第05讲 导数研究函数的单调性（高效培优讲义，4知识&8题型精讲+强化训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦“导数研究函数的单调性”核心知识点，系统梳理导数符号与单调性的关系、求单调区间的步骤、含参数函数单调性判断及逆用，构建从定义理解到综合应用的学习支架，衔接导数基础与后续极值最值内容。 资料通过易错辨析强化数学思维的严谨性，题型分类结合即学即练提升逻辑推理与运算素养，典例变式设计助力课中系统教学，课后可通过练习题查漏补缺，培养用数学语言解决函数图像、不等式证明等综合问题的能力。

第5讲 导数研究函数的单调性 教学目标 1.理解函数单调性与导数的内在联系，能准确表述导数符号与函数单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的基本步骤，并能熟练应用于具体函数的单调性判断. 3.会求函数的单调区间（含单调递增区间、单调递减区间），能处理含参数函数的单调性问题的初步探究. 4.通过导数研究函数单调性的过程，体会数形结合思想、转化与化归思想在数学中的应用，提升逻辑推理和数学运算核心素养. 教学重难点 （一）教学重点 1.导数符号与函数单调性的关系. 2.利用导数求函数单调区间的方法和步骤. （二）教学难点 1.对导数符号决定函数单调性的逻辑推导过程的理解. 2.含参数函数的单调性判断及单调区间的求解（参数分类讨论的标准确立）. 3.利用导数单调性解决与函数图像、不等式证明等综合问题的初步应用. 知识点01 函数单调性与导数的关系 1.核心定义与关系 设函数在区间内可导，则： （1）若对任意，都有，则函数在区间内单调递增； （2）若对任意，都有，则函数在区间内单调递减； （3）若对任意，都有，则函数在区间内为常函数（不具有单调性）. 2.易错辨析 （1）误区：认为“是函数单调递增的充要条件” 辨析：是函数在区间内单调递增的充分不必要条件.若函数在区间内单调递增，则对任意，有，且的点不构成区间（即孤立的点）.例如：，，当且仅当时，在上单调递增. （2）误区：忽略函数的定义域，直接对函数求导判断单调性 辨析：研究函数单调性必须在函数的定义域内进行，求单调区间时需先确定定义域，再在定义域内分析导数符号.例如：，定义域为，需在内判断的符号. 3.重点记忆 （1）导数符号与单调性的核心关系：导数正，函数增；导数负，函数减；导数恒为0，函数为常函数. （2）单调递增的充要条件：在内单调递增对任意恒成立，且的点不连续（不构成区间）. （3）单调递减的充要条件：在内单调递减对任意恒成立，且的点不连续（不构成区间）. 4.常考结论 （1）若函数，在区间内均单调递增，则在内单调递增；若，均单调递减，则在内单调递减. （2）若函数在内单调递增，，则在内单调递增；若，则在内单调递减. （3）若函数在内单调递增，且的值域为，在内单调递增，则复合函数在内单调递增；若在内单调递减，则复合函数在内单调递减（同增异减）. 【即学即练】 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 2.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 利用导数求函数单调区间的步骤 1.核心步骤 （1）求函数的定义域（这是后续所有步骤的前提）； （2）求函数的导数（熟练掌握基本导数公式、四则运算法则及复合函数求导法则）； （3）令，求解方程的根（即导数为0的点）； （4）将方程的根与定义域的端点按从小到大的顺序排列，划分出若干个互不重叠的子区间； （5）在每个子区间内判断的符号： ①若，则该子区间为的单调递增区间； ②若，则该子区间为的单调递减区间； （6）总结函数的单调区间（区间表述需用集合或区间符号，不能用不等式；多个单调区间之间用“，”分隔，不能用“∪”）. 2.易错辨析 （1）误区：划分单调区间时，将导数为0的点直接包含在单调区间内，未验证符号 辨析：导数为0的点不一定是单调区间的分界点，需结合该点两侧导数的符号判断.例如：，，但两侧，故是其单调递增区间，无需将单独划分. （2）误区：多个单调递增区间用“∪”连接 辨析：单调区间是函数在该区间内整体单调，“∪”连接会表示两个区间合并后的整体单调，这是错误的.例如：的单调递减区间是，，不能写成，因为取，，，但，不满足单调递减的定义. （3）误区：求导错误导致单调区间判断错误 辨析：需熟练掌握基本导数公式和运算法则，避免出现诸如（正确为）、（正确为）、复合函数求导漏层等错误. 3.重点记忆 （1）求单调区间的核心顺序：定义域优先→求导→求导零点→划分区间→判断符号→确定单调区间. （2）单调区间的表述规范：必须基于定义域，用区间或集合表示，多个同类型单调区间用“，”分隔. （3）常见函数的导数公式（必备，直接影响求导准确性）： ①（为常数）； ②（）； ③； ④； ⑤； ⑥（且）； ⑦； ⑧（且）； ⑨四则运算法则：；；（）； ⑩复合函数求导法则：设，，则. 4.常考结论 （1）一次函数（）：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. （2）二次函数（）：导数，令得；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为（与二次函数顶点式分析结果一致，可相互验证）. （3）反比例函数（）：定义域为，导数；当时，，单调递减区间为，；当时，，单调递增区间为，. 【即学即练】 1．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·期末）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 知识点03 含参数函数的单调性判断 1.核心思路 含参数函数的单调性判断，核心是“分类讨论”，即根据参数的取值范围，分析导数的符号变化.具体步骤： （1）求函数定义域； （2）求导数，将整理为关于的代数式（通常为一次函数、二次函数或分式函数）； （3）分析导数的零点是否存在、零点是否在定义域内，根据参数的取值划分分类标准； （4）在每一类参数取值范围内，判断导数在定义域内各子区间的符号，进而确定函数的单调区间. 2.易错辨析 （1）误区：分类讨论标准不清晰，出现重复或遗漏的情况 辨析：分类讨论的标准需基于“导数零点的存在性”“零点与定义域的位置关系”“导数表达式中二次项系数的符号（若为二次函数）”等关键因素.例如：分析（）的单调性，导数，定义域为，分类标准应为和（基于导数零点是否存在）；当时，零点，再划分区间和判断符号. （2）误区：忽略参数的取值范围对定义域的影响 辨析：部分含参数函数的定义域会受参数影响，需先根据参数确定定义域，再进行后续分析.例如：，定义域为，导数，故在上单调递增，需明确定义域与参数的关系. （3）误区：判断导数符号时，未结合子区间的范围，直接根据参数符号下结论 辨析：即使参数符号确定，导数在不同子区间的符号仍可能不同，需结合子区间内的取值分析.例如：，导数，当时，零点为和，需划分、、三个区间分别判断的符号，不能仅由直接确定单调区间. 3.重点记忆 （1）含参数函数单调性判断的核心原则： ①定义域优先，先明确参数对定义域的影响； ②求导后，优先整理导数表达式（因式分解、配方等），便于分析零点； ③分类讨论标准要“不重不漏”，优先按“导数表达式中最高次项系数是否为0”“零点是否存在”“零点与定义域的位置关系”划分； ④每一类讨论结束后，需明确写出该参数取值下的单调区间. （2）常见含参数类型及分类方向： ①导数为一次函数型（如，为参数）：分类标准为、、； ②导数为二次函数型（如，为参数）：先按（转化为一次函数）、、分类，再对时按判别式的符号（、、）分类，最后判断零点是否在定义域内； ③导数为分式函数型（如，）：先判断分母的符号（通常由定义域确定），再分析分子的符号（转化为上述一次或二次函数型问题）. 【即学即练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调区间. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，讨论函数的单调性. 知识点04 导数单调性的逆用——由函数单调性求参数范围 1.核心思路 由函数单调性求参数范围，本质是将单调性条件转化为导数符号的恒成立问题： （1）若在区间上单调递增，则对任意恒成立（且的点不构成区间）； （2）若在区间上单调递减，则对任意恒成立（且的点不构成区间）； 在此基础上，求解参数的取值范围（常用分离参数法、二次函数恒成立条件等）. 2.易错辨析 （1）误区：将“单调递增”直接转化为“恒成立”，忽略“的点不构成区间”的条件 辨析：若恒成立，但存在一个区间使得，则在该区间为常函数，不满足单调递增.例如：若在上单调递增，求的范围.导数，当时，恒成立，为常函数，不单调；故. （2）误区：分离参数时，忽略变量的取值范围对参数范围的影响 辨析：分离参数后，需结合变量在区间内的取值范围，求函数的最值（最大值或最小值），进而确定参数范围.例如：若在上单调递增，导数在上恒成立，即在上恒成立，故，需明确的最小值为1. （3）误区：忽略区间的端点是否包含，导致参数范围扩大或缩小 辨析：若区间为闭区间，函数在端点处可导与否不影响单调性判断（单调性是区间内的性质），只需保证导数在开区间内满足符号条件，端点处的导数可忽略.例如：在上单调递增，导数在上大于0，处不可导，但不影响单调性结论. 3.重点记忆 （1）由单调性求参数范围的核心步骤： ①确定函数定义域及目标区间； ②求导数； ③转化为恒成立问题：单调递增→对恒成立；单调递减→对恒成立； ④求解恒成立问题：优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数≤函数最小值”或“参数≥函数最大值”；若无法分离参数，可结合二次函数的图像和性质（开口方向、判别式、对称轴位置）求解. （2）关键提醒： ①分离参数法的适用条件：参数与变量可完全分离，且分离后函数的最值易求； ②恒成立问题的核心结论：对恒成立；对恒成立； ③需验证参数取边界值时，函数是否满足单调性条件（避免出现常函数情况）. 【即学即练】 1．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型01 原函数与导函数的图像之间关系 【典例1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25高二下·河北·期中）如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 1.核心对应关系判定法：明确原函数与导函数的核心关联，是图像匹配的根本依据 ①导函数符号决定原函数单调性：单调递增；单调递减；在该点可能为极值点（原函数增减性突变点） ②导函数的增减性对应原函数的凹凸性：单调递增图像下凸（凹函数）；单调递减图像上凸（凸函数） 2.图像匹配三步法 ①找特殊点：先定位导函数的点，对应原函数的极值点（增减区间分界点），排除极值点位置不匹配的选项 ②判符号区间：划分导函数的正负区间，对应验证原函数的增减区间是否一致，排除符号与增减性矛盾的选项 ③验趋势关联：观察导函数的增减趋势，对应判断原函数的凹凸性是否匹配，进一步锁定正确选项 3.易错规避技巧 ①避免混淆“导函数的符号”与“原函数的符号”：两者无直接关联，只需关注导函数符号对原函数增减性的影响，无需考虑原函数自身正负 ②注意“孤立零点”的影响：若仅为孤立点（非区间），不影响原函数的单调性，对应原函数图像在该点无增减突变 题型02 利用导数求函数的单调区间（不含参数） 【典例1】（25-26高三上·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为 ． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【变式3】（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的增区间是 . 1.定义域优先原则：研究函数单调性必须在定义域内进行，第一步需先求函数的定义域，后续所有区间均为的子集 2.导数求解与化简技巧：准确求导后，需对进行因式分解、通分等化简操作，便于快速判断符号 ①基本求导公式与法则必记：如、、，四则运算法则及复合函数求导“链式法则” ②化简目标：将转化为“因式乘积”形式（如一次因式、二次因式），避免保留分式或多项式的一般形式，减少符号判断误差 3.单调区间求解四步法 ①求定义域；②求导并化简；③求的根，结合定义域划分若干子区间；④逐区间判断的符号，确定单调递增（）或递减（）区间 4.区间表述规范技巧：多个单调区间之间用“，”分隔，不可用“∪”连接（“∪”会错误表示区间合并后的整体单调性）；区间端点若函数有定义，可包含在区间内（闭区间），若无定义则用开区间 题型03 由区间上的单调性求参数的范围 【典例1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【变式2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【变式3】（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1.单调性的恒成立转化核心：将“函数在区间上单调”转化为“导数符号恒成立”问题 ①单调递增：对任意恒成立（注意：的点不构成区间，避免函数为常函数） ②单调递减：对任意恒成立（同理，的点不构成区间） 2.分离参数法（优先选用）：将含参数的恒成立问题转化为“参数与变量分离”的形式，简化求解 ①适用场景：参数可从（或）中完全分离，且分离后关于的函数最值易求 ②求解逻辑： 若分离后得对恒成立，则（参数小于等于函数最小值） 若分离后得对恒成立，则（参数大于等于函数最大值） 3.非分离参数法（二次函数型）：当无法分离参数时，若为二次函数（如），结合二次函数图像与性质求解 ①开口方向：确定二次项系数符号，影响函数的增减趋势 ②判别式：时，二次函数恒正或恒负；时，需结合对称轴与区间的位置关系判断 ③对称轴位置：对称轴，确保二次函数在区间上的符号满足恒成立条件 4.边界值验证技巧：求解出参数范围后，需验证参数取边界值时，函数是否满足单调性要求（避免因构成区间导致函数为常函数） 题型04 求函数的单调性（含参数） 【典例1】（24-25高三上·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 【变式2】（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式3】（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 1.分类讨论标准确立技巧：分类的核心是“分析导数零点的存在性、零点与定义域的位置关系”，确保分类不重不漏 ①第一层级分类：按中最高次项系数是否为0分类（如，先分、、；，先分、、） ②第二层级分类：当最高次项系数不为0时，按的判别式符号分类（、、），判断零点是否存在 ③第三层级分类：当（零点存在）时，按零点与定义域的位置关系分类（零点在定义域内左侧、中间、右侧） 2.导数零点分析技巧：将化简为因式乘积形式后，准确求解零点，结合定义域筛选有效零点（仅在定义域内的零点才对单调性有影响） 3.区间划分与符号判断技巧 ①划分原则：将有效零点与定义域端点按从小到大顺序排列，划分成互不重叠的子区间 ②符号判断：在每个子区间内，选取特殊值代入（或利用因式符号叠加判断），确定的正负，进而确定函数的增减性 ③简化技巧：若为分式函数，先判断分母的符号（由定义域确定），再分析分子的符号，减少判断量 4.分类结论整合技巧：每类参数取值范围下，明确写出对应的单调递增区间和单调递减区间，结论表述清晰，避免混淆不同参数范围的单调性 题型05 由单调性比较大小 【典例1】（黑龙江省九师联盟校2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题）设函数，令，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】【多选题】（2025高二·全国·专题练习）若实数时，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1.构造单调函数核心技巧：根据待比较的表达式特征，构造一个可判断单调性的函数，将比较大小问题转化为“同一单调函数在不同自变量处的函数值大小比较” ①构造原则：待比较的两个表达式需能表示为和的形式，即自变量不同、函数结构相同 ②常见构造模型：如比较与（），构造；比较与，构造 2.单调性判定技巧：对构造的函数求导，判断的符号，确定的单调区间 3.自变量大小关系梳理：结合函数的单调区间，明确待比较函数值对应的自变量和的大小关系（需确保在同一单调区间内） 4.大小比较逻辑：利用单调性的定义“增函数：；减函数：”，得出待比较表达式的大小关系 5.易错规避技巧：构造函数前需先确定自变量的取值范围（确保函数有定义），避免因自变量不在定义域内导致判断错误 题型06 由单调性解抽象不等式 【典例1】（25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 【变式1】（25-26高三上·江苏徐州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为 ． 【变式2】（25-26高三上·山西·月考）已知函数，且，则实数的取值范围是 . 【变式3】（25-26高三上·辽宁·期中）定义在上的函数满足：，且对于都有.则关于的不等式解集为 . 1.定义域优先原则：解抽象不等式的前提是确保不等式中所有自变量都在函数的定义域内，先写出的定义域，后续解集需为的子集 2.单调性脱“f”技巧：利用函数的单调性，将含“f”的抽象不等式转化为不含“f”的普通不等式，核心是“保号性” ①若在区间上单调递增，则且 ②若在区间上单调递减，则且 3.不等式变形技巧：将抽象不等式整理为“”（或）的标准形式，确保左右两侧均为作用下的表达式，便于直接应用单调性脱“f” 题型07 由导函数构造原函数解不等式 【典例1】（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·重庆·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 1.常见构造模型记忆技巧：根据导函数的结构特征，匹配对应的原函数构造模型，核心是利用导数四则运算法则逆推 ①模型1：若已知相关符号，构造（因，，故与同号） ②模型2：若已知相关符号，构造（因，，故与同号） ③模型3：若已知相关符号，构造（因） ④模型4：若已知相关符号，构造（因，，故与同号） ⑤模型5：若已知相关符号，构造（因） 2.构造函数单调性判断技巧：根据已知导函数的符号，判断构造函数的导数符号，进而确定的单调区间 3.不等式转化技巧：将待解不等式整理为与构造函数相关的形式（如），利用的单调性脱“F”，转化为普通不等式求解 4.隐含条件挖掘技巧：题目中常给出的特殊值（如、），需转化为构造函数的特殊值（如），为不等式求解提供边界条件 题型08 单调性与不等式恒成立问题 【典例1】（2025·河北·模拟预测）若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）（1）已知，若恒成立，求实数a的取值范围为 ． （2）已知，若恒成立，求实数a的取值范围为 ． 【变式2】（24-25高二下·安徽滁州·期末）不等式对任意恒成立，则实数的最小值为 ． 【变式3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·月考）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川眉山·月考）若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意的满足，当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二·全国·专题练习）已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2026高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若导函数的图象过点，，如图，则函数的单调递增区间为 11．（2025高三·全国·专题练习）设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是 ． 12．（2025·四川遂宁·二模）定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为 . 13．（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 14．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 15．（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题 16．（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性． 18．（25-26高三上·北京西城·月考）设函数，且在处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设是曲线在点处的切线方程，若函数是单调函数，求实数的值． 19．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； 20．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 导数研究函数的单调性 教学目标 1.理解函数单调性与导数的内在联系，能准确表述导数符号与函数单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的基本步骤，并能熟练应用于具体函数的单调性判断. 3.会求函数的单调区间（含单调递增区间、单调递减区间），能处理含参数函数的单调性问题的初步探究. 4.通过导数研究函数单调性的过程，体会数形结合思想、转化与化归思想在数学中的应用，提升逻辑推理和数学运算核心素养. 教学重难点 （一）教学重点 1.导数符号与函数单调性的关系. 2.利用导数求函数单调区间的方法和步骤. （二）教学难点 1.对导数符号决定函数单调性的逻辑推导过程的理解. 2.含参数函数的单调性判断及单调区间的求解（参数分类讨论的标准确立）. 3.利用导数单调性解决与函数图像、不等式证明等综合问题的初步应用. 知识点01 函数单调性与导数的关系 1.核心定义与关系 设函数在区间内可导，则： （1）若对任意，都有，则函数在区间内单调递增； （2）若对任意，都有，则函数在区间内单调递减； （3）若对任意，都有，则函数在区间内为常函数（不具有单调性）. 2.易错辨析 （1）误区：认为“是函数单调递增的充要条件” 辨析：是函数在区间内单调递增的充分不必要条件.若函数在区间内单调递增，则对任意，有，且的点不构成区间（即孤立的点）.例如：，，当且仅当时，在上单调递增. （2）误区：忽略函数的定义域，直接对函数求导判断单调性 辨析：研究函数单调性必须在函数的定义域内进行，求单调区间时需先确定定义域，再在定义域内分析导数符号.例如：，定义域为，需在内判断的符号. 3.重点记忆 （1）导数符号与单调性的核心关系：导数正，函数增；导数负，函数减；导数恒为0，函数为常函数. （2）单调递增的充要条件：在内单调递增对任意恒成立，且的点不连续（不构成区间）. （3）单调递减的充要条件：在内单调递减对任意恒成立，且的点不连续（不构成区间）. 4.常考结论 （1）若函数，在区间内均单调递增，则在内单调递增；若，均单调递减，则在内单调递减. （2）若函数在内单调递增，，则在内单调递增；若，则在内单调递减. （3）若函数在内单调递增，且的值域为，在内单调递增，则复合函数在内单调递增；若在内单调递减，则复合函数在内单调递减（同增异减）. 【即学即练】 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 2.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由导数符号与区间单调性的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若时，则在区间上单调递增，充分性成立； 若在区间上单调递增，则时，且不恒成立，必要性不成立； 所以“时，”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 知识点02 利用导数求函数单调区间的步骤 1.核心步骤 （1）求函数的定义域（这是后续所有步骤的前提）； （2）求函数的导数（熟练掌握基本导数公式、四则运算法则及复合函数求导法则）； （3）令，求解方程的根（即导数为0的点）； （4）将方程的根与定义域的端点按从小到大的顺序排列，划分出若干个互不重叠的子区间； （5）在每个子区间内判断的符号： ①若，则该子区间为的单调递增区间； ②若，则该子区间为的单调递减区间； （6）总结函数的单调区间（区间表述需用集合或区间符号，不能用不等式；多个单调区间之间用“，”分隔，不能用“∪”）. 2.易错辨析 （1）误区：划分单调区间时，将导数为0的点直接包含在单调区间内，未验证符号 辨析：导数为0的点不一定是单调区间的分界点，需结合该点两侧导数的符号判断.例如：，，但两侧，故是其单调递增区间，无需将单独划分. （2）误区：多个单调递增区间用“∪”连接 辨析：单调区间是函数在该区间内整体单调，“∪”连接会表示两个区间合并后的整体单调，这是错误的.例如：的单调递减区间是，，不能写成，因为取，，，但，不满足单调递减的定义. （3）误区：求导错误导致单调区间判断错误 辨析：需熟练掌握基本导数公式和运算法则，避免出现诸如（正确为）、（正确为）、复合函数求导漏层等错误. 3.重点记忆 （1）求单调区间的核心顺序：定义域优先→求导→求导零点→划分区间→判断符号→确定单调区间. （2）单调区间的表述规范：必须基于定义域，用区间或集合表示，多个同类型单调区间用“，”分隔. （3）常见函数的导数公式（必备，直接影响求导准确性）： ①（为常数）； ②（）； ③； ④； ⑤； ⑥（且）； ⑦； ⑧（且）； ⑨四则运算法则：；；（）； ⑩复合函数求导法则：设，，则. 4.常考结论 （1）一次函数（）：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. （2）二次函数（）：导数，令得；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为（与二次函数顶点式分析结果一致，可相互验证）. （3）反比例函数（）：定义域为，导数；当时，，单调递减区间为，；当时，，单调递增区间为，. 【即学即练】 1．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽·期末）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求出，从而得到答案. 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 知识点03 含参数函数的单调性判断 1.核心思路 含参数函数的单调性判断，核心是“分类讨论”，即根据参数的取值范围，分析导数的符号变化.具体步骤： （1）求函数定义域； （2）求导数，将整理为关于的代数式（通常为一次函数、二次函数或分式函数）； （3）分析导数的零点是否存在、零点是否在定义域内，根据参数的取值划分分类标准； （4）在每一类参数取值范围内，判断导数在定义域内各子区间的符号，进而确定函数的单调区间. 2.易错辨析 （1）误区：分类讨论标准不清晰，出现重复或遗漏的情况 辨析：分类讨论的标准需基于“导数零点的存在性”“零点与定义域的位置关系”“导数表达式中二次项系数的符号（若为二次函数）”等关键因素.例如：分析（）的单调性，导数，定义域为，分类标准应为和（基于导数零点是否存在）；当时，零点，再划分区间和判断符号. （2）误区：忽略参数的取值范围对定义域的影响 辨析：部分含参数函数的定义域会受参数影响，需先根据参数确定定义域，再进行后续分析.例如：，定义域为，导数，故在上单调递增，需明确定义域与参数的关系. （3）误区：判断导数符号时，未结合子区间的范围，直接根据参数符号下结论 辨析：即使参数符号确定，导数在不同子区间的符号仍可能不同，需结合子区间内的取值分析.例如：，导数，当时，零点为和，需划分、、三个区间分别判断的符号，不能仅由直接确定单调区间. 3.重点记忆 （1）含参数函数单调性判断的核心原则： ①定义域优先，先明确参数对定义域的影响； ②求导后，优先整理导数表达式（因式分解、配方等），便于分析零点； ③分类讨论标准要“不重不漏”，优先按“导数表达式中最高次项系数是否为0”“零点是否存在”“零点与定义域的位置关系”划分； ④每一类讨论结束后，需明确写出该参数取值下的单调区间. （2）常见含参数类型及分类方向： ①导数为一次函数型（如，为参数）：分类标准为、、； ②导数为二次函数型（如，为参数）：先按（转化为一次函数）、、分类，再对时按判别式的符号（、、）分类，最后判断零点是否在定义域内； ③导数为分式函数型（如，）：先判断分母的符号（通常由定义域确定），再分析分子的符号（转化为上述一次或二次函数型问题）. 【即学即练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 令，由，得，此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，， 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分情况讨论时函数的单调性，进而求出对应的单调区间. 【详解】对函数求导得， 当时，，此时在上单调递增. 当时，方程的判别式. ①当时，，恒成立，所以，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，. 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 所以在和上单调递增，在上单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 知识点04 导数单调性的逆用——由函数单调性求参数范围 1.核心思路 由函数单调性求参数范围，本质是将单调性条件转化为导数符号的恒成立问题： （1）若在区间上单调递增，则对任意恒成立（且的点不构成区间）； （2）若在区间上单调递减，则对任意恒成立（且的点不构成区间）； 在此基础上，求解参数的取值范围（常用分离参数法、二次函数恒成立条件等）. 2.易错辨析 （1）误区：将“单调递增”直接转化为“恒成立”，忽略“的点不构成区间”的条件 辨析：若恒成立，但存在一个区间使得，则在该区间为常函数，不满足单调递增.例如：若在上单调递增，求的范围.导数，当时，恒成立，为常函数，不单调；故. （2）误区：分离参数时，忽略变量的取值范围对参数范围的影响 辨析：分离参数后，需结合变量在区间内的取值范围，求函数的最值（最大值或最小值），进而确定参数范围.例如：若在上单调递增，导数在上恒成立，即在上恒成立，故，需明确的最小值为1. （3）误区：忽略区间的端点是否包含，导致参数范围扩大或缩小 辨析：若区间为闭区间，函数在端点处可导与否不影响单调性判断（单调性是区间内的性质），只需保证导数在开区间内满足符号条件，端点处的导数可忽略.例如：在上单调递增，导数在上大于0，处不可导，但不影响单调性结论. 3.重点记忆 （1）由单调性求参数范围的核心步骤： ①确定函数定义域及目标区间； ②求导数； ③转化为恒成立问题：单调递增→对恒成立；单调递减→对恒成立； ④求解恒成立问题：优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数≤函数最小值”或“参数≥函数最大值”；若无法分离参数，可结合二次函数的图像和性质（开口方向、判别式、对称轴位置）求解. （2）关键提醒： ①分离参数法的适用条件：参数与变量可完全分离，且分离后函数的最值易求； ②恒成立问题的核心结论：对恒成立；对恒成立； ③需验证参数取边界值时，函数是否满足单调性条件（避免出现常函数情况）. 【即学即练】 1．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得对于恒成立，可得对于恒成立，进而求解即可. 【详解】由，则， 因为函数在上单调递减， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 而，则，即， 则实数a的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 题型01 原函数与导函数的图像之间关系 【典例1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 【变式1】函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据导数于原函数单调性的关系进行判断. 【详解】当时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当时，曲线的切线斜率小于0且越来越大. 故选：D 【变式2】（24-25高二下·河北·期中）如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据原函数的增减性及其导函数的正负之间的关系，对选项逐一判断即可得出结果. 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 【变式3】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 1.核心对应关系判定法：明确原函数与导函数的核心关联，是图像匹配的根本依据 ①导函数符号决定原函数单调性：单调递增；单调递减；在该点可能为极值点（原函数增减性突变点） ②导函数的增减性对应原函数的凹凸性：单调递增图像下凸（凹函数）；单调递减图像上凸（凸函数） 2.图像匹配三步法 ①找特殊点：先定位导函数的点，对应原函数的极值点（增减区间分界点），排除极值点位置不匹配的选项 ②判符号区间：划分导函数的正负区间，对应验证原函数的增减区间是否一致，排除符号与增减性矛盾的选项 ③验趋势关联：观察导函数的增减趋势，对应判断原函数的凹凸性是否匹配，进一步锁定正确选项 3.易错规避技巧 ①避免混淆“导函数的符号”与“原函数的符号”：两者无直接关联，只需关注导函数符号对原函数增减性的影响，无需考虑原函数自身正负 ②注意“孤立零点”的影响：若仅为孤立点（非区间），不影响原函数的单调性，对应原函数图像在该点无增减突变 题型02 利用导数求函数的单调区间（不含参数） 【典例1】（25-26高三上·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 【答案】 【分析】对函数求导，利用三角恒等变换化简得到，再令 ，可得函数 的单调递增区间是 【详解】当时，，则， 令 ，得到 解得： ， 所以函数 的单调递增区间是 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)单调递减区间为，递增区间为； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，定义域为R， ，令，即， 令，即，令，即， 所以函数的单调递减区间为，递增区间为； （2）函数的定义域为，又， 令，得，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式3】（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的增区间是 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 故答案为： 1.定义域优先原则：研究函数单调性必须在定义域内进行，第一步需先求函数的定义域，后续所有区间均为的子集 2.导数求解与化简技巧：准确求导后，需对进行因式分解、通分等化简操作，便于快速判断符号 ①基本求导公式与法则必记：如、、，四则运算法则及复合函数求导“链式法则” ②化简目标：将转化为“因式乘积”形式（如一次因式、二次因式），避免保留分式或多项式的一般形式，减少符号判断误差 3.单调区间求解四步法 ①求定义域；②求导并化简；③求的根，结合定义域划分若干子区间；④逐区间判断的符号，确定单调递增（）或递减（）区间 4.区间表述规范技巧：多个单调区间之间用“，”分隔，不可用“∪”连接（“∪”会错误表示区间合并后的整体单调性）；区间端点若函数有定义，可包含在区间内（闭区间），若无定义则用开区间 题型03 由区间上的单调性求参数的范围 【典例1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D 【变式1】（2025·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，转换成不等式恒成立问题，然后换元，数形结合即可得出答案. 【详解】由题可知恒成立， ，即恒成立， 设，则在恒成立， ，则，解得， 故选：C. 1.单调性的恒成立转化核心：将“函数在区间上单调”转化为“导数符号恒成立”问题 ①单调递增：对任意恒成立（注意：的点不构成区间，避免函数为常函数） ②单调递减：对任意恒成立（同理，的点不构成区间） 2.分离参数法（优先选用）：将含参数的恒成立问题转化为“参数与变量分离”的形式，简化求解 ①适用场景：参数可从（或）中完全分离，且分离后关于的函数最值易求 ②求解逻辑： 若分离后得对恒成立，则（参数小于等于函数最小值） 若分离后得对恒成立，则（参数大于等于函数最大值） 3.非分离参数法（二次函数型）：当无法分离参数时，若为二次函数（如），结合二次函数图像与性质求解 ①开口方向：确定二次项系数符号，影响函数的增减趋势 ②判别式：时，二次函数恒正或恒负；时，需结合对称轴与区间的位置关系判断 ③对称轴位置：对称轴，确保二次函数在区间上的符号满足恒成立条件 4.边界值验证技巧：求解出参数范围后，需验证参数取边界值时，函数是否满足单调性要求（避免因构成区间导致函数为常函数） 题型04 求函数的单调性（含参数） 【典例1】（24-25高三上·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义有，即可求； （2）对函数求导，根据导数的区间符号求单调区间. 【详解】（1）由题设，则， 又在点处的切线的斜率为，则，可得； （2）由题设且， 当，则，故在上单调递减， 当，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，的递减区间为，无递增区间， 时，的递减区间为，递增区间为. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，然后分情况讨论时函数的单调性. 【详解】由，求导得. ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递增； 当，，则在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式2】（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，四种情况进行讨论. 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【变式3】（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，即结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间. 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，可得函数的定义域，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，即，即，解得； 令，即，即，解得， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 1.分类讨论标准确立技巧：分类的核心是“分析导数零点的存在性、零点与定义域的位置关系”，确保分类不重不漏 ①第一层级分类：按中最高次项系数是否为0分类（如，先分、、；，先分、、） ②第二层级分类：当最高次项系数不为0时，按的判别式符号分类（、、），判断零点是否存在 ③第三层级分类：当（零点存在）时，按零点与定义域的位置关系分类（零点在定义域内左侧、中间、右侧） 2.导数零点分析技巧：将化简为因式乘积形式后，准确求解零点，结合定义域筛选有效零点（仅在定义域内的零点才对单调性有影响） 3.区间划分与符号判断技巧 ①划分原则：将有效零点与定义域端点按从小到大顺序排列，划分成互不重叠的子区间 ②符号判断：在每个子区间内，选取特殊值代入（或利用因式符号叠加判断），确定的正负，进而确定函数的增减性 ③简化技巧：若为分式函数，先判断分母的符号（由定义域确定），再分析分子的符号，减少判断量 4.分类结论整合技巧：每类参数取值范围下，明确写出对应的单调递增区间和单调递减区间，结论表述清晰，避免混淆不同参数范围的单调性 题型05 由单调性比较大小 【典例1】（黑龙江省九师联盟校2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题）设函数，令，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将整理为，求出的定义域为，根据偶函数的定义得到是偶函数，构造函数，利用导数法求出的单调性，利用复合函数的单调性得到在上单调递增，由是偶函数，得，再由对数换底公式和运算性质求出，，，计算，利用基本不等式得到，从而得到，继而得到，由在上单调递增得到. 【详解】，的定义域为， ，是偶函数， 令，， 当时，，在上单调递增， 在上单调递增， 在上单调递增， 由是偶函数，得， 再由对数换底公式和运算性质， 得，， ，， 所以，所以，又在上单调递增， 所以. 故选：C. 【变式1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案. 【详解】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增. 所以， 即. 故选：A 【变式3】【多选题】（2025高二·全国·专题练习）若实数时，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断ABD选项的正误；特殊值法计算判断C选项的正误. 【详解】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因为，，所以， 所以，A正确； 同理，所以， 所以，B正确； 令，， 则，故在上单调递减， 当时，，所以，所以， 故，D正确； 对于C，时，，故C不一定成立. 故选：ABD. 1.构造单调函数核心技巧：根据待比较的表达式特征，构造一个可判断单调性的函数，将比较大小问题转化为“同一单调函数在不同自变量处的函数值大小比较” ①构造原则：待比较的两个表达式需能表示为和的形式，即自变量不同、函数结构相同 ②常见构造模型：如比较与（），构造；比较与，构造 2.单调性判定技巧：对构造的函数求导，判断的符号，确定的单调区间 3.自变量大小关系梳理：结合函数的单调区间，明确待比较函数值对应的自变量和的大小关系（需确保在同一单调区间内） 4.大小比较逻辑：利用单调性的定义“增函数：；减函数：”，得出待比较表达式的大小关系 5.易错规避技巧：构造函数前需先确定自变量的取值范围（确保函数有定义），避免因自变量不在定义域内导致判断错误 题型06 由单调性解抽象不等式 【典例1】（25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·江苏徐州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，判断出单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】， 令，则，， 所以， 所以为偶函数， 故的图象关于直线对称，所以， 又， 当时，，即，所以，即， 所以在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减. 所以等价于或， 解得，或，又，所以或. 故实数的取值范围为. 故答案为：． 【变式2】（25-26高三上·山西·月考）已知函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件得为偶函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，再结合，得到，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以为偶函数， 又，当时，，当且仅当时取等号， 所以恒成立，当且仅当时取等号， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以，即， 解得， 故答案为：. 【变式3】（25-26高三上·辽宁·期中）定义在上的函数满足：，且对于都有.则关于的不等式解集为 . 【答案】 【分析】设偶函数，令，求导数后根据题意得当时，，由此知道函数的单调区间，然后将不等式整理为，即得到不等式，然后根据函数的单调性和对称性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】定义在上的函数是偶函数，即 令，则， ∵，∴当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∵，∴ 即， ∴，即，整理得， ∴. 故答案为：. 1.定义域优先原则：解抽象不等式的前提是确保不等式中所有自变量都在函数的定义域内，先写出的定义域，后续解集需为的子集 2.单调性脱“f”技巧：利用函数的单调性，将含“f”的抽象不等式转化为不含“f”的普通不等式，核心是“保号性” ①若在区间上单调递增，则且 ②若在区间上单调递减，则且 3.不等式变形技巧：将抽象不等式整理为“”（或）的标准形式，确保左右两侧均为作用下的表达式，便于直接应用单调性脱“f” 题型07 由导函数构造原函数解不等式 【典例1】（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 【变式1】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，利用的单调性解不等式. 【详解】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设 ，又，所以. 由 ，即. 所以，即 . 故选：B 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】 的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． 【变式3】（25-26高三上·重庆·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据已知不等式利用导数法得在上单调递增，不等式化为，根据函数单调性求出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，则， 可知在上单调递增，不等式即， 又，则， 所以，由在上单调递增， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 1.常见构造模型记忆技巧：根据导函数的结构特征，匹配对应的原函数构造模型，核心是利用导数四则运算法则逆推 ①模型1：若已知相关符号，构造（因，，故与同号） ②模型2：若已知相关符号，构造（因，，故与同号） ③模型3：若已知相关符号，构造（因） ④模型4：若已知相关符号，构造（因，，故与同号） ⑤模型5：若已知相关符号，构造（因） 2.构造函数单调性判断技巧：根据已知导函数的符号，判断构造函数的导数符号，进而确定的单调区间 3.不等式转化技巧：将待解不等式整理为与构造函数相关的形式（如），利用的单调性脱“F”，转化为普通不等式求解 4.隐含条件挖掘技巧：题目中常给出的特殊值（如、），需转化为构造函数的特殊值（如），为不等式求解提供边界条件 题型08 单调性与不等式恒成立问题 【典例1】（2025·河北·模拟预测）若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先化简不等式得到在 时，恒成立，构造函数，得到时，，构造函数，得到，所以，即． 【详解】因为，所以， 所以不等式等价于， 设，则， 令，解得， 令，解得， 故在区间 上单调递增，在区间上单调递减， 故； 设，则， 令，解得， 令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 因为恒成立， 所以，即． 故答案为： 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）（1）已知，若恒成立，求实数a的取值范围为 ． （2）已知，若恒成立，求实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）构造函数，求导，利用导数分析函数单调性，分情况讨论求出的取值范围； （2）构造函数，求导，利用导数分析函数单调性及最小值，分情况讨论求出的取值范围． 【详解】（1） 时，恒成立，令，，则需恒成立， 求导得，，令，则， ，时，， 若，即，则，在单调递增，，函数单调递增，，满足条件； 若，即，存在，使得时，单调递减，，单调递减，，不满足条件； 综上，的取值范围为． （2） 时，恒成立，令，则需恒成立， 当时，若，，是比更高阶的无穷大， ，不符合题意； 当时，，求导得，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 函数在处取得最小值，故恒成立； 当时，时，，增长快于多项式，； ，，单调递增，， 在处取得最小值，，满足， 综上，的取值范围为． 故答案为：，． 【变式2】（24-25高二下·安徽滁州·期末）不等式对任意恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】不等式变形为，只需函数在函数的上方即可，即大于等于函数过切线的斜率即可. 【详解】由，得 令，则，所以是单调增函数. 设是过点与相切的直线，设切点为， 则直线的方程为：，把带入切线方程得：， 解得，所以切线斜率. 不等式对任意恒成立，只需函数在函数的上方即可， 即大于等于函数过切线的斜率即可，所以.即实数的最小值为. 故答案为： 【变式3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对已知变形得，令，则，利用导数法并利用分离参数得对于恒成立，最后利用反比例函数的性质求解最值即可得解. 【详解】不妨设，则， 由可得，所以， 令，则， 因为，所以在上单调递减， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 因为在上单调递减，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·月考）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数值为非负数以及函数的单调性判断出正确答案. 【详解】因为，所以排除A. 又因为， 所以在和上，单调递减， 在上单调递增，所以C选项正确，BD选项错误 故选：C. 2．（25-26高三上·四川眉山·月考）若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在区间单调递增， 所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 即在区间恒成立， 由对勾函数的单调性可得故. 故选：D. 3．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【详解】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意的满足，当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建函数，求导可知函数单调性，然后可知，计算即可. 【详解】令，则，可得在上单调递增， 又，所以由可得． 因为， 不等式等价于，所以． 又因为，所以. 故选：A． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，分析其单调性，然后利用函数的单调性来求解的取值范围. 【详解】定义域为，且，原不等式等价于，即， 令，则，易知在单调递增，则，即， 令，则，故在单调递减，在单调递增， 故，则a的取值范围是． 故选：C. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建函数，求导可知函数单调性，然后代值计算即可. 【详解】令，则 ．因为，所以 ，在上单调递增， 而，又，即，从而，根据的单调性可得， 故选：C． 7．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析恒成立的条件，再确定参数符号，化简目标式，利用导数法求值域. 【详解】要使对恒成立，两因式需同号且零点重合. 因式零点：；，所以 . 在单调递增，要使两因式同号，需单调递增，得. 由及可知，令，则，且，由得. 则目标式：. 设，求导得，所以在上单调递减. 由单调性知：时，；时，.因此 . 综上，的取值范围为. 故选： B. 二、多选题 8．（2026高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，再根据单调性比较大小，逐项判断即可． 【详解】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 9．（25-26高三上·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A. 令判断；B.利用不等式的基本性质判断；C.令判断；D. 令判断. 【详解】A. 令，则，故错误； B. 因为，所以，所以，故正确； C.令，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以与大小不定，故错误； D. 令，则，当时，，在上单调递增， 则，即，故正确. 故选：BD 三、填空题 10．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若导函数的图象过点，，如图，则函数的单调递增区间为 【答案】和 【分析】利用导数和函数单调性的关系即可求出. 【详解】由图可知，当和时，，在和单调递增. 故答案为：和. 11．（2025高三·全国·专题练习）设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知等式和不等式构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】设，则， 为奇函数，． 当时，，所以在上是减函数． 因为， 即，所以，从而． 故答案为： 12．（2025·四川遂宁·二模）定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数在上单调递增，进而可得出该函数在上单调递减，将所求不等式变形为，可得，可得出，由此可解得实数的取值范围． 【详解】由可得， 构造函数，则， 所以，函数为偶函数， 当时，， 所以，函数在上单调递增，则该函数在上单调递减， ， 由得， 即，即，则， 由于函数在上单调递减，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 14．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分析函数的定义域与奇偶性，利用导数分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为， ，， 因为， 故函数在上为增函数， 由得，故， 即，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 15．（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数并求导，结合已知条件得出在上的单调性，利用奇函数的定义得出为偶函数，从而得出在上的单调性，利用，得出，最后结合函数奇偶性和单调性讨论得出的解集． 【详解】令，则， 已知当时，，， ，故在上单调递增． 是定义域为的奇函数， ， ， 是定义域上的偶函数， 在定义域上单调递减． ，， 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则． 不等式的解集为． 故答案为：． 四、解答题 16．（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【详解】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求得函数的导数，讨论的取值范围，结合一元二次方程的根的情况判断导数的正负，即可判断函数的单调性. 【详解】函数定义域为，由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增； 当时，的解为，的解为， 所以在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 18．（25-26高三上·北京西城·月考）设函数，且在处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设是曲线在点处的切线方程，若函数是单调函数，求实数的值． 【答案】(1)； (2)函数的单调递增区间是，；函数的单调递减区间是； (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，解方程即可求解； （2）由（1）得，通过判断导函数的正负区间，即可得函数的单调区间； （3）先根据导数几何意义，求得，代入整理可得，因为函数是单调函数，所以或恒成立，进而可求得实数的值． 【详解】（1）由题意，函数，则，定义域为， 又函数在处的切线方程为， 所以，即，解得； （2）由（1）得，，， 令，即，解得或， 结合二次函数的图象性质，可得 当或时，恒成立，所以函数在区间，单调递增， 当时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 综上所述，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是； （3）由题意，是曲线在点处的切线方程， 所以，且切线方程为，即， 所以，， 所以 ， 因为，，所以， 令，根据二次函数的图象性质，可得为开口向上的二次函数， 又函数是单调函数，若函数是单调递减函数，则在恒成立， 又，所以在恒成立，与题设矛盾，所以函数不是单调递减函数， 所以函数是单调递增函数，即在恒成立， 又，所以在恒成立， 令，即，解得或， 当，即时，恒成立，即恒成立， 所以函数为单调递增函数，满足题意， 故当时，函数为单调递增函数. 19．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导函数可求函数的单调区间； （2）利用导数的几何意义求得切线方程，进而可得，令，利用导数可得，进而可证结论. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意得， 则， 令， 化简得， 则，令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到， 即成立，可得， 故得证. 20．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，求导得到切线斜率，从而得到切线方程； （2）由在区间上单调递增得，分离参数得，利用基本不等式求得，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以，所求切线方程为，即. （2），， 令，即，， 恒成立，所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以，即， 所以，即实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $