5.几何新定义综合题-【超级备考】2026年中考数学培优拔高练

培优拔高练 几何新定义综合题 ”类型1中外比点 1.(2025·广东)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，称此线段被分为 中外比，这个点称为中外比点. (1)如图1，点P是线段MN的中外比点，MP>PN,MN=2,求PN的长； (2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y=冬(>0，x>0)的图象分别与矩形0ABC的边AB,BC相 交于点D,E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D,E,F是否分别为AB,BC, OB的中外比点，并证明. y 公 P NA 01 图1 图2 图3 36 解答题培优拔高练 ”类型2“伴随三角形”与“双等四边形” 2.(2025·深圳)综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角尺拼接成一个四边形. 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该 四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在△ABC中，AB=AC,AC= AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”. D 图1 图2 图3 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC.问：①AD与BC的位置关系为 ;②AC AD·BC(填“>”“<”或“=”)； 【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC=BC.将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边 上.求证：四边形ABDE是双等四边形； ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC,osB=号，AB=5,在平面内找一点D,使四边形ABCD是以 △ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由. 图4 图5 各用图 37=号PN-2Q, ∴.S=S-S2=NQ. 又∠OAC=45,∠AQN=90°， ∴△ANQ为等腰直角三角形， NQ-号AN= 2n s=Q=(竖)°=2， S关于n的函数表达式为S=心， 几何新定义综合题 1.解：(1)设PN=x(0<x<1),则MP=MN-PN=2-x, 根据题意，得都架即”。2兰。 x 整理，得x2-6x十4=0， 解得知=3十√5（舍去），x2=3-V5, .PN的长为3-√5. (2)如图所示，点C即为所求. 解析：设BD=x, ∴.由作图可得AD=BF=FG=x,AB=2x,∠ABF=90°， ∴.AF=W√AB+BF=√(2x)2+x=√5x, .AG=AC=V5x-x=(5-1)x. ∴.BC=AB-AC=2x-(√5-1)x=(3-√5)x, 是能-g没， 2 瓷， 点C为线段AB的中外比，点，即，点C把线段分为中外比. (3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为AB, BC,OB的中外比点，证明如下： 第一种情况：当△OED=90时，OE=ED, ∴.∠OEC+∠DEB=90°. ,四边形OABC是矩形， ∴∠OCE=∠EBD=90°， .∠COE+∠OEC=90°， ∴.∠COE=∠DEB, .△COE≌△BED(AAS), ..OC-EB,CE-BD. 参考答案 设点E(m,n),其中m>0,n>0, ∴.OC=EB=n,CE=BD=m, .'.D(m+n,n-m),B(m+n,n). :点D,E在反比例函数y=(>0,x>0)的图象上， ..k=mn=(m+n)(n-m), 整理，得t-mn-m2=0, 解得=15m=125会去， (m,15m,n(5mm）,(5m 1+5 2em), E5m.CE-m.BD-m.AD= 2 52AB=25 (.c.CE5m 5n,BDAB AD55m 2 2 2 .BE=BC·CE,BD=AB·AD, 瓷瓷品器 点E,D为BC,AB的中外比点. :A=mn=1+5m, 2 1+5m ∴反比例函数的解析式为y= 2 —(x>0). x 由B(2m,1+5m,00,0,得直线0B的强数解折 2 式为y=后>0 5-1 y= 2x, x=5+m, 联立方程组 解得 2 y 2 (y=m, x r(m, 8器器， ∴点F为OB的中外比点. 第二种情况：当∠ODE=90时，OD=DE, ∴∠ODA+∠EDB=90°. ,四边形OABC是矩形， .∠OAD=∠EBD=90°， ∴.∠ODA+∠DOA=90°， ∴∠EDB=∠DOA, ∴.△OAD≌△DBE(AAS), ..OA=DB,AD=BE. 第97页 设点D(a,b),其中a>0,b>0, ∴.OA=DB=a,AD=BE=b, ∴.E(a-b,a+b),B(a,a十b). “点D,E在反比例函数y=是(>0，x>0)的图象上， 2 ∴.k=ab=(a-b)(a+b), 整理，得2十ab-a2=0, 解得%=5a,6=125a(合去)， 2 e,o)(2,5,(e,5a), :.BE-5>la.CE-3-/5a,BC=a,BD-a.AD-5>la. 2 2 2 AB=5+1 a, 2 e-(5a)°-35。，Bc.cE-35, 2 2 BD=a2,AD·AB=a2, ∴.BE=BC·CE,BD=AD·AB, 品部B 点E,D为BC,AB的中外比点. :k=ab=5,1d, 2 5-1a 反比例函数的解析式为y=一 (x>0), x 由B(。,5a）,00,0),得直线0B的函数解析式为y= 5+1x(x>0), 2 √5+1 y 2x, x=5-1 联立方程组 2a, （y=a, x, (5o, 器. 点F为OB的中外比点. 第三种情况：当∠EOD=90°时，点E,D分别位于y轴、x轴 上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在. 综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为 AB,BC,OB的中外比点. 2.【问题解决】①AD∥BC②= 【方法应用】①证明：，△ADE为△ABC旋转得到， .AB=AD,AC=AE,BC=DE,∠ADE=∠B, ∠ADB=∠B. .AC=BC, ∴.AE=DE .∠ADE=∠DAE. 令∠B=a,则∠ADB=∠DAE=∠ADE=a, 参考答案 ∠BAD=180°-2a,∠E=180°-2a, ∠E=∠BAD, ∴四边形ABDE为双等四边形. ②解：存在. 如图，作AH⊥BC于点H, casB=号AB=5, ∴.BH=3,AH=4. 设CH=x,则AC=BC=x十3， 在Rt△AHC中，C+A=AC, H 即x2+42=(x+3)2, 图① 7 解得x=6, ∴CH=日，BC-AC-9 第一种情况：如图①，当∠ACB=∠D=∠CAD,CA=CD时， CD-AC- 第二种情况：如图②，当∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， AD=AC=答， 作AM⊥CD于点M, .CD=2CM,∠AMC=90°， ..CM C =cos∠ACM=cos∠ACB D 7 7 = 25 B H 6 图② CD=2CM=子： 第三种情况：如图③，当∠D=∠ACB,DA=DC时， AD =CD BC' ∴.△CAB∽△DAC, 限8 D 25 25 6 图③ ∴cD 综上所述，满足条件时，CD的长为曾或子或盟 代数推理 1.(1)解：，二次函数y=a.x2+bx-5(a≠0)的图象经过点(5， 0), .25a+5b-5=0,即5a+b=1. 由5a十b=1和a-b=5,解得a=1,b=-4, .∴.二次函数的解析式是y=x2一4x一5. (2)证明：，a-b=5, .∴.b=a-5, 第98页