4.几何动点综合题-【超级备考】2026年中考数学培优拔高练

∴.AA'⊥CA (2)①证明：如图2，设⊙O与CD切于点F,连接OF, .OF⊥CD,OF=OE 由(1)知AA'⊥BD, ∴∠OEA=∠OFC=90°. 四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD,OA=OB=OC, ∴.∠OCF=∠OAB=∠OBA 在Rt△OAE和Rt△OCF中， (OA=OC, OE-OF, .Rt△OAE≌Rt△OCF(HL), .∠OAE=∠OCF, .∠OAE=∠OAB=∠OBA. :∠EAB+∠ABO=90, ∴.∠OAE+∠OAB+∠OBA=3∠OAE=90°， .∠EAO=30°， AA'⊥CA', ∴tan∠EAO=CA AA, ∴tan30°=CA=3 AA=3 ∴.AA'=√3CA' 图2 图3 ②解：如图3，设⊙O切CA'于点H,连接OH, 则OH⊥CA',OH=OE. 由(1)知AA'⊥CA',AA'⊥BD,OA=OC, ..OH∥AA',OE∥CA, ∴.△COH∽△CAA',△AOE∽△ACA', 器%票隐女 ∴.AA'=2OH,CA'=2OE, ∴.AA'=CA', ∴.∠A'AC=∠A'CA=45°， .∠AOE=∠ACA'=45°， ..AE=OE, .OD=OA=√2AE 设AE=OE=x,则OD=OA=√2x, .∴.DE=OD-OE=(√2-1)x 在Rt△ADE中，由勾股定理，得x2十[（√2一1）x]2=1, 参考答 x2=2+2 4 500的面积=元·正-2汁 4 几何动点综合题 1.解：(1)60 (2)由旋转的性质得∠BOC=60°，OB=OC, ∴.△BOC是等边三角形， ∴.∠OBC=60°，BC=OB=OC=4, ∴.∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°， ∴AC=√AB+BC=2W7,∠OAB+∠ABC=180°， .OA∥BC. OB=4,∠ABO=30°，∠OAB=90°， 0A=2OB=2,AB=9OB=2W5, 2 5r=20A·AB=号×2X2g=25. “0P=2Sc=43=22 AC 2W7 7 (3)①当0<≤g时，点M在0C上运动，点N在OB上运 动，则OM=1.5x,ON=x. 如图2，过点N作NE⊥OC于点E, 则NE=ON·曲60-9， y=oMNE=号×1.5xx B 2x= 2 8 0. 图2 “当x=号时y有最大值，最大值 为， ®当<<4时，点M在BC上运动，点N在OB上运动， 则ON=x,BM=8-1.5x 如图3，作MH⊥OB于点H,则MH= B BM,sn60°=5(8-1.50， 2 D =2oN…MH= 35士+2W5x 8 39(x-号)广+ 图3 -33<0, 8 当x=号时y取最大值，最大值为8， ③当4≤x≤4.8时，点M,N都在BC上运动，则MN=12- 案 第93页 2.5x. 如图4，作OG⊥BC于点G,则OG=AB =23, gy=2MN.0G=125-5y。 x. -5y5<0, 图4 2 当x=4时，y有最大值，最大值为23， 23<83 3, ÷当x=号时y有最大值，最大值为8， 2.解：(1)四边形APQD为平行四边形. (2)OA=OP,OA⊥OP,证明如下： ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°. .'OQ I BD. .∠BOQ=90°， ∴.∠PQ0=45°， .∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴.OB=OQ 在△AOB和△POQ中， (AB-PQ, ∠ABO=∠PQO, OB=OQ, ,∴.△AOB2△POQ(SAS), ∴.OA=OP,∠AOB=∠POQ, ,∴.∠AOP=∠BOQ=90°， .OA⊥OP. (3)如图，过点O作OE⊥BC于点E. 由(2)得∠BOQ=90°，BO=QO, ∴.△BOQ是等腰直角三角形， “0E=2BQ, ①如图1，当点P在点B右侧时，BQ-x十2，则OE=寸2， 2 ∴y=OEBP=×2.x,即y=a+1r- 2 41 又：>0,0≤x≤2， .当x=2时，y有最大值，最大值为2； 0 P B E O 图1 图2 ②如图2，当点P在点B左侧时，BQ-2-x,则OE=2,工， 2, 参考答案 y=20E·BP-号×222·，即y=-(x-1+ 又：-4<0,0≤<2， “当x=1时y有最大值，最大值为子 2> .当x=2时，y有最大值，最大值为2. 3.解：(1)由图可知，初始位置时S=0, ∴从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大 (2)初始位置时点P在AD上，右移至图3时，点P在 BC上， .向右移动的距离=AB=3m,即x=3, '.此时AM=1m,点Q向右移动到AD上， '.AN=MN-AM=3-1=2(m), :S=AN+P@)·A9-2+3)X2=5, 2 2 ∴图3情形的x的值为3，S的值为5. (3)如图，从图3情形起右移至M与A ) C 重合的过程中，设PQ交BC于点G, PN交BC于点F,QM交AD于点E, 由平移的性质可知，PG=（x一3)m, NB MA=(4-x)m, ,四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABCD是矩形， ∴.DC∥QP∥MB,∠ABC=∠DAB=90°， ∴.∠P=∠EMA=∠FNB,∠PGF=∠EAM=90° tanP=tam∠EMA=tan∠FNB=是-2. ∴.AE=AM·tan∠QMN=2(4-x)=(8-2x)m, GF=GP.tan P=2(x-3)=(2x-6)m. :.S-Sowrq-SoMr-Somr-3X2-2X(8-2x)X(4- )-号×(2x-6)×(x-3)=-22+14x-19(3<x≤4. (④)当遮阳区面积最大时，口MNPQ向右移动了子m 解析：当0<x≤3时，S随x的增大而增大，故当x=3时，S 最大，由(2)知，S为5； 当3<≤4时，S--22+14x-19=-2(x-名）'+ -2<0, ÷当x=子时，S有最大值，最大值为号； 当>4时，S随x的增大而减小，此时S<号 “5<号， “.遮阳区面积最大时，口MNPQ向右移动了？m 7 4.解：(1).∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， 第94页 ∴.∠A+∠ABC=180, ∴.AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴.△ADB∽△DBC, 品器 ∠BAD=90°，AD=2,AB=4, ∴.BD=√22+4=25， 品 .CD=45. (2)①四边形DBA'F是矩形，理由如下： 由折叠的性质得∠A=∠BA'D'=90°，∠ABD=∠A'BD', ,∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°， ∴∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90°. 又，∠BDC=90°， ∴四边形DBA'F是矩形. ②如图3，延长AD和A'D'相交于点Q,连接BQ, 由折叠的性质得∠A=∠BA'D D 、 =90°，∠ABD=∠A'BD', ∠EBD=∠EBD,AB=A'B =4, ,点A'恰好落在边BC上， 图3 .∠ABA'=90°， 四边形ABA'Q是正方形， ∴.AB=A'B=AQ=A'Q=4,AQ∥CB, ∴.DQ=AQ-AD=2. ,∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD=∠A'BE =7×90=456, .点E在对角线BQ上. 在Rt△BDC中，BC=√BD+CD=√(2W5)2+(4W5)3 =10, AQ∥CB, ∴.△DQE∽△CBE, -设-品-日 DE-专CE, DE-CD-245 3 (3)存在，线段CP的最小值为√85-√5 解析：如图，设BD的中点为 O,连接OC,OP,则OD= BD-5 由折叠的性质得∠EBD= 参考答案 ∠EBD',BD=BD,DE=DE, ,BE是线段DD'的垂直平分线， ∠BPD=90°， ∴.点P在以，点O为圆心，OD的长为半径的⊙O上，OP=OD =√5， CP≥OC-OP,即点P在OC上时，线段CP存在最小值. 在Rt△ODC中，OC=√OD+CD=√(5)2+(45)2 =√85， ∴.CP≥85-√5， 线段CP的最小值为√85-√5. 5.(1)证明：△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到 △A'DC',且点E与点A重合， ∴.AD=DE, ∴.∠DAE=∠DEA DE是△ABC的中位线， .DE∥BC, ∴∠DEA=∠BCA, ∴∠DAE=∠BCA, ..AB-BC. (2)证明：如图2，连接AA', :△ADC旋转得到△A'DC', A ∴.∠ADA'=∠CDC,AD=A'D, CD=CD, 0品 图2 .△ADA'Cp△CDC, 总品 DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线， ∴AD=BD,BF=A'F, .DF是△AAB的中位线， ..AA'=2DF, 0器 2DF·CD=BD·CC (3)解：存在，证明如下： 如图3，取AD中点M,CE中点N,连接MN,以点M为圆 心，AD的长为直径作⊙M,以点N为圆心，CE的长为直径作 ⊙N,则⊙M与⊙N的交点为点G :tamB=专，BE=3,DELEC, ∴.DE=4,BD=5, cE-号， 第95页 EN=号CE=9, M. .BN-BE+EN- DELCE,CE为⊙N的直径， B4 ∴.DE是⊙N的切线，即DE在 ⊙N外， 图3 作NF⊥AB于点F,即∠BFN=90°， ∠B=∠B,∠BED=∠BFN=90°， ∴.△BDE∽△BNF, 器器脚喝意 4 NF=g9即NP> .AB在⊙N外， .点G在四边形ADEC内部. 作MH⊥BC于点H, :BM=BD+2AD-号，mB=÷, BH-器MH=袋， 4.NH- ∴.MN=√MH+N平≈7.4<AM+CN, ∴.⊙M和⊙N有交点. 故四边形ADEC内存在点G,使得∠AGD+∠CGE=180°. 6.解：(1)当旋转角∠COF为22.5时，OE=OF 解析：四边形OABC是正方形， ∴.OA=OC,∠OCB=∠OAB=90°. 当OE=OF时， 在Rt△AOE和Rt△COF中， OE=OF, OA=OC, ∴.Rt△AOE≌Rt△COF(HL), ∴.∠AOE=∠COF=a, .2∠AOE=45°， ∠COF=∠AOE=22.5°， ∴.当旋转角∠COF为22.5°时，OE=OF (2)如图2，过点A作AG⊥x轴于点G,则∠OGA=90°. 点A的坐标为(4,3)， ∴.AG=3,OG=4, ..OA-OG+AG=5. :四边形OABC是正方形， .OC=OA=5,∠AOC=∠C=90°. 参考答案 ∴.∠C=∠OGA. 由旋转的性质得∠COF=∠GOA =a, ∴.Rt△AOG∽Rt△FOC, .OC_FC G …OGAG1 .FC=0C:AC_5X3=15, 图2 OG 4 4 FC的长为只 (3)如图3，过点N作直线PQ⊥BC于点P,交OA于点Q,则 ∠FPN=∠OQN=90°. :四边形OABC是正方形， D B Y=x ∴.∠BCA=∠OCA=∠OAC C =45°， M A BC∥OA. 由直线y=x可知∠FON=45°， ∴∠FCN=∠FON=45°， 图3 F,C,O,N四点共圆. 又，∠OFN=∠OCA=45°， .∠OFN=∠FON=45°， ∴△FON是等腰直角三角形， ∴.FN=NO,∠FNO=90°， ∴.∠FNP+∠ONQ=90°. 又：∠NOQ+∠ONQ=90°， ∴.∠NOQ=∠FNP, ∴.△NOQ≌△FNP(AAS), ∴.NP=OQ,FP=NQ. ,∠OCP=∠CPQ=∠OQP=90°， .四边形OQPC是矩形， ∴.CP=OQ=NP,OC=PQ, ÷.S=Saw=20N =(0Q+NQ) -(PN+N@) =合PN+2NQ, S-Sow-CF.OC =(PC-PFp)·(PN+NQ =(PN-NQ·(PN+NQ) -2(PN-NQ) 第96页 =号PN-2Q, ∴.S=S-S2=NQ. 又∠OAC=45,∠AQN=90°， ∴△ANQ为等腰直角三角形， NQ-号AN= 2n s=Q=(竖)°=2， S关于n的函数表达式为S=心， 几何新定义综合题 1.解：(1)设PN=x(0<x<1),则MP=MN-PN=2-x, 根据题意，得都架即”。2兰。 x 整理，得x2-6x十4=0， 解得知=3十√5（舍去），x2=3-V5, .PN的长为3-√5. (2)如图所示，点C即为所求. 解析：设BD=x, ∴.由作图可得AD=BF=FG=x,AB=2x,∠ABF=90°， ∴.AF=W√AB+BF=√(2x)2+x=√5x, .AG=AC=V5x-x=(5-1)x. ∴.BC=AB-AC=2x-(√5-1)x=(3-√5)x, 是能-g没， 2 瓷， 点C为线段AB的中外比，点，即，点C把线段分为中外比. (3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为AB, BC,OB的中外比点，证明如下： 第一种情况：当△OED=90时，OE=ED, ∴.∠OEC+∠DEB=90°. ,四边形OABC是矩形， ∴∠OCE=∠EBD=90°， .∠COE+∠OEC=90°， ∴.∠COE=∠DEB, .△COE≌△BED(AAS), ..OC-EB,CE-BD. 参考答案 设点E(m,n),其中m>0,n>0, ∴.OC=EB=n,CE=BD=m, .'.D(m+n,n-m),B(m+n,n). :点D,E在反比例函数y=(>0,x>0)的图象上， ..k=mn=(m+n)(n-m), 整理，得t-mn-m2=0, 解得=15m=125会去， (m,15m,n(5mm）,(5m 1+5 2em), E5m.CE-m.BD-m.AD= 2 52AB=25 (.c.CE5m 5n,BDAB AD55m 2 2 2 .BE=BC·CE,BD=AB·AD, 瓷瓷品器 点E,D为BC,AB的中外比点. :A=mn=1+5m, 2 1+5m ∴反比例函数的解析式为y= 2 —(x>0). x 由B(2m,1+5m,00,0,得直线0B的强数解折 2 式为y=后>0 5-1 y= 2x, x=5+m, 联立方程组 解得 2 y 2 (y=m, x r(m, 8器器， ∴点F为OB的中外比点. 第二种情况：当∠ODE=90时，OD=DE, ∴∠ODA+∠EDB=90°. ,四边形OABC是矩形， .∠OAD=∠EBD=90°， ∴.∠ODA+∠DOA=90°， ∴∠EDB=∠DOA, ∴.△OAD≌△DBE(AAS), ..OA=DB,AD=BE. 第97页培优拔高练 几何动点综合题 ”类型1点动型 1.(2018·广东)已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋 转60°，如图1，连接BC. (1)填空：∠OBC= (2)如图1，连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度； (3)如图2，点M,N同时从点O出发，在△OCB边上运动，点M沿O→C→B路径匀速运动，点N沿O→B→ C路径匀速运动，当两，点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/ 秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y,当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？ B D 图1 图2 备用图 <解题思路> 根据动点M的三种位置分类讨论：①当0<<时，点M在OC上运动，点N在OB上运动，过点N作NE ⊥OC于点E,②当号≤≤4时，点M在BC上运动，点N在OB上运动，作MH1OB于点H:③当4长≤ 4.8时，点M,N都在BC上运动，作OG⊥BC于点G. 30 解答题培优拔高练 ”类型2线动型 2.(2016·广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到 的线段记为PQ,连接PA,QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA,OP. (1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ (2)请判断OA,OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)在平移变换过程中，设y=SAoB,BP=x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值 图1 图2 <解题思路> 根据线段平移的性质，可得PQ=BC=AB=AD,PB=QC,分，点P在，点B的左侧和右侧两种情况求△OPB 的面积 31 培优拔高练 ”类型3面动型平移变换 3.(2025·广西)综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九（⑤）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投 影是一个平行四边形（如图1）. 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影□MNPQ的平面图如图2所示，点P在AD上，MN=3m,AN= 1m,AP=2m,AB=3m,BC=2.5m.由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中， □MNPQ也随之移动，MN始终在AB边所在直线L上，且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳 区)会呈现不同的形状.图3为□MNPQ移动到点P落在BC上的情形 D D 遮阳伞 义卖区 7义卖区 遮阳区 投影 图1 图2 图3 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时□MNPQ的位置. 设遮阳区的面积为Sm,□MNPQ从初始时向右移动的距离为xm. 【直观感知】(1)从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？ 【初步探究】(2)求图3情形的x与S的值； 【深入研究】(3)从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式； 【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时，☐MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果） 32 解答题培优拔高练 类型4i 面动型翻折变换 4.(2025·山东)【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. (1)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究， 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED',其中A',D分别是A,D 的对应点. (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D恰好落在边BC上，延长AD'交CD于点F,如图2.判断四边形DBA'F的形状，并说明理由； ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3.求DE的长； (3)如图4，连接DD交BE于点P,连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存 在，直接写出；若不存在，说明理由 人专入 D A 图1 图2 图3 图4 33 培优拔高练 ”类型5面动型一三角形旋转 5.(2024·广东)【知识技能】 (1)如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，连接CD,将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到 △A'DC'.当点E的对应点E与点A重合时，求证：AB=BC; 【数学理解】 (2)如图2，在△ABC中(AB<BC),DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点D按逆时针方向旋转， 得到△A'DC',连接A'B,CC,作△A'BD的中线DF.求证：2DF·CD=BD·CC; 【拓展探索】 (3)如图3，在△ABC中，tanB=号点D在AB上，AD-过点D作DE1BC,垂足为E,BE=3,CE= 号在四边形ADBC内是否存在点G,使得∠AGD+∠CGE=18O?若存在，请给出证明；若不存在，请说明 理由. A(E') 图】 图2 图3 <解题思路> (I)利用等腰三角形+平行线证明∠DAE=∠BCA即可得证； ②克证AADA△CDC得到瓷品再证AA=2DF,代入变形即可得； (3)利用特殊，点，∠AGD=90°，∠CGE=90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE为直径的圆的交点，根据 题意证，点G在内部. 34 解答题培优拔高练 ”类型6面动型一四边形旋转 6.(2023·广东)综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2，将正方形OABC绕点O逆 时针旋转，旋转角为α(0°<a<45°)，AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F. (1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF(直接写出结果，不要求写解答过程)； (2)若点A(4,3),求FC的长； (3)如图3，对角线AC交y轴于点M,交直线y=x于点N,连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为 S1与S2.设S=S1一S2,AN=n,求S关于n的函数表达式. Y 个 y个 y=x B M 10 10 10 图1 图2 图3 <解题思路> (1)在图2中，当OE=OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF,利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题 即可； (2)在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G,利用三角形相似，可得结论； C3)过点N作直线PQ1BC于点P,文0A于点Q,可得△ANQ是等展直角三角形，NQ-号AN=号利 用四点共圆，得出△PON是等腰直角三角形.再证得△NOQ≌△FNP,则可得S,=合PNP+是NQ,S= 合PN号NQ,从而得出S关于m的函数衣达式 35