3.图的综合题-【超级备考】2026年中考数学培优拔高练

解答题培优拔高练 圆的综合题 ”类型1圆与全等三角形、相似三角形 1.(2016·广东)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD,与 CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于 点F. (1)求证：△ACF∽△DAE: (2若se=写求DE的长： (3)连接EF,求证：EF是⊙O的切线. D <解题思路> (1)利用圆周角的性质和切线的性质解题； (2)根搭△A0C是等边三角形可知Sr=ON-里，可得OA=OB-=1,BC=2,再解直角三角形得到 4 BD=√3BC,BE=3OB,最后相加即可求解； (3)过，点O作OG⊥EF于，点G,通过证明FO平分∠AFE得到OA=OG. 25 培优拔高练 2.(2017·广东)如图，AB是⊙O的直径，AB=43,点E为线段OB上一点（不与O,B重合），作CE⊥OB,交 ⊙O于点C,垂足为E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,AF⊥PC于点F,连接CB. (1)求证：CB是∠ECP的平分线； (2)求证：CF=CE; (3)当5-时，求劣弧C的长度（结果保留. 26 解答题培优拔高练 ”类型2圆与内心 3.(2019·广东)如图1，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于 点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证：ED=EC; (2)求证：AF是⊙O的切线； (3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25,求BG的长. B 图1 图2 <解题思路> 证△ABEC∽△CBA得AB2=BC·BE,得AB=5,连接AG,根据内心是圆内接三角形的三条角平分线的交 点，得∠DAG=∠GAC,结合∠BAD=∠ACB,得∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB,得∠BAG=∠BGA, 从而得出BG 27 培优拔高练 ”类型3圆与锐角三角函数、勾股定理 4.(2020·广东)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD, (1)求证：直线CD与⊙O相切： (2)如图2，记(1)中的切点为E,P为优弧ABE上一点，AD=1,BC=2.求tan∠APE的值. 图1 图2 <解题思路> 作DF⊥BC于点F,连接BE,则四边形ABFD是矩形，证AD,BC是⊙O的切线，结合切线长定理、勾股定 理及圆周角定理求解 5.(2018·广东)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于 点E (1)证明：OD∥BC; (2)若tan∠ABC=2,证明：DA与⊙O相切； (3)在(2)的条件下，连接BD交⊙O于点F,连接EF.若BC=1,求EF的长. 0 28 解答题培优拔高练 ”类型4圆与矩形 6.(2023·广东)综合探究 如图1，在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A',连接AA'交 BD于点E,连接CA' (1)求证：AA'⊥CA'; (2)以点O为圆心，OE为半径作圆. ①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=3CA'; ②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1,求⊙O的面积. 图1 图3 <解题思路> 设⊙O切CA'于点H,连接OH,可得△COH△CAA',△AOE△ACA',则AA'=2OH,CA'=2OE,进而 在Rt△ADE中设x,列勾股定理求解. 29BQ=BP.BD-25X28+2)=25+2. AD 2√2 .点Q(1-23,0): 当△BADn△PQB时，部-8 BQ=BPAD-22X22=23-2, BD 23+2 .点Q(5-23,0). 综上所选，满足条件的点Q的坐标为(1-20)或(-1 +40)我1-23,0)减6-2,50. 11.解：(1)将点(3,3)代入y=x2+bx,得9+3b=3, 解得b=一2， 抛物线所对应的函数表达式为y=x2-2x (2),点A,B的横坐标分别为m,1十1， ∴.A(m,m2-2m),B(m+1,m2-1). y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴.对称轴为直线x=1. ,A,B两点关于该抛物线的对称轴对称， ∴.m2-2m=m2-1, 解得m=号 A(分-)， ,点A,C关于点M(1,1)对称， c() (3)由(2)知y=(x一1)2-1图象的顶点坐标为(1，一1)，对 称轴为直线x一1，当m=号时，点A,B关于抛物线的对称 轴对称； 当0<m<2时，最高点的纵坐标为m-2m,最低点的纵坐 标为-1， 、1 .m2-2m+1=2, 解得m=2,2或m=2士〔舍去： 2 2 ,1 当2≤m<1时，最高点的纵坐标为m-1,最低点的纵坐 标为-1， m-1+1=2 1 或m=-2 解得m=2 （舍去）. 综上所述，加的值为2，平或号 12.解：(1)将点(4,0)代入y=a.x2十bx, 得16a+4b=0,即b=-4a, 参考答案 .抛物线的对称轴是直线x=2. (20a=号 .b=-4a=-2, “抛物线的解析式为)=之-2x 又x1=x2 “-=(-2)-（分-2m）=(-2m) (-2）=2. “抛物线)y=之2-2x过原点，且点A与原点不重合， x1≠0， 0 2>y. ②由题意知y=a.十b1=a.-4a.,2=号-22. 业=2 y II 片22=4，即公= a.-4a.x a.x(x-4)x1 :两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合， ≠0，x2≠0， 2 a(-4=1,即=a(-4)+2, :2-am二40+2=u十2_如 :是与无关的定值。 T ∴.2-4a=0, 解得a=, ∴.b=-4a=-2. 圆的综合题 1.(1)证明：BC是⊙O的直径， ∠BAC=90° ∠ABC=30, ∠ACB=60 .OA=OC, .△OAC为等边三角形， ∴.∠AOC=∠OAC=60°， .∴.∠DAE=∠ACF=120 ,AF是⊙O的切线， ∠OAF=90°， .∠CAF=∠AFC=30° ,DE是⊙O的切线， ∴.∠DBC=90°， .∠D=30° :∠ACF=∠DAE=120°，∠CAF=∠D=30°， ∴.△ACF△DAE. 第90页 (2)解：由(1)知△OAC为等边三角形， ∴Sau=卓O4=3, 4 .OA=1, ∴.BC=2,OB=1. 在Rt△BCD中，∠D=30°， ∴.BD=3BC=23」 在Rt△BOE中，∠BOE=∠AOC=60°， ∴BE=OB=3, ..DE=BD++BE-3V3 (3)证明：如图，过点O作OG⊥EF于点G,则∠OGF=90°. 在△AOF和△BOE中， 0 ∠OBE=∠OAF, ∠OEB=∠AFO, OA=OB ∴.△AOF≌△BOE(AAS), ..OE=OF. :∠EOF=180°-∠BOE=120°， .∠0FG=2180°-∠E0F)=30, ∴.∠AFO=∠GFO,即FO平分∠AFE, OA⊥AF,OGLEF, .OG=0A, .OG是⊙O的半径， EF是⊙O的切线。 2.(1)证明：，0C=OB, .∠OCB=∠OBC ,PF是⊙O的切线，CE⊥AB, .∴.∠OCP=∠CEB=90°， .∴∠BCP+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°， ∴∠BCE=∠BCP, ∴，CB是∠ECP的平分线. (2)证明：如图，连接AC ,AB是直径， ∴∠ACB=90, ∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACEA +∠BCE=90°. :∠BCP=∠BCE, ∴∠ACF=∠ACE. 又：∠F=∠AEC=90°，AC=AC, ∴.△ACF≌△ACE(AAS), ∴.CF=CE. (3)解：如图，过点B作BM⊥PF于点M. ,CB是∠ECP的平分线，CE⊥OB,BM⊥PF, ∴.BE=BM, 易得CE=CM=CF. 参考答案 设CE=CM=CF=3a,则PC=4a,PM=a, BM⊥PC, ∴.∠CMB=∠BMP=90. ,CD是直径， ∴.∠CBD=∠CBP=90°，即∠MCB+∠P=90°. 又：∠P+∠MBP=90°， .∠MCB=∠MBP, .'.△BMCc∽△PMB, 微微 .∴.Bf=CM·PM=3a2, BM=3a, in∠BCu-8器号， .∠BCM=30, .∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°. AB=43, 0B=号AB=23, ∴BC的长=60：2/3x=2w 180 3元 3.(1)证明：.AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB. 又·∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC, .∠BCD=∠ADC, ∴ED=EC. (2)证明：如图1，连接OA, .AB=AC, ..AB=AC, 0 ∴.OA⊥BC. .CA=CF. 图1 ∴∠CAF=∠CFA, ∴.∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF. :∠ACB=∠BCD, ∠ACD=2∠ACB, ∠CAF=∠ACB, ∴.AF∥BC, .OA⊥AF. ,OA是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线. (3)解：∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD=∠ACB, △ABE∽△CBA, 提器 ∴.AB=BC·BE. BC·BE=25, .AB=5, 第91页 如图2，连接AG. :点G为△ADC的内心， ∴.∠DAG=∠GAC 又，∠BAD=∠ACB, ∴.∠BAD+∠DAG=∠ACB+ ∠GAC,即∠BAG=∠BGA, 图2 ∴.BG=AB=5. 4.(1)证明：如图1，作OE⊥CD于点E, 则∠OEC=90°， .AD∥BC,∠DAB=90°， ∴.∠OBC=180°-∠DAB=90°， .CO平分∠BCD, ..OB=OE. ,OB是⊙O的半径， 图1 .OE是⊙O的半径， 又，OE⊥CD, .直线CD与⊙O相切. (2)解：如图2，过点D作DF BC于点F,连接BE,交OC于 点H,则四边形ABFD是矩形， ..AB=DF.BF=AD=1, .∴.CF=BC-BF=2-1=1. ,AB是⊙O的直径，∠DAB=∠ABF =90°， AD,BC是⊙O的切线. B 由(1)得，CD是⊙O的切线， 图2 .∴.ED=AD=1,EC=BC=2, ∴.CD=ED+EC=3, ∴.DF=√CD-CF=、32-1平=22， .AB=DF=22, ..OB=2. ,CO平分∠BCD,EC=BC, .CO⊥BE .∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°， ∠ABE=∠BCH. ,∠APE=∠ABE, ∠APE=∠BCH, 六a∠APE=tam∠H-8瓷-号 5.(1)证明：如图，连接OC,则OC=OA. .AD=DC, .OD垂直平分AC,∠AEO=90° ,AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， .∠ACB=∠AEO, ∴.OD∥BC 参考答案 (2)证明：an∠ABC-瓷=2. .设BC=a,则AC=2a, ..AD=AB=AC+BC=5a. 0E/C,且A0=0-=3AB-, :.OE->BC-za.AE-CE-zAC-a. 在Rt△AED中，DE=/AD-AE=2a, 在△A0D中，A0+AD=(2）°+(5aP=空d,0D (OE+DE=(3a+2a)-, .∴.A0+AD2=OD, .∠OAD=90. 又OA为⊙O的半径， ∴.DA与⊙O相切. (3)解：如图，连接CF,AF, 由(2)得AE=CE=2AC,BC-2AC, .'.AE=CE=BC=1. .CF=CF, ∴∠CBF=∠EAF 又AB=AD,∠OAD=90°， ∴△ABD为等腰直角三角形. ,AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°，即AF⊥BD, F为BD的中点， ..AF-BF. 在△CBF和△EAF中， BC=AE, ∠CBF=∠EAF, BF=AF. '.△CBF≌△EAF(SAS), .EF=CF,∠EFA=∠CFB, ∠EFA+十∠EFB=9O°， ∴∠CFB+∠EFB=90°，即∠EFC=90°， △CFE为等腰直角三角形 ,CE=1, ·EF=CF=2 2 6.(1)证明：：点A关于BD的对称点为A', .AE=A'E,AA'⊥BD. :点O是矩形ABCD的对角线AC,BD的交点， ..0A=OC, .OE是△ACA'的中位线， .OE∥A'C, 第92页 .AA'⊥CA'. (2)①证明：如图2，设⊙O与CD切于点F,连接OF, .OF⊥CD,OF=OE 由(1)知AA'⊥BD, ∴.∠OEA=∠OFC=90. 四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD,OA=OB=OC, .∠OCF=∠OAB=∠OBA 在Rt△OAE和Rt△OCF中， (OA=OC, OE=OF, .Rt△OAE≌Rt△OCF(HL), .∠OAE=∠OCF, ∴.∠OAE-∠OAB=∠OBA. :∠EAB+∠ABO=90, ∴.∠OAE+∠OAB+∠OBA=3∠OAE=90°， .∠EAO=30°， .AA'⊥CA', :.tanEAO-AA CA ∴.tan30=CA'5 AA 3 ..AA=3CA'. 图2 图3 ②解：如图3，设⊙O切CA'于点H,连接OH, 则OH⊥CA',OH=OE. 由(1)知AA'⊥CA',AA'⊥BD,OA=OC, .OH∥AA',OE∥CA', '.△COH∽△CAA',△AOE∽△ACA', 器-%票-器- ..AA'=20H.CA'=20E, .AA'=CA', .∠A'AC=∠A'CA=45°， .∠AOE=∠ACA'=45, ..AE=OE, .OD=OA=√2AE 设AE=OE=x,则OD=OA=2x, ∴.DE=OD-OE=(2-1)x 在Rt△ADE中，由勾股定理，得x2+[(v2-1)x]=1, 参考答 x=2+② 4 ⊙0的面积=元·2=2汁2 4 几何动点综合题 1.解：(1)60 (2)由旋转的性质得∠BOC=60°，OB=OC, △BOC是等边三角形， ∴∠OBC=60°，BC=OB=OC=4, ∴.∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°， .AC=√AB+BC=2W7,∠OAB+∠ABC=180°， ∴.OA∥BC. OB=4,∠ABO=30°，∠OAB=90°， 0A=0B=2.AB=20B=25, 8r=20A·AB=3×2X25=25. ∴0p=2Sr=43_22 AC 27 7 (3)①当0<≤号时，点M在0C上运动，点N在OB上运 动，则OM=1.5.x,ON=x. 如图2，过点N作NE⊥OC于点E, 则NE=0Ns6o-要， y=20M.NE=号×1.5× 1 2T= 3通. 图2 :当x=号时y有最大值，最大值 为， ②当8<≤4时，点M在BC上运动，点N在OB上运动， 则ON=x,BM=8-1.5.x 如图3，作MH⊥OB于点H,则MH= B BM·sin60°= 5(8-1.5 H y=2ON·MH= 33+23x= 89(-)》'+8 图3 33<0, 8 当=号时y取最大值，最大值为8g, ③当4≤x≤4.8时，点M,N都在BC上运动，则MN=12- 案 第93页