专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦勾股定理的逆定理及其应用核心知识点，先以互逆命题与互逆定理为基础，系统梳理逆定理的内容、判定步骤及与勾股定理的区别联系，再延伸至勾股数的概念和判断方法，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 该资料通过6个题型讲练（如网格中判断直角三角形、实际应用问题）、中考真题及分层训练设计，以绿化空地面积计算等实例培养数学眼光，逆定理推理过程强化数学思维，勾股数判断训练数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：互逆命题与互逆定理 1 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 2 知识点梳理03：勾股数 3 题型讲练 3 题型1：判断三边能否构成直角三角形 3 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 3 题型3：在网格中判断直角三角形 4 题型4：利用勾股定理的逆定理求解 6 题型5：勾股定理逆定理的实际应用 7 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题 8 中考真题 9 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 12 知识点梳理01：互逆命题与互逆定理 互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理， 称这两个定理互为逆定理. 1、对互逆命题的理解： ①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反； ②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系. ③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式. 1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. 1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①找：找出三角形三边中的最长边； ②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； ③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 【易错点拨】 （1）a2+b2=c2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边. （2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点梳理03：勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． 2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 题型1：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中，，，，求的度数． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．3，5，7 C．6，8，10 D．5，12，13 【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为，，，如果，试判断三角形的形状． 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例精讲】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式训练1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【变式训练2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【变式训练2】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，三点都是格点（水平线和垂直线的交点）． (1)判断的形状，并证明； (2)若是某个平行四边形的三个顶点，在网格中画出所有符合题意的平行四边形． 题型4：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【变式训练2】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，中，，求的面积． 题型5：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【变式训练1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【变式训练2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【变式训练1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 1．（2024·河北沧州·中考真题）在中，，，，D为中点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2024·江西鹰潭·中考真题）若的三条边，，满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，，，P为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为E、F，M为的中点，设的长为x，则x的取值范围是 ． 4．（2024·全国·中考真题）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正确结论的序号是 ． 5．（2024·云南丽江·中考真题）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①；②；③；④．以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为 ． 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 6．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则 是直角． 7．（24-25八年级下·全国·月考）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，在中，D为边上的一点，． (1)请说明． (2)求的面积． 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，两条公路，相交于点，从点沿直线再修建一条公路到点．若，，．求证：． 培优拔高 11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都相等，点，，均在小正方形的顶点上，则的度数为 ． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为 ． 17．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 19．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 20．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：互逆命题与互逆定理 1 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 2 知识点梳理03：勾股数 3 题型讲练 3 题型1：判断三边能否构成直角三角形 3 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 4 题型3：在网格中判断直角三角形 7 题型4：利用勾股定理的逆定理求解 9 题型5：勾股定理逆定理的实际应用 12 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题 15 中考真题 18 分层训练 23 基础夯实 23 培优拔高 28 知识点梳理01：互逆命题与互逆定理 互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理， 称这两个定理互为逆定理. 1、对互逆命题的理解： ①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反； ②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系. ③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式. 1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. 1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①找：找出三角形三边中的最长边； ②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； ③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 【易错点拨】 （1）a2+b2=c2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边. （2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点梳理03：勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． 2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 题型1：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中，，，，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 通过计算可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，据此即可求． 【规范解答】解：，，， ∴， ， 为直角三角形，且． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．3，5，7 C．6，8，10 D．5，12，13 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（c为最长边），则该三角形为直角三角形，分别计算各组线段是否满足此条件即可． 【规范解答】解：对于选项A：∵，∴能构成直角三角形； 对于选项B：∵，∴不能构成直角三角形； 对于选项C：∵，∴能构成直角三角形； 对于选项D：∵，∴能构成直角三角形； 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为，，，如果，试判断三角形的形状． 【答案】该三角形是直角三角形 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及非负数的性质．根据非负数的性质可得，，，再解出、、的值，利用勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形． 【规范解答】解：该三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴，，． 解得，，． ∵， ∴， ∴该三角形是直角三角形． 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例精讲】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【规范解答】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 【变式训练2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【规范解答】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 题型3：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【规范解答】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 【变式训练2】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，三点都是格点（水平线和垂直线的交点）． (1)判断的形状，并证明； (2)若是某个平行四边形的三个顶点，在网格中画出所有符合题意的平行四边形． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定， 对于（1），根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判断即可； 对于（2），以为边，过点A，B作的平行线，两直线交于点，四边形是平行四边形；再以为对角线，作，四边形是平行四边形；然后以为对角线，作，四边形是平行四边形. 【规范解答】（1）解：是直角三角形． 证明：由已知，． ∴， ∴是直角三角形； （2）解： 题型4：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，中，，求的面积． 【答案】 【思路点拨】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，最后根据三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：由题意得， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积． 题型5：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【思路点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 【变式训练1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【思路点拨】(1) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． (3) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， 故是直角三角形． （2）解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 【变式训练2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1) (2)9600元 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键； （1）连接，利用勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出，由求解即可； （2）由总面积每平米的费用求解即可． 【规范解答】（1）解：连接， 在中， ， ， ， ， ， 答：空地的面积为24． （2）解：总共需投入（元）， 答：总共需投入9600元． 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 【变式训练1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【规范解答】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）证明见解析；（2）5cm 【思路点拨】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【规范解答】证明：（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 1．（2024·河北沧州·中考真题）在中，，，，D为中点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． 先证明，再利用勾股定理可得，从而可得答案． 【规范解答】解：如图： ∵，，， ∴，， ∴ ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·江西鹰潭·中考真题）若的三条边，，满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键． 根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解． 【规范解答】解：由得， 当时，，此时的形状是等腰三角形； 当时，，此时的形状是直角三角形； ∴的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，，，P为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为E、F，M为的中点，设的长为x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，得出四边形是矩形，求出，求出，即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为中点， ∴， ∵当时，值最小， ∴此时， ∴， ∴，即 当P和C重合时，， ∵P和B、C不重合， ∴，即 ∴，即 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，三角形中线的性质，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，，再由线段中点的定义推出，则可证明四边形是平行四边形，据此可判断①；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，据此可判断②；由三角形中线平分三角形面积得到，据此可判断③；证明四边形是平行四边形，得到，再假设，可证明此时，则，这与矛盾，据此可判断④． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ∵，点E为的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形，故②正确； ∵为的中点， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 当时，则，则， ∴，这与矛盾 ∴不成立，故④错误； 故答案为：①②③． 5．（2024·云南丽江·中考真题）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)直角三角形 (3)36 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：，，， ； （2）解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【规范解答】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①；②；③；④．以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理逆定理和三角形三边关系， 对于每组数据，先判断是否能构成三角形（任意两边之和大于第三边），再判断是否满足勾股定理． 【规范解答】解：①，故不能构成直角三角形； ②，故能构成直角三角形； ③，不能构成三角形； ④，故能构成直角三角形； ∴能构成直角三角形的组数为②和④， 共2组， 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：设，，， ，， ， 所以是直角三角形，且为直角边，为斜边， 故， 故答案为：． 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算，，的长，由此即可判断是等腰直角三角形即可． 【规范解答】解：根据勾股定理，得， ， ， ∴，， ∴，. 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则 是直角． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【规范解答】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·月考）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，在中，D为边上的一点，． (1)请说明． (2)求的面积． 【答案】(1)说明见解析 (2)的面积为84 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积， 对于（1），根据，可知为直角三角形，即可得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，即可得出，然后根据的面积得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【答案】是从村庄到河边最近的路，见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知，进而得到，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论． 【规范解答】解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，两条公路，相交于点，从点沿直线再修建一条公路到点．若，，．求证：． 【答案】证明过程见解析 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确利用公式求解是解题的关键． 根据已知数据利用进行判断即可 【规范解答】，，， ，， ， ． 培优拔高 11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 12．（24-25八年级下·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【规范解答】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 13．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【规范解答】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都相等，点，，均在小正方形的顶点上，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用网格先计算，，，再进一步解答即可． 【规范解答】解：设小正方形边长为1，连接， ∵，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【思路点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【规范解答】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长． 先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出． 【规范解答】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴ 在中， ， ∵，即， ∴为直角三角形，且，即． 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 17．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键． 根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案． 【规范解答】解： ， 且， ，，即， ，是直角三角形， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 【答案】证明见详解 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用及勾股定理逆定理证明．通过勾股定理求出、、的长度，再根据勾股定理的逆定理来证明结论． 【规范解答】证明：在网格图中，在一个直角边分别为2和2的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 同理，在一个直角边分别为3和3的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 在一个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ∴． 19．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】沿北偏西（或西北）方向航行 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向． 【规范解答】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ∴， ∴“海天”号沿北偏西（或西北）方向航行． 20．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $