专题检测卷(4) 三角形-【超级备考】2026年中考数学测试卷

由-7+2十3=-，得=3十).=3，I 2 2 当x=3+)yI时，-+2x十3=-3,2 2 2 r(+@,-32@): 当=3-I时，-+2x十3=-3+2团 2 p(3-②I,3+@). 2 “点P的坐标为(1+，正，1+屋)或(3+，yI -32I)或(3见.3@)】 2 23.解：(1)如图1，作CT⊥y轴于点T,作DN⊥x轴于点N, 则∠CTB=∠DNA=∠AOB=90°. 点B(0,1),A(2,0), .OB=1,OA=2. ,四边形ABCD为正方形， .∠ABC=∠BAD=90°，BC= AB-AD., B .∠OAB+∠ABO=∠ABO+ ∠CBT=90°， ∴.∠OAB=∠CBT, 图1 ∴.△ABO≌△BCT(AAS), ∴.CT=OB=1,BT=OA=2, ∴.OT=OB+BT=3,即C(1,3). 同理可得D(3,2). 将C1.3f入m=（>0)得3=会即为=3 将D3.2)代人-经(>0)，得2=含，即=6. (2)由点A(2,0),得垂线L为直线x=2. 如图，作点B关于垂线L的对称点B1,连接B,D,并延长 BD交垂线L于点P,连接BP, 由轴对称的性质，得PB=PB1, 点B1(4,1), .PB-PD=PB-PD ≤DB, 当点P,D,B在同一直线上 时，IPB一PD|的值最大， 为DB. O 设直线DB的解析式为y=kx +b(k≠0)，将点D(3,2),B(4,1)代入， 得 3k+b=2, (k=一1， 解得 4k+b=1, b=5, .直线DB,的解析式为y=-x十5. 当x=2时，y=一2+5=3， .点P的坐标为(2,3). (3)存在. 由1，得n=,C1,3.D3,2. 参考答案 当x=3时=号-1，即3,10. .∴.CE=/(3-1)2+(1-3)2=22. 设M(0,y),N(s,t), 点C,E,M,N构成的四边形为菱形， ∴.当CE为对角线时，CM=CN, 1+3_0+5 2 2 则1十3_y十t 2 2, (0-1)2+(y-3)2=(s-1)2+(t-3)2, s=4, 解得t=4,即点N的坐标为(4,4)： y=0, 当CE为边时，CE=CM或CE=CN, 1+s_3+0 2 2 同理可得3+t=y+1」 2 或 2 (22)2=(0-1)2十(y-3)2 (1+0_3+s 2 2, 3y+3_1+1 2 2, (22)2=(s-1)2+(3-t)2, s=2, (s=2, 解得t=1-√7，或t=1十7，或无解， y=3-v7 y=3+7, 此时点N的坐标为(2,1一7)或(2,1+7). 综上所述，点N的坐标为(4,4)或(2,1一7)或(2,1+7) 专题检测卷（4)三角形 题号 12 345 67 8910 答案BC D A 11.15012.(10,12) 13.号142615.3 16.解：原式=3× -1+8×+2x号 3 =v3-1+3+1 =23. 17.证明：：△ABC和△DEF都是等边三角形，且AC=DF, ∴.AC=BC=DF=DE=EF,∠ACB=∠DEF=60°， .∠ACF=180°-∠ACB=120°， ∠BED=180°-∠DEF=120°， .∠ACF=∠BED. .BC=EF, ∴.BC-EC=EF-EC, 即BE=CF 在△AFC和△DBE中， (AC=DE, ∠ACF=∠DEB, CF=EB, ∴.△AFC≌△DBE(SAS). 第106页 18.证明：，AD∥BC ∴.∠ADC=∠DCB. :CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠DCB, .∠ADC=∠ACD, ∴.AD=AC. .AB=AC, .'.AD-AB, ∴，△ABD是等腰三角形 19.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=∠D=90°， ∴.∠CBF+∠CFB=90° 由折叠的性质得∠EFB=∠A=90°， .∠DFE+∠CFB=90°， ∴.∠DFE=∠CBF, .△CFB∽△DEF. (2)解：由(1)得△CFBP△DEF, 器器3 设CF=kcm,则BF=3kcm(k>0), 在Rt△BCF中，BC=4V2cm,由勾股定理，得BF-CF =BC, .(3k)2-2=(42)2, 解得k=2(负值已舍去)， 则3k=6, .'BF=6 cm. 20.【证明结论】证明：如图，作AD⊥BC于点D,CE⊥AB于 点E, 由三角函数可知，在Rt△ABD中，AD =c·sinB, 在Rt△ACD中，AD=b·sin∠ACB, .c·sinB=b·sin∠ACB, sinACB sin B' B D a 由三角函数可知，在Rt△ACE中，EC=sin∠BAC·b, 在Rt△BEC中，EC=sinB·a, .sin∠BAC·b=sinB·a, sin∠BAC sin B' b ∴sin∠BAC-sin B sin∠ACB 【结论应用】解：在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°， .∠A=180°-75°-45°=60°， 由题意，得ABBC sin C sin A' ..AB5 2超 2 2 解得AB=5⑥ 31 21.解：任务1：在Rt△BDH中，BD=1m,a=60°， BH=BD:sna=1x号≈0,87(m. 答：踏板BE离地面的高度BH约为0.87m. 参考答案 任务2：电工可以换下灯泡.理由如下： 由题意，得当a=75时，BH最大， 在Rt△BDH中，BD=1m,a=75°， ./DBH=90°-a=15°， .BH=BD·cos∠DBH=1Xcos15≈0.97(m). 2.6+0.97-0.87=2.7m2.65m, 电工可以换下灯泡。 22.(1)证明：∠BAC=60°，AB=AC, ∴△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠C=60°. 在△ABE和△CAD中， AB=CA, ∠BAE=∠C, AE=CD. ∴.△ABE≌△CAD(SAS), ∴.AD=BE (2)解：如图2，过点C作CM⊥AD于点M,则∠AMC=90°. .CD=CA, .AM-DM-2AD. M :∠BAC=90°，∠AMC=90°， B ∴.∠BAE+∠DAC=90°， D ∠DAC+∠ACM=90°， 图2 .∴∠BAE=∠ACM :BE⊥AD, .∠AEB=90°=∠AMC. 在△ABE和△CAM中， ∠BAE=∠ACM, ∠AEB=∠CMA, AB=CA, ∴.△ABE≌△CAM(AAS), ∴BE=AM=AD .BE=3, .AD=6. (3)解：如图3，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP= AB,连接DP,AP,则∠BAE=∠PCD. 在△ABE和△CPD中， AE-CD. ∠BAE=∠PCD, AB=CP, ∴△ABE≌△CPD(SAS), B .BE=PD, ∴当A,D,P三点共线时，AD +PD=AP的值最小，即AD 十BE的值最小. AB=AC,∠BAC=80°， .∴.∠ACB=50°， 图3 第107页 .∠ACP=130. .AB=AC=CP, ∴∠CAP=∠APC=3(180°-∠ACP)=3×(180° 130°)=25°， .∠ADC=180°-∠ACB-∠CAP=180°-50°-25° =105°. 23.(1)证明：，将△ABC绕点C旋转得到△DE℃，点A的对应 点D落在边AB上， ∴.AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, 器罡 '.△BCE△ACD. (2)解：，BC=2,AC=1,∠ACB=90°， ..AC=CD=1,AB=VAC+BC=V12+22=5, tan A-AC-2. 如图2，过点D作DH⊥AC, ∴.DH=AH·tanA=2AH 在Rt△CDH中，CP+DP=CD, 即(1-AH)2+(2AH)2=12, 解得AH=号，或AH=0(合去)， DH=昌 图2 在Rt△ADH中，A+DHP=AD, ·AD=AF+DF=25 5 由(1)得△BCEp△ACD, 能瓷脚E- 2v5 5 BE=45 5 (3)①证明：设旋转角为a,则∠ACD=∠BCE=a,AC=CD, CB=CE, ∴∠CDA=∠A=1802e-90°-a,∠CEB=∠CBE 2 180g8=90-7 2 ,∠ACB=90°， ∴.∠BCF=90°，∠DCB=90°-a, .∠ECF=90°-a, ,∴.∠DCB=∠ECF GF∥AB, ∴.∠F+∠A=180° ,∠CDA+∠CDB=180°，∠CDA=∠A, ∴.∠CDB=∠F 又，CB=CE, '.△BCD≌△ECF(AAS), 参考答案 ..CD=CF. .CD-AC, ∴.AC=CF @解2忌 解桥：器-名， ∴.设GF=5k,则GB=6k. GF∥AB,BG∥AF, .四边形ABGF是平行四边形， .∴.AB=GF=5k,AF=BG=6k,∠G=∠A. 由①得CD=AC=CP=2AF=3, 在Rt△ABC中，BC=√/AB-AC=(5k)2-(3k)2 =4k. :'.sin G=sin A-5 ,△CBD≌△CEF, ∴∠CBD=∠CEF. .'GF∥AB, ∴.∠FEB+∠ABE=180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD=18O°. 又，∠CEB=∠CBE, ∴.2（∠CEF+∠CEB)=2∠FEB=180°， ∴.∠FEB=90°， ∴.∠BEG=90°，∠ABE=90°， BE 4 BE 4 sinG=B=5,即6=5 .BE 由旋转的性质得∠ECD=∠BCA=90°，∠EBD=90°， ∴.∠ECD+∠EBD=180°， .C,D,B,E四点共圆， .∴.∠BED=∠BCD. 又，∠BKE=∠DKC, .∴.△BEKO△DCK, 微课器 5 设DK=5x,则BK=8x,CK=5y,EK=8y, 则BC=BK十CK=8x+5,y=4k①： 根据旋转的性质可得DE=AB=5k, ∴.DE=DK+EK=5x+8y=5k②， 联立①②可得x= 7 5X39_7 32 第108页专题检测卷(4) 三角形 (测试范围：三角形时间：120分钟 满分：120分) 三 四 五 题号 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.以下列数据为三边长能构成三角形的是 咖 A.1,2,3 B.2,3,4 C.14,4,9 D.7,2,4 逊2.下列图形具有稳定性的是 A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形 3.若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为 A.13 B.7 C.17 D.13或17 4在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA= 号，则cosB的值是 A B青 c D 5.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF的反向延长线交于主光 轴MN上一点P.若∠ABE=140°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 () T A.20° B.30° C.50 D.70° 拟 1 B M----- 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数是 A.35 B.45° C.53° D.55° 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线.若CF=6,则DE的长为 崇 () A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=10cm,且△ABD的周长为45cm,则△ABC的周长为 () A.55 cm B.60 cm C.65 cm D.70 cm 第8题图 第9题图 洲 9.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，且S△Ac=32cm,则阴影部分的面积为 A.12 cm2 B.8 cm2 C.6 cm2 D.4 cm2 专题检测卷(4)三角形第1页（共4页） 10.如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形 A EFGH,连接BD交CH于点P.若BP=BC,则tan∠CBG的值是 H A.√2-1 B.2-√2 c号 D.2/2 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，较小的三角形的周长是100c,那么另一个的三角形的周长为 cm. 12.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B,B'的坐标分 别为(8,2)，(16,4).若点A的坐标为(5,6)，则点A的坐标为 D B D B 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为 14.如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i=3：4,BD长12米，则 古塔BC的高度为 米. 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=4,BC=3,点D在边AB上，过点A作AE1CD,垂足为E,则S品的 最小值是 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.计算：3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos60°. 17.如图，点B,C,E,F在同一直线上，△ABC和△DEF都是等边三角形，且AC=DF.求证：△AFC≌△DBE. 18.如图，在△ABC中，AB=AC,过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D,连接BD.求证：△ABD是等 腰三角形. 专题检测卷(4)三角形第2页（共4页） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图，点E是矩形ABCD中AD边上一点，△ABE沿BE折叠为△FBE,点F落在CD上. (1)求证：△CFBP△DEF; (②)若器-号，BC=4反cm求BF的值 20.【教材呈现】人教版九年级数学下册教材“拓广探索”中的题目如下： 如图，在锐角△ABC中，探究A's品BsC之间的关系 b (提示：分别作AB和BC边上的高.) 【证明结论】借助图，求证：A品BC: 【结论应用】在△ABC中，若∠B=75°，∠C=45°，BC=5,请利用以上结论求AB的长. 21.根据题中所给的素材，完成下面的任务. 换房间的灯泡 素材1房间内的灯泡到地面的距离为2.65m 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、地面都是水平的 素材2 梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，BD=1m 最大 B 触及 设梯子一边AD与地面的夹角为a,且&可调节的范围为60°≤a≤75° 高度 当α=60时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大 素材3 H 触及高度为2.6m 任务1 当a=60时，求踏板BE离地面的高度BH(精确到0.01m) 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由 任务2 (参考数据：V3≈1.732，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 专题检测卷(4)三角形第3页（共4页） 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC. (1)如图1，∠BAC=60°，D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD.求证：AD=BE; (2)如图2，∠BAC=90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于点E.若CA=CD,BE=3,求AD的长； (3)如图3，∠BAC=80°，D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD.当AD十BE的值最小时，求此时∠ADC 的度数. 图 图) 图3 23.在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在边AB上，连接BE. (1)如图1，求证：△BCEp△ACD; (2)如图2，当BC=2,AC=1时，求BE的长； (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC 交于点K ①求证：AC=CF; ②当器-号时，直接写曲是的值， 图2 图3 专题检测卷(4)三角形第4页（共4页）