1.反比例函数综合题-【超级备考】2026年中考数学培优拔高练

解答题培优拔高练 解答题培优拔高练 反比例函数综合题 ”类型1 反比例函数与面积 1.(2019·广东)如图，一次函数y=k,x十b的图象与反比例函数y=的图象相交于A,B两点，其中点A的坐 标为（一1,4），点B的坐标为(4，n). (1)根据图象，直接写出满足k1x十b>的x的取值范围； (2)求这两个函数的解析式； (3)点P在线段AB上，且S△p:S△p=1:2,求点P的坐标， <解题思路> (1)根据一次函数图象在反比例函数图象的上方，可求x的取值范围； (2)将点A、点B坐标代入两个解析式可求k2,n,k1,b的值，从而求得解析式； (3)计算S△B,根据S△P:S△p=1:2,可得S△P,进而得到点P的坐标. 2.(2025·泸州)如图，一次函数y=2x十b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A(2,6)。 (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数y=2x十b的图象沿y轴向下平移12个单位长度，与反比例函数y=”的图象相交于点B,C, 求S△ABc的值. 13 培优拔高练 ”类型2反比例函数与三角形 3.(2025·苏州)如图，一次函数y=2x十4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=(k≠0， 7 x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象交于点D,连接CD. (1)求A,B两点的坐标； (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值. <解题思路> 根据△BCD是以BD为底边的等腰三角形，过点C作CE⊥BD,垂足为E,可得BE=DE,根据D(,4)可 得BE=DE=令，从而得到C(合，8)，再根据点C在一次函数y=2虹十4的图象上，代入求6位 4.(2025·遥宁)如图，一次函数y=mx十nm,n为常数，m≠0)的图象与反比例函数y一么(k≠0)的图象交于 A(-2,-2),B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式一x<0的解集； (3)点P(0,b)是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值. 14 解答题培优拔高练 5.(2025·宜宾)如图，过原点O的直线与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两，点.一次函数y=x十b .7 (m≠0)的图象过点A与反比例函数的图象交于另一点C,与x轴交于点M,其中A(一2,1)，C(-1,n). (1)求一次函数y=m.x十b的表达式，并求△AOM的面积； (2)连接BC,在直线AC上是否存在点D,使以O,A,D为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出点D的 坐标；若不存在，请说明理由。 ”类型3反比例函数与特殊四边形 6.(2020·广东)如图，点B是反比例函数y=8(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A,C 反比例函数y=(x>O)的图象经过OB的中点M,与AB,BC分别相交于点D,E.连接DE并延长交x轴 于点F,点G与点O关于点C对称，连接BF,BG (1)填空：k (2)求△BDF的面积； (3)求证：四边形BDFG为平行四边形. <解题思路> （1)设点5(s0以=8，则点M分2)，则=·2=子=2 (2)连接OD,根据△BDF的面积=△OBD的面积=S△mA一S△OD求解； (3)确定直线DE的表达式为y=一 品+易令y=0,则=5m,得点FP(6m,0).进而求解。 15 培优拔高练 7.(2024·广东)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=a.x(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以线段BD 为对角线作矩形ABCD,AD∥x轴.反比例函数y=的图象经过点A. 【构建联系】 ()求证：函数)一冬的图象必经过点C: (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2)时，求 k的值： 【深入探究】 (3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交BD于点P.以点O 为圆心，AC长为半径作⊙O.若OP=3v2,当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围. y E D 图1 图2 图3 16当点E的对应点的坐标为（受，号）时，平移方式为向右平移 合个单位长度，向上平移个单位长度， “直线FG平移后所得直线的解析式为y=一2(x-2)-1 十日-=-2十子，此时点1,2)和(2,10在正方形内部，故选 项D不符合题意， 故选：A 2.C解析：，点P(2a-4,a十3)在第二象限， |2a-4<0, 解得-3<a<2, a+3>0, 故选项A不正确，不符合题意； :点P(2a-4,a十3)为“整点”， .a为整数. 又，-3<a<2, a=-2或-1或0或1， 当a=-2时，2a-4=-8,a十3=1，此时点P(-8,1)； 当a=一1时，2a-4=一6，a十3=2，此时点P(-6,2)； 当a=0时，2a-4=一4，a+3=3,此时点P(一4,3)； 当a=1时，2a-4=-2,a十3=4，此时点P(-2,4). .“整点”P的个数是4， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义，得当a=1时，点P(一2,4)是“超整 点”， “超整点”P的个数为1， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”时，点P到两坐标轴的距离之和为一2 +4=6, 故选项D不正确，不符合题意， 故选：C 3.15解析：，k☒A=A⊕A⊕A⊕…⊕A, 是木A .当k=1时，1☒A=A=(21-1)A; 当k=2时，2⑧☒A=A①A=2A十A=3A=(22-1)A; 当k=3时，3☒A=A⊕A⊕A=3A⊕A=2X3A+A=7A (23-1)A; 当k=4时，4☒A=A⊕A⊕A⊕A=3A⊕A⊕A=7ADA= 15A=(24-1)A; …, .当k=m时，m☒A=(2m-1)A,当k=n时，n☒A=(2- 1)A, .M=m8(x2+31xy)=(2m-1)(x2+31xy), N=n8(y2-14xy)=(2"-1)(y2-14xy), .M⊕N=2M+N=2(2m-1)(x2+31xy)+(2m-1)(y2 14xy)=(2m+1-2)x2+(2m-1)y+[62(2m-1)-14(2m 1)]xy. :M④N不含xy项， ∴.62(2m-1)-14(2-1)=0, 参考答案 ∴.31(2m-1)-7(2m-1)=0. 设2m=a,2m=b, .31(a-1)-7(b-1)=0,即31a-7b=24, ∴b=31a-24 7 :a,b均为2的整数暴，为偶数， a=8, b=32, 2m=8,2m=32, /m=3, n=5, ,.mm=15. 故答案为：15. 4.B解析：①.8>2， .8※2=8， 故①正确； ②若x≥3，则x=6; 若x<3,则一x=6,此时x=一6， 故②错误； ③若a>b,则一a<-b, '.a※b=a,(-a)※（一b)=一(-a)=a, 则a※b=(一a)※（一b); 若a<b,则-a>-b, .a※b=-a,(-a)※(-b)=-a, 则a※b=(一a)※(-b); 若a=b,则（一a)=(-b), .a※b=a,(一a)※（一b)=一a, 此时a※b≠(-a)※（一b), 故③错误； ④若2x-4≥2，即x≥3，由(2x-4)※2<5x,得2x-4<5.x, 解得x>-3,则此时≥3： 4 若2x-4<2,即x<3,由(2x-4)※2<5.x,得-2x十4<5x, 解得>号，则比时号<<3： 综上所述，若(2x-4)※2<5，则x的取值范国为x>号.故 ④正确 故选：B. 解答题培优拔高练 反比例函数综合题 1.解：(1)当x十b>时，x的取值范围是x<-1或0<x x <4. (2:反比例函数)=经的图象过点A(一1,0，BC4,心， ∴.k2=-1X4,k2=4n, 解得k2=一4，n=一1， ∴反比例函数的解析式为)=一BC4,一1D. 将点A(-1,4),B(4,-1)代入y=k1x十b, 第82页 得一名+64， k1=-1, 解得 （4k1+b=-1, b=3, ∴.一次函数的解析式为y=一x十3. (3)如图，记直线AB与y轴的交点为C, 由y=一x十3，得C(0,3). Sm=×3X1=， :SAaB=SAx十SABC=2 + ×3×4-号 'SAAOP SABOP=1:2, ∴5w=号-是-1， 2X3·zp=1, 解得，一导 ·点P在线段AB上， -号+3=子， r(号) 2解：(1)”一次函数)y=2x+b的图象与反比例函数y=严的 图象交于A(2,6), ∴.6=2X2+b,m=2X6, 解得b=2,m=12, .一次函数的解析式为y=2x+2,反比例函数的解析式为y 、12 x (2),将一次函数y=2x十2的图象沿y轴向下平移12个单 位长度， ∴.直线BC的解析式为y=2x十2-12=2x一10， y=2x-10, x=-1, 联立 x=6, ,_12 解得 或 y-T 1y=-12y=2, ∴.B(-1,-12),C(6,2), 如图，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T, A(2,6), ∴点T的横坐标为2. 在y=2x一10中，当x=2时， y=2×2-10=-6, ∴.T(2,-6), .AT=6-(-6)=12, .SAAIC=SANBT+SACT =2×12x[2-(-1D]+号 ×12×(6-2) =18+24 =42. 参考答案 3.解：(1)在y=2x十4中，令y=0,得2x+4=0, 解得x=一2， ∴.点A的坐标为（一2,0）. 令x=0,得y=4, ∴.点B的坐标为(0,4). (2)如图，过点C作CE⊥BD,垂足为E ,△BCD是以BD为底边的等腰三 角形， ..CB=CD, ∴.BE=DE BD∥x轴， .点D的纵坐标为4. 在y=点中，令=4，得x=冬， D(年，4， ∴BE=DE-冬， 在y中，令x=冬得)=8 .c(g8, 点C在一次函数y=2x十4的图象上， 8=2×台+4， 解得=16， .k的值为16. 4解：(1)将点A(-2,-2)代人y=是，得=-2X(一2)=4， “反比例函数的关系式为y一兰 将点B(a,1D代人y兰，解得a=4, 点B的坐标为(4,1) 将点A(-2,-2),B(4,1)代入y=mx十n, 一2=一2m+解得 得 (1=4m+n, n=-1, 1 ·一次函数的关系式为)y一2x一1. (2)不等式的解集为x>2或-2<x<0. (3).A(-2,-2),P(0,b),B(4,1), .AP2=4+(b+2)2,AB2=45,BP2=16+(1-b)2. 由题意，得可分为两种情况讨论，如图， ①当∠BAP1=90时，AP+AB=PB, 即4+(b+2)2+45=16+(1-b)2, 解得b=一6； ②当∠ABP2=90°时，P2B2+AB =AP, 即16+(1一b)2+45=4+(b+2)2, 解得b=9. 综上所述，b的值为一6或9. 5.解：1把点A(-2,1D代入y=(k≠0)，得1=2 x 第83页 解得k=一2， 小·反比例函数的解析式为y=一2 x 在y=-2中，当x=-1时y=-号=2， .C(-1,2) 把点A(-2,1),C(-1,2)代入y=mx十b, 1-2m+b=1 m=1, 得 -m+b=2, 解得b一3 .一次函数y=mx十b的表达式为y=x十3. 在y=x十3中，当y=0时，x=一3， ∴.M(-3,0) .OM=3, ∴Saw=20M.w=2×3X1=号 (2)存在 直线AB经过原点， ∴.由反比例函数的对称性可得点B的坐标为(2，一1)，OA =OB. A(-2,1),C(-1,2), ∴.AC-√-2-(-1)]2+(1-2)2=√2， BC=√[2-(-1)]+(-1-2)7=3W2, AB=√[2-（-2)2+(-1-1)2=2W5, ∴.AC2+BC=(√2)2+(32)2=20，AB2=(25)2=20, ∴.AC+BC=AB2, ∴.∠ACB=90° .'BC LAC, .OA与AC不垂直. :△OAD与△ABC相似， ∴.只存在△OADX∽△BAC和△OADX∽△CAB这两种情况， 如图1，当△OAD△BAC时，是-器=寸， AD=号AC, ∴.此时点D为AC的中点， ∴点D的坐标为(-号，是) D 图1 图2 如图2，当△OADn△CAB时，架-8器器， 参考答案 即AD-业-5 253√2√2' .AD=52,OD=35. 设D(d,d+3), ,「(-2-d02+(1-d-3)2=(5V2)2, (0-d02+(0-d-3)2=(35)2, 解得d=3, .d+3=6, .点D的坐标为(3,6). 综上所述，点D的坐标为(-号，号)或3,6. 6.(1)2 (2)解：如图，连接OD ∴5△m=Sam=Sam-5a00-2X8-2X2=3, (3)证明：设点D(m,品)，则点B(4m,品)，点E(4m,) 点C(4m,0), ∴.BD=3m. 点G与点O关于点C对称， ∴.点G(8m,0), 设直线DE的表达式为y=px十n(p≠0)，将点D,E的坐标 代入， 2 =mp十n, = m 2n2, 得 解得 =4mptn 5 (2m n=2m' 1 ∴.直线DE的表达式为y=一 5 令y=0,则x=5m, .点F(5m,0), .∴.FG=8m-5m=3m=BD. 又，FG∥BD, .四边形BDFG为平行四边形 7.(1)证明：设B(m,ma),则A(m,是)， AD∥x轴， 心点D的纵坐标为 m 将y=色代入y=ax,得多=ax, 77m .x一am (点点) 第84页 c(点om 将x品代人y=么得y=am, x “函数y一皇的图象必经过点C (2)解：点B的坐标为(1,2)， .A点的横坐标为1，点C的纵坐标为2. :函数y=的图象经过点A,C, x C含，2A1,, ∴D(gk,BC-=冬-1， .'DC=k-2. 把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E, BE=BC=令-1，∠BED=∠BCD=90, 瓷号-2器 ·BCk-1 2 如图2，过点D作DH⊥y轴于点H,过点B作BF⊥y轴于 点F, :AD∥x轴， ∴H,A,D三点共线， ∴.∠HED+∠BEF=90°， ∠BEF+∠EBF=90°， ∴.∠HED=∠EBF. :∠DHE=∠EFB=90°， ∴.△DHE∽△EFB, 图2 膘膘噩-2 BF=1,DH=令 HE=2,EF=是， HF=2+冬 易得HF=DC, 2+冬=62， =号 (3)解：由折叠的性质得AC⊥BD, .矩形ABCD为正方形， .∠ABP=∠DBC=45°， AB-BC-CD-DA-nAP,AP-PC-BP- DP-AC. BC∥x轴， ∴.直线y=ax为第一，三象限的角平分线， ..y=z. 参考答案 当⊙O过点B时，如图①，过点D作DH∥x轴交y轴于 点H, AD∥x轴， .H,A,D三点共线 以点O为圆心，AC长为半 径作⊙O,OP=3√2， H ∴.OP=OB+BP=AC+BP= 2AP+AP=3AP=3V2, AP=√2=PD, 0 ∴.AB=AD=√2AP=2,BD 2AP-2V2,BO-AC=2AP- 2√2，DO=OP+PD=4√2. 图① AB∥y轴， .'.△DHOx△DAB, 熙恶-品 :0_DH-42 2 22√2 .'HO=HD=4, ∴.HA=HD-DA=4-2=2, .A(2,4), .k=2X4=8. 当⊙O过点A时，根据A,C关于直线OD对称知，⊙O必过 点C,如图②，连接AO,CO,过点D作DH∥x轴交y轴于 点H, .AO-OC-AC, ∴.△AOC为等边三角形. OP⊥AC, A(E) ∴∠A0P=合×60=30， 0 AP=tan30.Op=5× 3 3√2=√6=PD, ∴.AC=BD=2AP=2W6, 图② AB=AD=√2AP=2W3,OD=OP+PD=3√2+√6. AB∥y轴， .△DHO∽△DAB, 照-器-品 H0-DH-3E+6 2W3232√6 .HO=HD=3+√3， ∴.HA=HD-DA=3+√3-23=3-√3， .A(3-√3,3+√3)， .k=(3-3)×(3+√3)=6， .当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8. 第85页