专题19.3 二次根式的加法与减法（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次根式的加法与减法，系统梳理同类二次根式概念、加减运算步骤（化、找、合）及混合运算顺序，搭建从二次根式化简到综合运算的学习支架，夯实基础并衔接后续代数知识。 资料以9个题型讲练为核心，涵盖同类二次根式判断、混合运算等，搭配中考真题与分层训练。通过典例与变式培养运算能力，题型8的几何应用问题发展应用意识，助力教师课中教学，学生课后可分层巩固，查漏补缺。

专题19.3 二次根式的加法与减法 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：同类二次根式 1 知识点梳理02：二次根式的加减 2 知识点梳理03：二次根式的混合运算 2 题型讲练 2 题型1：同类二次根式 2 题型2：二次根式的加减运算 2 题型3：二次根式的混合运算 3 题型4：分母有理化 3 题型5：已知字母的值，化简求值 3 题型6：已知条件式，化简求值 4 题型7：比较二次根式的大小 4 题型8：二次根式的应用 4 题型9：复合二次根式的化简 5 中考真题 5 分层训练 6 基础夯实 6 培优拔高 8 知识点梳理01：同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点梳理02：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点梳理03：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型1：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若与最简二次根式可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 题型2：二次根式的加减运算 【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期中）若，则表示实数a的点会落在数轴的（   ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 【变式训练1】（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）计算：． 【变式训练2】（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：． 题型4：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式训练2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型5：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若，则代数式的值为 ． 题型6：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东日照·月考）已知，，求的值． 【变式训练2】（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 题型7：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小： ． 【变式训练1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小： ．（填>，<，=） 题型8：二次根式的应用 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知三角形的三边的长分别为，，，求三角形的周长．（结果化为最简） 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 题型9：复合二次根式的化简 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算： 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 1．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有 个． 4．（2024·全国·中考真题）如图，四边形中，，在 上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ． 5．（2024·云南丽江·中考真题）计算：． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）化简的结果是 ． 6．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ． 7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是 ． 8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 9．（24-25八年级下·云南红河·期末）计算： 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 培优拔高 11．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 12．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 14．（23-24八年级下·上海·期末）计算： ． 15．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为 ． 16．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 18．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 19．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 20．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3 二次根式的加法与减法 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：同类二次根式 1 知识点梳理02：二次根式的加减 2 知识点梳理03：二次根式的混合运算 2 题型讲练 2 题型1：同类二次根式 2 题型2：二次根式的加减运算 3 题型3：二次根式的混合运算 4 题型4：分母有理化 5 题型5：已知字母的值，化简求值 7 题型6：已知条件式，化简求值 8 题型7：比较二次根式的大小 9 题型8：二次根式的应用 11 题型9：复合二次根式的化简 12 中考真题 13 分层训练 17 基础夯实 17 培优拔高 21 知识点梳理01：同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点梳理02：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点梳理03：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型1：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若与最简二次根式可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定义解题即可． 【规范解答】解：∵ 与 可以合并， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【规范解答】解：A、 ， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、 ， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、 ， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、 ， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 题型2：二次根式的加减运算 【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期中）若，则表示实数a的点会落在数轴的（   ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果． 【规范解答】解：∵，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 【变式训练1】（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式乘方、加减、乘法和平方根的性质求解即可． 【规范解答】解：选项A：，本选项计算错误． 选项B：，本选项计算错误． 选项C：，而，，本选项计算错误． 选项D：，与右边相等，本选项计算正确． 故选：D． 题型3：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式化简后再进行加减运算即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）计算：． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂和零指数幂，解题的关键是正确化简二次根式． 先化简二次根式和计算零指数幂、负整数指数幂，再进行括号内二次根式的减法运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算． 【规范解答】解： ． 【变式训练2】（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解． 【规范解答】解：原式 ． 题型4：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：，原式 【思路点拨】本题考查了分式的除法运算和二次根式的化简，熟知运算法则是解题的关键．先将分式的除法运算转化为乘法运算并约分，再将a的值代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小． 【规范解答】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 【变式训练2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， 当时，原式=． 题型5：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值．先求得和的值，再化简得到，然后整体代入求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 题型6：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【规范解答】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东日照·月考）已知，，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ， ∴， ∴ ； . 【变式训练2】（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 题型7：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【规范解答】解：，，， ， 即， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【思路点拨】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【规范解答】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小： ．（填>，<，=） 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【规范解答】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型8：二次根式的应用 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知三角形的三边的长分别为，，，求三角形的周长．（结果化为最简） 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，直接把三角形的三边长相加，再进行二次根式混合运算即可． 【规范解答】解：三角形的周长为． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式，二次根式混合运算的应用． （1）根据长方体的体积公式，即可求出高； （2）根据长方体的表面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：这个长方体的高 ； （2）解：表面积为． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【规范解答】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积， 故答案为：． 题型9：复合二次根式的化简 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【答案】5 【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【规范解答】解： 故答案为：5． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【规范解答】解： ． 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【思路点拨】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【规范解答】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C. 1．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可． 【规范解答】A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A． 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有 个． 【答案】4 【思路点拨】此题主要考查了菱形的性质，二次根式的混合运算以及勾股定理等知识． 利用菱形的对角线平分对角，结合，，利用勾股定理，表示出，的长，进而即可解决问题． 【规范解答】解：过点E作于点M，连接交于点O，如图所示： ∵四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，， ∴，， ∴和都是等边三角形， 设菱形的边长为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 则在中，，则， 那么， ∴， 在中，，则， ∴，故②正确； 那么，则，， ∴， 故③正确； 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：4． 4．（2024·全国·中考真题）如图，四边形中，，在 上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M、N的位置是解题关键． 根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【规范解答】解：作A关于和的对称点，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于， ∴ ， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ， ∴，， 在中，， ∴周长的最小值． 故答案为：． 5．（2024·云南丽江·中考真题）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用零指数幂、负整数指数幂法则、绝对值的性质、二次根式的乘法与化简计算即可得到结果． 【规范解答】解： ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【规范解答】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【规范解答】解：． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式的减法运算．先化简，再进行二次根式的减法即可． 【规范解答】解： 故答案为： 6．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得 ． 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了倒数的定义和分母有理化，要将中的根号去掉，要用． 先写出倒数，再直接分母有理化即可． 【规范解答】解：的倒数是． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ． 9．（24-25八年级下·云南红河·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先进行乘方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂，平方差公式的计算，再进行加减运算即可． 【规范解答】解：原式 ． 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【规范解答】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 培优拔高 11．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【规范解答】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 12．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再进行判断即可． 【规范解答】解：A、2与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意， 故选：C． 13．（24-25八年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 14．（23-24八年级下·上海·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【规范解答】解： ． 故答案为： ． 15．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是二次根式的运算，新定义运算的含义，根据新定义运算规则，分别计算和，再利用二次根式的混合运算法则计算乘积． 【规范解答】解：由定义，， ． 则 ． 故答案为： 16．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【规范解答】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】4或6/6或4 【思路点拨】本题考查二次根式及算术平方根．题目方程表示的算术平方根等于它本身，只有0和1的算术平方根是其本身，故可得或，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：表示的算术平方根等于它本身， 故或， 故或， 故答案为：4或6． 18．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路点拨】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【规范解答】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 19．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ，， ． 20．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【规范解答】（1）原式 ． （2）原式 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $