的性质化简，对四个式子分别作出计算，再作出判断． 【规范解答】解： A： 与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B： ，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、绝对值的性质以及去括号合并同类项的法则，熟练运用相关运算规则是解答本题的关键． （1）依次进行算术平方根、立方根、绝对值的运算，再进行实数的加减运算； （2）先去括号，再合并同类二次根式． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型14：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再算加减即可； （2）先根据乘法公式，再算加减． 【规范解答】（1） ； （2） 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后计算除法，即可求解． 【规范解答】解： ． 题型15：分母有理化 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 【答案】(1)； (2)49 【思路点拨】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【规范解答】（1）解： 所以的有理化因式是 ； 故答案为：，． （2）解：原式 ． 题型16：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知，，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算．先求出再代值即可求出． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）已知 ， 那么的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，先把进行分母有理化，然后利用完全平方公式将所求代数式变形为，最后代入计算即可，正确将进行分母有理化是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型17：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案. 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 题型18：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出，由线段的和差关系可得，根据即可得到答案． 【规范解答】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型19：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、长方体的面积与体积计算，熟练掌握正方形、长方体的相关公式及二次根式运算法则是解答本题的关键． （1）利用正方形面积公式求出原纸板面积，结合剪掉的小正方形面积，计算剩余纸板的面积； （2）先确定长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式，结合二次根式乘法法则计算体积； （3）分析长方体侧面的形状与尺寸，利用长方形面积公式计算单个侧面面积，进而求出总侧面积． 【规范解答】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： ． （2）解：长方体盒子的体积为：． （3）解：长方体盒子的侧面积为：． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如果一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次根式的应用，根据长方形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质计算可得． 【规范解答】解：长方形的面积为． 题型20：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 【答案】 【思路点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【规范解答】解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 【变式训练】（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【思路点拨】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【规范解答】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【规范解答】解：． 故选：D． 2．（2024·江苏南京·中考真题）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，分，，三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可． 【规范解答】解：当时， 原式 ， 当时， 原式， 当时， 原式． 故选：D． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）观察下列等式，并解答下列问题． 等式1：，等式2：，等式3：… 请写出等式6： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式得出第n个等式可表示为为正整数是解题的关键．根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为，…， 所以第n个等式可表示为：为正整数 当时， 等式6为：， 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）计算： ； ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法即可． 【规范解答】解： ． ． 故答案为：； 5．（2024·四川南充·中考真题）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式，并利用完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【规范解答】解： ． 基础夯实 1．（23-24八年级下·重庆江津·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方根的性质估算范围即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在6和7之间， 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识，属于基础知识；判断二次根式能否与合并，需将各选项化简，检查化简后的被开方数是否为3． 【规范解答】解：∵ ， ∴ 与的被开方数相同，可以合并，故选项A符合题意； 而，被开方数为2； ，被开方数为6； 已是最简二次根式，被开方数为30； 均不能与合并，故选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零． 【规范解答】解：由二次根式的意义，得，解得． 故答案为． 4．（2025·山西大同·一模） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了化简二次根式，二次根式乘法计算，，而，据此求解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算和化简，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则． 先进行二次根式的乘法运算和化简，再进行同类二次根式的加减． 【规范解答】解： ． 培优拔高 6．（24-25八年级下·全国·月考）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【规范解答】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长． 【解答】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于， 所以不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于 所以满足三角形的三边关系，此时周长为 综上可知，三角形的周长为． 故选：A． 7．（24-25八年级下·全国·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得，然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：，则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出的值，再将多项式进行因式分解，再利用整体代入法，进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 9．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，则 ． 【答案】/0.2 【思路点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，结合式子特征找出规律，再进行计算即可． 【规范解答】解：根据题意得第n项为： 则有： ； 所以， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式，零指数幂． 先计算乘方，零指数幂，并化简二次根式，绝对值，再计算加减即可． 【规范解答】解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3 二次根式（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 2 知识点梳理02：二次根式的运算 3 题型讲练 4 题型1：二次根式的识别 4 题型2：求二次根式的值 4 题型3：求二次根式中的参数 4 题型4：二次根式有意义的条件 5 题型5：利用二次根式的性质化简 5 题型6：二次根式的乘法 5 题型7：二次根式的除法 5 题型8：二次根式的乘除混合运算 5 题型9：最简二次根式的判断 6 题型10：化为最简二次根式 6 题型11：已知最简二次根式求参数 6 题型12：同类二次根式 6 题型13：二次根式的加减运算 6 题型14：二次根式的混合运算 7 题型15：分母有理化 7 题型16：已知字母的值，化简求值 8 题型17：已知条件式，化简求值 8 题型18：比较二次根式的大小 8 题型19：二次根式的应用 8 题型20：复合二次根式的化简 9 中考真题 10 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 11 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】 二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 题型1：二次根式的识别 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型2：求二次根式的值 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【变式训练】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 题型3：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型4：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（2025·浙江杭州·二模）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是 题型5：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·四川内江·月考）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东江门·月考） ． 题型6：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．人们发现两个无理数的和，积，商不一定是无理数．已知一个无理数与的商是有理数．这个数可以是 ． 题型7：二次根式的除法 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·河南濮阳·期中） ． 题型8：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算： 题型9：最简二次根式的判断 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型10：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 题型11：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 题型12：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·福建泉州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 题型13：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算： (1)； (2)． 题型14：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期末）计算：． 题型15：分母有理化 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 题型16：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知，，求的值． 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）已知 ， 那么的值是 ． 题型17：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 题型18：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 题型19：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如果一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 题型20：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 【变式训练】（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·中考真题）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）观察下列等式，并解答下列问题． 等式1：，等式2：，等式3：… 请写出等式6： ． 4．（2024·全国·中考真题）计算： ； ． 5．（2024·四川南充·中考真题）计算：． 基础夯实 1．（23-24八年级下·重庆江津·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 4．（2025·山西大同·一模） ． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：． 培优拔高 6．（24-25八年级下·全国·月考）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级下·全国·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：，则 ． 9．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，则 ． 10．（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $